2024届山东省潍坊市二模数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1山东省潍坊市2024届二模数学试题一、单项选择题1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，，故.故选：C2.已知随机变量，且，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意可知其均值为3，2和4关于3对称，所以，因此.故选：C3.将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到的图象，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】将函数的图象向右平移个单位长度，得，再将所得图象上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得.故选：B.4.已知，，，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】，，，所以，故选：A.5.在平面直角坐标系内，将曲线：绕原点逆时针方向旋转角得到曲线，若是一个函数的图象，则可以为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】曲线图像如图所示，其图像为轴右侧的半圆，根据函数的定义在函数定义域内任意的值都有唯一的值与其对应，反映到图像上就是在其定义域内作与轴垂直的直线，与函数图像有一个交点，因此四个选项仅逆时针旋转满足条件.故选：C.6.如图，圆台的上、下底面半径分别为，，且，半径为4的球与圆台的上、下底面及每条母线均相切，则圆台的侧面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】如图所示，作出轴截面，分别为上下底面圆的圆心，为侧面切点，为内切球球心，则为的中点，，因为，所以，则过点作，垂足为，则，在中，由勾股定理得，即，解得或，因为，所以，，故，所以圆台的侧面积为.故选：D.7.已知函数则图象上关于原点对称的点有（）A.1对 B.2对 C.3对 D.4对【答案】C【解析】作出的图象，再作出函数关于原点对称的图象如图所示.因为函数关于原点对称的图象与图象有三个交点，故图象上关于原点对称的点有3对.故选：C8.已知P为抛物线上一动点，过P作圆的切线，切点分别为A，B，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，则求的最大值即求最大值，由题得圆心坐标，半径，设，则在中，，易知，则最大时，最小，设，，且，则，即时，，此时取得最大值，，结合得此时，则.故选：B.二、多项选择题9.已知椭圆：的焦点分别为，，P为上一点，则（）A.的焦距为 B.的离心率为C.的周长为 D.面积的最大值为【答案】ABD【解析】设椭圆：的长轴长为，短轴长为，焦距为，则，故，所以焦距为，故A正确；的离心率为，故B正确；的周长为，故C错误；对于D，当点位于椭圆的上下顶点时，的面积最大，最大值为，故D正确.故选：ABD.10.定义域是复数集的子集的函数称为复变函数，就是一个多项式复变函数．给定多项式复变函数之后，对任意一个复数，通过计算公式，可以得到一列值．如果存在一个正数，使得对任意都成立，则称为的收敛点；否则，称为的发散点．则下列选项中是的收敛点的是（）A. B. C. D.【答案】BD【解析】对A，由可得数列，，，…不合题意，故A错误；对B，由可得数列，，，…则存在一个正数，使得对任意都成立，满足题意，故B正确；对C，由可得数列，，，…不满足题意，故C错误；对D，由可得数列…因为，存在一个正数，使得对任意都成立，满足题意，故D正确；故选：BD11.已知向量，，为平面向量，，，，，则（）A. B.的最大值为C. D.若，则的最小值为【答案】BCD【解析】对A，设，根据有，即，为圆心为，半径为的圆，又的几何意义为原点到圆上的距离，则，故A错误；对B，，则转化为求圆上的点到的距离最大值，为，故B正确；对C，，因为，故，故C正确；对D，因为，故，又因为，故，，故当时，取最小值取最小值，故D正确.故选：BCD三、填空题12.已知命题：，，则为___________．【答案】【解析】由特称命题的否定为全称命题可得为.故答案为：13.请写出同时满足下面三个条件的一个函数解析式__________．①；②至少有两个零点；③有最小值．【答案】（答案不唯一）【解析】取，其对称轴为，满足①，令，解得或2，满足②至少有两个零点，，当，，满足③有最小值.故答案为：（答案不唯一）.14.在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，其外接圆半径为1，，则的面积为_______；当A取得最大值时，则________．【答案】【解析】由正弦定理得，则，则.，

，则，，，则，当且仅当时取等，因为，则最小时，最大，取等时，，即，即，即，即，即.故答案为：；.四、解答题15.已知函数，曲线在点处的切线方程为．（1）求实数a，b的值；（2）求的单调区间和极值．解：（1）由题可得，由题意，故，又，故.（2）由（1）可得，令可得或，令可得，故的单调递增区间是，，单调递减区间是.则的极大值为，极小值为.16.某市2017年至2023年城镇居民人均可支配收入如下表，将其绘制成散点图（如下图），发现城镇居民人均可支配收入y（单位：万元）与年份代号x具有线性相关关系．年份2017201820192020202120222023年份代号1234567人均可支配收入3.653.894.084.304.654.905.12（1）求y关于x的线性回归方程，并根据所求回归方程，预测2024年该市城镇居民人均可支配收入；（2）某分析员从2017年至2023年人均可支配收入中，任取3年的数据进行分析，记其中人均可支配收入超过4.5万的年份个数为随机变量X，求X的分布列与数学期望．参考数据及公式：，，，．解：（1）由题意得，，，，，故，，故回归方程为，又因为2024年的年份编号为8，将代入，解得，预测2024年该市城镇居民人均可支配收入为5.37万元;（2）由图表知，人均可支配收入超过4.5万的年份有3年，故的可能取值为0，1，2，3，则，，，，故随机变量的分布列为：0123故.17.如图1，在平行四边形中，，，E为的中点，将沿折起，连结，，且，如图2．（1）求证：图2中的平面平面；（2）在图2中，若点在棱上，直线与平面所成的角的正弦值为，求点到平面的距离．（1）证明：连接，由题意，则等边三角形，由余弦定理得，所以，则，所以，又平面，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）解：如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，则，设，故，，因为轴垂直平面，故可取平面的一条法向量为，所以，化简得，解得或（舍去），所以，设平面法向量为，则有，可取，所以点到平面的距离为．18.已知双曲线：的实轴长为，右焦点到一条渐近线的距离为1．（1）求的方程；（2）过上一点作的切线，与的两条渐近线分别交于R，S两点，为点关于坐标原点的对称点，过作的切线，与的两条渐近线分别交于M，N两点，求四边形的面积．（3）过上一点Q向的两条渐近线作垂线，垂足分别为，，是否存在点Q，满足，若存在，求出点Q坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）因为双曲线实轴长为，故，，的一条渐近线方程为，则，故双曲线的方程为.（2）由题意可知四边形为平行四边形，其面积，由题意可得直线的斜率存在，设直线，且，联立，消去并整理得，因为直线与双曲线相切，故，得，即，所以，直线方程为.设直线与的交点为，与的交点为，联立，得，同理得，则，因为原点到直线的距离，所以，所以.（3）设，则，不妨设到直线的距离为：，同理，所以①又因为②，由①②解得或，当时，解得，又，则，解得，同理有或或，所以存在点或或或满足.19.数列中，从第二项起，每一项与其前一项的差组成的数列称为的一阶差数列，记为，依此类推，的一阶差数列称为的二阶差数列，记为，…．如果一个数列的p阶差数列是等比数列，则称数列为p阶等比数列．（1）已知数列满足，．（ⅰ）求，，；（ⅱ）证明：是一阶等比数列；（2）已知数列为二阶等比数列，其前5项分别为，求及满足为整数的所有n值．（1）（ⅰ）解：由，易得，……由一阶等差数列的定义得：，，.（ⅱ）证明：因为，所以当时有，所以，即，即，又因为，故是以1为首项，2为公比的等比数列，即是一阶等比数列.（2）解：由题意的二阶等差数列为等比数列，设公比为，则，，所以.由题意，所以，所以，即.所以为整数当且仅当为整数.由已知时符合题意，时不合题意，当时，，所以原题等价于为整数，因为①，显然含质因子3，所以必为9的倍数，设，则，将代入①式，当为奇数时，为偶数，①式为2的倍数；当为偶数时，为奇数，为偶数，①式为2的倍数，又因为2与9互质，所以①为整数.综上，当时，为整数.山东省潍坊市2024届二模数学试题一、单项选择题1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，，故.故选：C2.已知随机变量，且，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意可知其均值为3，2和4关于3对称，所以，因此.故选：C3.将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到的图象，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】将函数的图象向右平移个单位长度，得，再将所得图象上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得.故选：B.4.已知，，，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】，，，所以，故选：A.5.在平面直角坐标系内，将曲线：绕原点逆时针方向旋转角得到曲线，若是一个函数的图象，则可以为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】曲线图像如图所示，其图像为轴右侧的半圆，根据函数的定义在函数定义域内任意的值都有唯一的值与其对应，反映到图像上就是在其定义域内作与轴垂直的直线，与函数图像有一个交点，因此四个选项仅逆时针旋转满足条件.故选：C.6.如图，圆台的上、下底面半径分别为，，且，半径为4的球与圆台的上、下底面及每条母线均相切，则圆台的侧面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】如图所示，作出轴截面，分别为上下底面圆的圆心，为侧面切点，为内切球球心，则为的中点，，因为，所以，则过点作，垂足为，则，在中，由勾股定理得，即，解得或，因为，所以，，故，所以圆台的侧面积为.故选：D.7.已知函数则图象上关于原点对称的点有（）A.1对 B.2对 C.3对 D.4对【答案】C【解析】作出的图象，再作出函数关于原点对称的图象如图所示.因为函数关于原点对称的图象与图象有三个交点，故图象上关于原点对称的点有3对.故选：C8.已知P为抛物线上一动点，过P作圆的切线，切点分别为A，B，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，则求的最大值即求最大值，由题得圆心坐标，半径，设，则在中，，易知，则最大时，最小，设，，且，则，即时，，此时取得最大值，，结合得此时，则.故选：B.二、多项选择题9.已知椭圆：的焦点分别为，，P为上一点，则（）A.的焦距为 B.的离心率为C.的周长为 D.面积的最大值为【答案】ABD【解析】设椭圆：的长轴长为，短轴长为，焦距为，则，故，所以焦距为，故A正确；的离心率为，故B正确；的周长为，故C错误；对于D，当点位于椭圆的上下顶点时，的面积最大，最大值为，故D正确.故选：ABD.10.定义域是复数集的子集的函数称为复变函数，就是一个多项式复变函数．给定多项式复变函数之后，对任意一个复数，通过计算公式，可以得到一列值．如果存在一个正数，使得对任意都成立，则称为的收敛点；否则，称为的发散点．则下列选项中是的收敛点的是（）A. B. C. D.【答案】BD【解析】对A，由可得数列，，，…不合题意，故A错误；对B，由可得数列，，，…则存在一个正数，使得对任意都成立，满足题意，故B正确；对C，由可得数列，，，…不满足题意，故C错误；对D，由可得数列…因为，存在一个正数，使得对任意都成立，满足题意，故D正确；故选：BD11.已知向量，，为平面向量，，，，，则（）A. B.的最大值为C. D.若，则的最小值为【答案】BCD【解析】对A，设，根据有，即，为圆心为，半径为的圆，又的几何意义为原点到圆上的距离，则，故A错误；对B，，则转化为求圆上的点到的距离最大值，为，故B正确；对C，，因为，故，故C正确；对D，因为，故，又因为，故，，故当时，取最小值取最小值，故D正确.故选：BCD三、填空题12.已知命题：，，则为___________．【答案】【解析】由特称命题的否定为全称命题可得为.故答案为：13.请写出同时满足下面三个条件的一个函数解析式__________．①；②至少有两个零点；③有最小值．【答案】（答案不唯一）【解析】取，其对称轴为，满足①，令，解得或2，满足②至少有两个零点，，当，，满足③有最小值.故答案为：（答案不唯一）.14.在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，其外接圆半径为1，，则的面积为_______；当A取得最大值时，则________．【答案】【解析】由正弦定理得，则，则.，

，则，，，则，当且仅当时取等，因为，则最小时，最大，取等时，，即，即，即，即，即.故答案为：；.四、解答题15.已知函数，曲线在点处的切线方程为．（1）求实数a，b的值；（2）求的单调区间和极值．解：（1）由题可得，由题意，故，又，故.（2）由（1）可得，令可得或，令可得，故的单调递增区间是，，单调递减区间是.则的极大值为，极小值为.16.某市2017年至2023年城镇居民人均可支配收入如下表，将其绘制成散点图（如下图），发现城镇居民人均可支配收入y（单位：万元）与年份代号x具有线性相关关系．年份2017201820192020202120222023年份代号1234567人均可支配收入3.653.894.084.304.654.905.12（1）求y关于x的线性回归方程，并根据所求回归方程，预测2024年该市城镇居民人均可支配收入；（2）某分析员从2017年至2023年人均可支配收入中，任取3年的数据进行分析，记其中人均可支配收入超过4.5万的年份个数为随机变量X，求X的分布列与数学期望．参考数据及公式：，，，．解：（1）由题意得，，，，，故，，故回归方程为，又因为2024年的年份编号为8，将代入，解得，预测2024年该市城镇居民人均可支配收入为5.37万元;（2）由图表知，人均可支配收入超过4.5万的年份有3年，故的可能取值为0，1，2，3，则，，，，故随机变量的分布列为：0123故.17.如图1，在平行四边形中，，，E为的中点，将沿折起，连结，，且，如图2．（1）求证：图2中的平面平面；（2）在图2中，若点在棱上，直线与平面所成的角的正弦值为，求点到平面的距离．（1）证明：连接，由题意，则等边三角形，由余弦定理得，所以，则，所以，又平面，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）解：如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，则，设，故，，因为轴垂直平面，故可取平面的一条法向量为，所以，化简得，解得或（舍去），所以，设平面法向量为，则有，可取，所以点到平面的距离为．18.已知双曲线：的实轴长为，右焦点到一条渐近线的距离为1．（1）求的方程；（2）过上一点作的切线，与的两条渐近线分别交于R，S两点，为点关于坐标原点的对称点，过作的切线，与的两条渐近线分别交于M，N两点，求四边形的面积．