2024-2025学年浙江省浙东北联盟（ZDB）高一上学期期中联考（AP班）数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1浙东北联盟（ZDB）2024-2025学年高一上学期期中联考（AP班）数学试题一、单项选择题：每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．1.用一个半径为的半圆围成一个圆锥，则圆锥底面圆的半径为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为用一个半径为的半圆围成一个圆锥，所以半圆长为，所以圆锥底面圆的半径为：，故选：A2.若两个单位向量的夹角为，则（）A. B.1 C. D.2【答案】C【解析】故选：C3.用斜二测画法画出的某平面四边形的直观图如图所示，边平行于轴，平行于轴，若四边形为等腰梯形，且，则原四边形的周长为（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】记四边形所对应的原四边形为四边形，由题意可得，原四边形中，、都与轴平行，即四边形是直角梯形，因为，四边形为等腰梯形，所以，所以，，，因此，所以原四边形的周长为.故选：D4.勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.在如图所示的勒洛三角形中，已知，为弧上的点且，则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】以为坐标原点，为轴，垂直于方向为，建立平面直角坐标系，因为，,所以，即，且所以，所以，故选:C.5.某款厨房用具中的香料收纳罐的实物图如图1所示，该几何体为上、下底面周长分别为，的正四棱台，若棱台的高为，忽略收纳罐的厚度，则该香料收纳罐的容积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可知，该四棱台的上、下底面边长分别为，．故该香料收纳罐的容积为故选：B6.在中，角的对边分别为，其面积，，则边长为（）A.1 B. C. D.2【答案】D【解析】因为，又，所以，即，因为为三角形内角，所以，又，所以；由得，即，所以，即，所以，因此，故，即，因为，所以.故选：D7.已知点在棱长为2的正方体表面运动，且，则线段的长的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】点在棱长为2的正方体表面运动，且，则点的轨迹是线段的中垂面截正方体所得截面多边形，分别取棱，，，，，的中点，，，，，，则，因此四边形均为棱长为的菱形，所以平面，因此点，，，，，在线段的中垂面上，点的轨迹是六边形，如图，当点在线段上时，若点为线段中点，有，于是点为线段上任意一点，，当点在线段上时，为钝角，则，即，当点在线段上时，，为钝角，则，即，当点在线段上时，由，边上的高为，此时，由对称性知，当点在折线上时，，所以线段的长的取值范围是．故选：D．8.水平放置的正四棱柱（底面边长为）形容器内放入两个大小不等的铁球，其中较大的铁球与容器的底部和两个侧面相切，较小的铁球与该球外切，并且与容器的另外两个侧面相切，现往容器里注水，水面没过较大铁球后，继续注水，当水面恰好与较小铁球相切时，测得水面的高度为a，则两个铁球的半径之和为（容器壁厚度忽略不计）（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意可得两个球外切且又分别与边长为的正方体的三个面相切，如图（1），如图（2），作出正方体的体对角面，易知球心和在AC上，过点，分别作的垂线，垂足分别为，设球的半径为，球的半径为，由，得，，∴，∴，即两个铁球的半径之和为.故选：C.二、多选题：每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．9.已知向量，则下列命题正确的是（）A.的最大值为 B.若，则C.若是与垂直的单位向量，则D.当取得最大值时，【答案】AD【解析】∵，∴是单位向量，设，，则，当，方向相反，即时取等号，∴的最大值为，故A正确；等价于，即，即，∴，故B错误；，，，不垂直，故Ｃ错误；，其中，，故当时，取得最大值，此时，故D正确；故选：AD10.在中，角所对的边分别为，给出下列命题，其中正确的命题为（）A.若，则B.若，则满足条件的有两个C.若，则是钝角三角形D.存在，使得成立【答案】ABC【解析】对于A，若，则，由正弦定理可得，故A正确；对于B，若，则，因此满足条件的有两个，故B正确；对于C，若，则，所以，，所以，所以是钝角三角形，故C正确；D.由于当时，，所以，故D不正确.故选：ABC.11.如图，在直棱柱中，各棱长均为，则下列说法正确的是（）A.异面直线与所成角的正弦值为B.当点在棱上运动时，则直线与平面所成角的最大值为C.当点在棱上运动时，最小值为D.三棱锥外接球的表面积为【答案】BCD【解析】对于A，连接，，，四边形为平行四边形，，异面直线与所成角即为，，，，所以异面直线与所成角的正弦值为，故A错误；对于B，连接交于点，连接，在菱形中，，因为平面，平面，所以，又平面，所以平面，因为平面，平面，所以平面，所以线段的长度即为点到平面的距离，在等边三角形中，，则直线与平面所成角的正弦值为，当点与点重合时，取得最小值，所以直线与平面所成角正弦值的最大值为，所以直线与平面所成角的最大值为，故B正确；对于C，将四边形与沿着棱展开得四边形，则的最小值即为，故C正确；对于D，，，是边长为的正三角形，的外接圆半径，三棱锥外接球半径，三棱锥外接球表面积，故D正确.故选：BCD.三、填空题：每小题5分，共15分．12.在中，，延长到，使得，则的长度为_______．【答案】【解析】在中，，由正弦定理可得，，即，所以，在中，，，，由余弦定理可得，，所以.故答案为：13.在等腰梯形中，，，，是腰上的动点，则的最小值为______.【答案】【解析】以为原点，射线为轴正半轴建立直角坐标系，如图所示，因为，，过点作交于点，所以，所以，即，所以，，设，其中，，，，，当时，取最小值．故答案为：．14.如图，已知棱长为正方体，顶点在平面内，其余顶点都在平面同侧，且顶点到平面的距离分别为，则等于_______．【答案】【解析】设，显然是的中点，因为平面，到的距离为4，所以到的距离分别为2，而到的距离为2，因此，即，设平面，所以，因为四边形是正方形，所以，又平面，平面，所以，又，，平面，所以平面，因此有平面，而，所以平面平面，平面平面，，所以，在平面的射影，与共线，显然，如图所示：由，，，由（负值舍去），故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知平面向量，.（1）若，且，求的坐标；（2）当为何值时，与垂直；（3）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围.解：（1）设，，因为，所以，因为，所以，解得：或，所以或.（2），，因为与垂直，所以，解得：.（3），，因为与的夹角为锐角，所以解得：且，即.16.如图，在三棱柱中，侧面是矩形，侧面是菱形，分别是的中点，且．（1）求证：平面；（2）若，且是边长为4的正三角形，求三棱锥的体积．解：（1）连接，与交于点，分别是的中点，所以点是的中点，即是三角形的中位线，所以，又平面，平面，所以平面.（2）四边形是菱形，所以，又，，平面，所以平面，，由侧面是矩形可得，又，，平面，所以平面，即平面，所以.17.已知的内角的对边分别为，若．（1）求角C的大小；（2）若的面积为，求的最小值．解：（1）由，得，所以，因为，所以，所以，所以；（2）因为，所以，由余弦定理得，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为．18.如图，和都垂直于平面，是上一点，且，为等腰直角三角形，且是斜边的中点，与平面所成的角为.（1）证明：平面；（2）求二面角的平面角的正切值；（3）若点是平面内一点，且，设点到平面的距离为，，求的最小值.解：（1）平面，与平面所成的角为，，，，在等腰中，，又，，，，，，即，即，平面，平面，，，，平面，平面，平面，平面，，，平面.（2）过点作，连接，如图所示，平面，平面，，又，，平面，平面，，根据二面角的定义可知，为二面角的平面角，在中，，，，平面，平面，，在中，，，，.（3）由（1）知，，又，，平面，同理平面，平面与平面重合，即点平面，而平面，平面平面，平面，点到平面的距离转化为点到的距离，在平面内作点关于直线对称点，作于，当，，三点共线时，为最小，如图所示，则，在中，，，，的最小值为.19.在中，角所对的边分别是，．（1）求角的大小；（2）若，且边上的两条中线相交于点，求的余弦值；（3）若为锐角三角形，且，记的外心和垂心分别为，连接的直线与线段都相交，求证：线段的长度为．（1）解：由可得,故，由于,故，所以,由于,故（2）解：由余弦定理可得，解得（负值舍去），因为即为向量与的夹角，设，，则，因为，，所以，，故，，所以，故．（3）证明：设的外心为（三角形外接圆的圆心），以线段、为邻边作平行四边形，第四个顶点为，再以，为邻边作平行四边形，它的第四个顶点为．若，则点为的垂心；由题意可知，则因为为外心，所以，，则，即，同理可得：，所以，点为的垂心得证，因此由于为的垂心，为的外心，故，其中，设外接圆半径，则,,由于，故由于，故.浙东北联盟（ZDB）2024-2025学年高一上学期期中联考（AP班）数学试题一、单项选择题：每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．1.用一个半径为的半圆围成一个圆锥，则圆锥底面圆的半径为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为用一个半径为的半圆围成一个圆锥，所以半圆长为，所以圆锥底面圆的半径为：，故选：A2.若两个单位向量的夹角为，则（）A. B.1 C. D.2【答案】C【解析】故选：C3.用斜二测画法画出的某平面四边形的直观图如图所示，边平行于轴，平行于轴，若四边形为等腰梯形，且，则原四边形的周长为（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】记四边形所对应的原四边形为四边形，由题意可得，原四边形中，、都与轴平行，即四边形是直角梯形，因为，四边形为等腰梯形，所以，所以，，，因此，所以原四边形的周长为.故选：D4.勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.在如图所示的勒洛三角形中，已知，为弧上的点且，则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】以为坐标原点，为轴，垂直于方向为，建立平面直角坐标系，因为，,所以，即，且所以，所以，故选:C.5.某款厨房用具中的香料收纳罐的实物图如图1所示，该几何体为上、下底面周长分别为，的正四棱台，若棱台的高为，忽略收纳罐的厚度，则该香料收纳罐的容积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可知，该四棱台的上、下底面边长分别为，．故该香料收纳罐的容积为故选：B6.在中，角的对边分别为，其面积，，则边长为（）A.1 B. C. D.2【答案】D【解析】因为，又，所以，即，因为为三角形内角，所以，又，所以；由得，即，所以，即，所以，因此，故，即，因为，所以.故选：D7.已知点在棱长为2的正方体表面运动，且，则线段的长的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】点在棱长为2的正方体表面运动，且，则点的轨迹是线段的中垂面截正方体所得截面多边形，分别取棱，，，，，的中点，，，，，，则，因此四边形均为棱长为的菱形，所以平面，因此点，，，，，在线段的中垂面上，点的轨迹是六边形，如图，当点在线段上时，若点为线段中点，有，于是点为线段上任意一点，，当点在线段上时，为钝角，则，即，当点在线段上时，，为钝角，则，即，当点在线段上时，由，边上的高为，此时，由对称性知，当点在折线上时，，所以线段的长的取值范围是．故选：D．8.水平放置的正四棱柱（底面边长为）形容器内放入两个大小不等的铁球，其中较大的铁球与容器的底部和两个侧面相切，较小的铁球与该球外切，并且与容器的另外两个侧面相切，现往容器里注水，水面没过较大铁球后，继续注水，当水面恰好与较小铁球相切时，测得水面的高度为a，则两个铁球的半径之和为（容器壁厚度忽略不计）（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意可得两个球外切且又分别与边长为的正方体的三个面相切，如图（1），如图（2），作出正方体的体对角面，易知球心和在AC上，过点，分别作的垂线，垂足分别为，设球的半径为，球的半径为，由，得，，∴，∴，即两个铁球的半径之和为.故选：C.二、多选题：每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．9.已知向量，则下列命题正确的是（）A.的最大值为 B.若，则C.若是与垂直的单位向量，则D.当取得最大值时，【答案】AD【解析】∵，∴是单位向量，设，，则，当，方向相反，即时取等号，∴的最大值为，故A正确；等价于，即，即，∴，故B错误；，，，不垂直，故Ｃ错误；，其中，，故当时，取得最大值，此时，故D正确；故选：AD10.在中，角所对的边分别为，给出下列命题，其中正确的命题为（）A.若，则B.若，则满足条件的有两个C.若，则是钝角三角形D.存在，使得成立【答案】ABC【解析】对于A，若，则，由正弦定理可得，故A正确；对于B，若，则，因此满足条件的有两个，故B正确；对于C，若，则，所以，，所以，所以是钝角三角形，故C正确；D.由于当时，，所以，故D不正确.故选：ABC.11.如图，在直棱柱中，各棱长均为，则下列说法正确的是（）A.异面直线与所成角的正弦值为B.当点在棱上运动时，则直线与平面所成角的最大值为C.当点在棱上运动时，最小值为D.三棱锥外接球的表面积为【答案】BCD【解析】对于A，连接，，，四边形为平行四边形，，异面直线与所成角即为，，，，所以异面直线与所成角的正弦值为，故A错误；对于B，连接交于点，连接，在菱形中，，因为平面，平面，所以，又平面，所以平面，因为平面，平面，所以平面，所以线段的长度即为点到平面的距离，在等边三角形中，，则直线与平面所成角的正弦值为，当点与点重合时，取得最小值，所以直线与平面所成角正弦值的最大值为，所以直线与平面所成角的最大值为，故B正确；对于C，将四边形与沿着棱展开得四边形，则的最小值即为，故C正确；对于D，，，是边长为的正三角形，的外接圆半径，三棱锥外接球半径，三棱锥外接球表面积，故D正确.故选：BCD.三、填空题：每小题5分，共15分．12.在中，，延长到，使得，则的长度为_______．【答案】【解析】在中，，由正弦定理可得，，即，所以，在中，，，，由余弦定理可得，，所以.故答案为：13.在等腰梯形中，，，，是腰上的动点，则的最小值为______.【答案】【解析】以为原点，射线为轴正半轴建立直角坐标系，如图所示，因为，，过点作交于点，所以，所以，即，所以，，设，其中，，，，，当时，取最小值．故答案为：．14.如图，已知棱长为正方体，顶点在平面内，其余顶点都在平面同侧，且顶点到平面的距离分别为，则等于_______．【答案】【解析】设，显然是的中点，因为平面，到的距离为4，所以到的距离分别为2，而到的距离为2，因此，即，设平面，所以，因为四边形是正方形，所以，又平面，平面，所以，又，，平面，所以平面，因此有平面，而，所以平面平面，平面平面，，所以，在平面的射影，与共线，显然，如图所示：由，，，由（负值舍去），故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知平面向量，.（1）若，且，求的坐标；（2）当为何值时，与垂直；（3）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围.解：（1）设，，因为，所以，因为，所以，解得：或，所以或.（2），，因为与垂直，所以，解得：.（3），，因为与的夹角为锐角，所以解得：且，即.16.如图，在三棱柱中，侧面是矩形，侧面是菱形，分别是的中点，且．（1）求证：平面；（2）若，且是边长为4的正三角形，求三棱锥的体积．解：（1）连接，与交于点，分别是的中点，所以点是的中点，即是三角形的中位线，所以，又平面，平面，所以平面.（2）四边形是菱形，所以，又，，平面，所以平面，，由侧面是矩形可得，又，，平面，所以平面，即平面，所以.17.已知的内角的对边分别为，若．