2025届河南省周口市项城市高三三模数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河南省周口市项城市2025届高三三模数学试卷一、单选题1．已知集合A={x|x2<4},B={x|lg(x-1)<1}A．1,2 B．2,11 C．-2,11 D．1,11【答案】A【解析】因为A={x|x2<4}=(-2,2),B={x|lg故选：A.2．已知4z=1-i（i为虚数单位)，则zA．2 B．22 C．4 D．【答案】B【解析】由复数4z=1-i，可得z=故选：B.3．已知向量a=-1, 3, bA．π3 B．π6 C．5π【答案】C【解析】因为向量a=-1, 所以a2-2a设向量a与b的夹角为θ,θ∈0,π，所以θ=5故选：C.4．如图，某圆台形木质零件的上底面圆O1的半径为3，下底面圆O2的半径为6，母线长为6.现从该零件中挖去了一个以圆O1为底面、O2为顶点的圆锥O2A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【解析】如图，过点A作AH⊥BO2，垂足为由题意可知O1所以四边形AO1O2H所以AO2=AB=B所以△ABO2内切圆的半径为即满足要求的球O3O4过点O3作O3O⊥则四边形OO3H显然Oii=3,4,5,⋯,n在以O为圆心，半径为在△OO3O由余弦定理得cos∠所以∠O因为5×70.53°=352.65°<360°,6×70.53°=423.18°>360°，所以满足题意的球至多有5个.故选：B.5．过圆O：x2+y2=1外的点P(3,2)作O的一条切线，切点为MA．2 B．23 C．13 D．【答案】B【解析】由题意有MP2=OP故选：B.6．已知直线m，n和平面α，其中m⊂α，则“m⊥n”是“n⊥α”的（

）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由m⊂α，m⊥n，则可能有n⊂α，n//α或者n与α相交，不能推出n⊥α，若n⊥α，m⊂α，则有n⊥m，所以“m⊥n”是“n⊥α”的必要不充分条件.故选：C7．已知A为△ABC的一个内角，且tanA+π4=1A．1010 B．-1010 C．3【答案】D【解析】由题意得tanA=tanA+所以cosA=-故选：D.8．若数轴上有一个质点位于x=0处，每次运动它都等可能地向左或向右移动一个单位，已知它在第10次运动后首次到达x=6处，则它在运动过程中没有重返过原点的概率为（

）A．12 B．1327 C．2845【答案】B【解析】设第i次向右运动赋值为xi=1，第i次向左运动赋值为则10次运动路径可以表示为有序数组x1,x2,⋯,记10次运动后首次到达x=6处的路径为y1则∀1≤i≤9，i∑k=1yk≤5且10而8∑k=1yk≤5故y9=1，8∑k=1y而∀1≤i≤5，i∑因此yi中有且仅有两个-1,y记10次运动后首次到达x=6处且过程中没有重返原点的路径为z1同理可得zi中有且仅有两个-1,z所以题中所求概率为1327故选:B.二、多选题9．已知双曲线C:x2-y23=1的左、右焦点分别为F1,F2，左、右顶点分别为A,B，过F2的直线l与双曲线的右支交于P,Q两点(P在第一象限)，A．I1,B,I2三点共线 B．直线C．若r1=2r2，则直线l的斜率为6 D．【答案】ABD【解析】依题意，得a2=1,b则A设点P对于A项，如图，设△PF1F由双曲线的定义得，∣PF1∣-∣P得∣RF1∣-∣S得∣TF1∣-∣T得切点T与点B重合，得点T1,0，则内心I1的横坐标为同理可得，内心I2的横坐标也为1，得I1,B,I对于B项，由x12-得y1-y2x对于C项，设直线l的倾斜角为θ，连接I1则∠I1若r1=2r2，则

对于D项，由题可知双曲线的渐近线为：y=±3x，倾斜角分别为为因为直线l与双曲线的右支交于P,Q两点，所以θ∈π3令tanθ2=t，则t∈33,3故t+1故r1+r2故选：ABD10．已知三个正态密度函数fix=A．μB．σC．若X∼N1,σD．若Z∼Nμ1,σ【答案】CD【解析】根据正态曲线关于直线x=μ对称，且μ越大曲线越靠右，则μ1<μ又σ越小，数据越集中，正态曲线越瘦高，则σ1=σX∼N1,则PX>2所以PX>0=P(0<X<1)+PX≥1由三个正态密度函数的图象可知，存在实数x0>μ3，使得故选：CD．11．已知定义在R上的可导函数fx满足：f'x>2，若单调递增数列anA．an的通项公式是an=n BC．an可能是等比数列 D．若a2【答案】BCD【解析】对于A选项：若an=n，则fa但f'x=1<2求导y'=f当fx=4x，an由B可知y=fx-2x为增函数，且故fan+1-2得an+2-a得a100>a1故选：BCD.三、填空题12．已知等差数列an的前n项和为Sn，满足sina3【答案】2001【解析】因为sina3-令gx=sinx+3x，则gx的定义域为R，且g-x=sin-x-3x=-gx，所以令x1=a3-π4,x故S2001故答案为：2001π13．不等式e2x+3a2x≥aex【答案】(-【解析】由不等式e2x+3a要使得不等式e2x+3a可得分为两种情况：（1）不等式ex-3a≥0且ex由不等式ex-3a≥0恒成立，即a≤e由不等式ex-ax≥0恒成立，即a≤e令fx=e所以fx在[1,+∞)上单调递增，所以fxmin（2）方程ex-3a=0且ex-ax=0有相同的解，即由ex-3a=0，可得x=ln3a，将x=ln3a代入综上可得，实数a的取值范围为(-∞故答案为：(-∞14．设直线23x-2y-3=0与抛物线C：y2=2pxp>0相交于点A，B，点F为抛物线C的焦点.【答案】1【解析】已知直线方程23x-2y-3将y=3x-3(3x-32)设A(x1,y1)，由抛物线的焦半径公式可知|AF|=x1+已知|AF|-|BF|=43，则(x对(x(43)2=(3+2p因为p>0，所以3+2p=5，解得p=1.可得焦点F的坐标为(1故答案为：(1四、解答题15．记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c．已知a-bcosC=33csinB,a=2,c=6（1）求角B；（2）求BD．解：（1）由正弦定理有sinA-因为sinA=代入化简，得sinC因为C∈(0,π)，故sinC≠0故B=π（2）由题可知BD=故|=1故BD=16．已知数列an与log2bn都是等差数列，其前n项和分别为Sn与Tn，且a2（1）求数列an与b（2）求数列-1nanbn解：（1）设等差数列an与log2bn的公差分别为由a2+a4+所以an由b1=a1=2所以b2=4，则d2所以log2bn（2）由（1）可得-1n所以Pn则-1所以3=-11--所以Pn17．如图1，在菱形ABCD中，∠DAB=60∘，点M,N分别是边BC,CD的中点，AC∩BD=O1，AC∩MN=G.沿直线MN将△CMN翻折到△PMN的位置，连接PA,PB,PD，得到如图（1）证明：在翻折过程中，总有PD=PB.（2）若平面PMN⊥平面MNDB，线段PA上是否存在一点Q（可与点P重合），使得点B到平面QDN的距离是菱形ABCD边长的8729？若存在，试确定点Q的位置，并求此时平面QDN与平面PMN所成锐二面角的余弦值；若不存在，请说明理由（1）证明：因为四边形ABCD是菱形且AC∩BD=O1，所以AC⊥BD，因为M,N分别是边BC,CD的中点，AC∩MN=G，所以MN∥BD.因为AC⊥BD，所以MN⊥AC，CG⊥MN.即在五边形ABMND中，AG⊥BD,AG⊥MN,DO1=BO1在折叠过程中，MN⊥PG，又因为MN∥BD，所以BD⊥PG.又AG⊥BD,AG∩PG=G,AG,PG⊂平面PAG，所以BD⊥平面PAG.连接PO1，因为PO1⊂又DO1=BO1，所以P（2）解：因为平面PMN⊥平面MNDB，平面PMN∩平面MNDB=MN,PG⊂平面PMN,PG⊥MN，所以PG⊥平面MNDB.因为AG⊂平面MNDB，所以PG⊥AG.又因为GM⊥AG，所以GA,GM,GP两两垂直，故以G为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系.不妨设菱形ABCD的边长为4a，则P0,0,N0,-a,0所以PB=PA=假设线段PA上存在符合题意的点P，设PQ=λ则GQ=易知平面PMN的一个法向量为n1设平面QDN的法向量为n2因为DQ=所以n可取n2设平面QDN与平面PMN所成锐二面角为θ，则cosθ=因为DB=a0,4,0，所以点B到平面QDN487a29，即λ-1化简得2λ2-7λ+3=0，解得综上，当点B到平面QDN的距离是菱形ABCD边长的8729点Q在线段PA的中点处，此时平面QDN与平面PMN所成锐二面角的余弦值为292918．已知椭圆C：y2a2+x2b2=1(a>b>0)的离心率为（1）求C的方程；（2）作曲线y=lnx在x=x（ⅰ）若x0=1，l与C相交于A，B两点，P是C上任意一点，求（ⅱ）当0<x0<2时，证明l解：（1）由题意，C经过点(1,0)，则b=1，又e=ca=可得a=2，c=1所以y2（2）（ⅰ）由y=lnx求导得y'=1x，当x0=1时，切线得3x2-2x-1=0，则有x=1或-设Px1,y1，则点P因为y122+x从而3x令Δ=4(t+1)2-12(t+1)2-2≥0所以△ABP面积的最大值为2(3+1)3，当且仅当t=-3-1，即（ⅱ）切线l：y-lnx0带入2x2+y由题意只需证明Δ>0，即4x即证：1x02-lnf'令g(x)=1x2g'(x)=-2x3+1所以当x∈(0,1)时，g(x)>0，f'(x)<0，当x∈(1,2)时，所以当x∈(0,1)时，f(x)单调递减，当x∈(1,2)时，所以f(x)≥f(1)=2>0，得证.19．若连续函数fx满足f″x+fx=0在定义域内恒成立，则称（1）判断以下函数是否为“T函数”，请说明理由.（ⅰ）y=1；（ⅱ）y=e（ⅲ）y=sin（2）若非常值函数fx存在二阶导数，证明：fx为“T函数”的充要条件是y=（3）已知非常值函数fx为“T函数”，且f0=f'0=1.记x为不超过解：（1）（ⅰ）f″x+fx=1≠0，故不是（ii）f″x+fx=2ex不恒为（iii）f″x+fx=-（2）由fx为非常值函数，得f'y=fx2+f'x2是常值函数⇔y（3）由（2）设fx2+令fx=rsinθ，f'x=r因此f'x=rcosθx⋅因此fx=rsin又f0=f进而解得c=π4+2k因此f所以函数y=可得函数y=fxx在0,π河南省周口市项城市2025届高三三模数学试卷一、单选题1．已知集合A={x|x2<4},B={x|lg(x-1)<1}A．1,2 B．2,11 C．-2,11 D．1,11【答案】A【解析】因为A={x|x2<4}=(-2,2),B={x|lg故选：A.2．已知4z=1-i（i为虚数单位)，则zA．2 B．22 C．4 D．【答案】B【解析】由复数4z=1-i，可得z=故选：B.3．已知向量a=-1, 3, bA．π3 B．π6 C．5π【答案】C【解析】因为向量a=-1, 所以a2-2a设向量a与b的夹角为θ,θ∈0,π，所以θ=5故选：C.4．如图，某圆台形木质零件的上底面圆O1的半径为3，下底面圆O2的半径为6，母线长为6.现从该零件中挖去了一个以圆O1为底面、O2为顶点的圆锥O2A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【解析】如图，过点A作AH⊥BO2，垂足为由题意可知O1所以四边形AO1O2H所以AO2=AB=B所以△ABO2内切圆的半径为即满足要求的球O3O4过点O3作O3O⊥则四边形OO3H显然Oii=3,4,5,⋯,n在以O为圆心，半径为在△OO3O由余弦定理得cos∠所以∠O因为5×70.53°=352.65°<360°,6×70.53°=423.18°>360°，所以满足题意的球至多有5个.故选：B.5．过圆O：x2+y2=1外的点P(3,2)作O的一条切线，切点为MA．2 B．23 C．13 D．【答案】B【解析】由题意有MP2=OP故选：B.6．已知直线m，n和平面α，其中m⊂α，则“m⊥n”是“n⊥α”的（

）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由m⊂α，m⊥n，则可能有n⊂α，n//α或者n与α相交，不能推出n⊥α，若n⊥α，m⊂α，则有n⊥m，所以“m⊥n”是“n⊥α”的必要不充分条件.故选：C7．已知A为△ABC的一个内角，且tanA+π4=1A．1010 B．-1010 C．3【答案】D【解析】由题意得tanA=tanA+所以cosA=-故选：D.8．若数轴上有一个质点位于x=0处，每次运动它都等可能地向左或向右移动一个单位，已知它在第10次运动后首次到达x=6处，则它在运动过程中没有重返过原点的概率为（

）A．12 B．1327 C．2845【答案】B【解析】设第i次向右运动赋值为xi=1，第i次向左运动赋值为则10次运动路径可以表示为有序数组x1,x2,⋯,记10次运动后首次到达x=6处的路径为y1则∀1≤i≤9，i∑k=1yk≤5且10而8∑k=1yk≤5故y9=1，8∑k=1y而∀1≤i≤5，i∑因此yi中有且仅有两个-1,y记10次运动后首次到达x=6处且过程中没有重返原点的路径为z1同理可得zi中有且仅有两个-1,z所以题中所求概率为1327故选:B.二、多选题9．已知双曲线C:x2-y23=1的左、右焦点分别为F1,F2，左、右顶点分别为A,B，过F2的直线l与双曲线的右支交于P,Q两点(P在第一象限)，A．I1,B,I2三点共线 B．直线C．若r1=2r2，则直线l的斜率为6 D．【答案】ABD【解析】依题意，得a2=1,b则A设点P对于A项，如图，设△PF1F由双曲线的定义得，∣PF1∣-∣P得∣RF1∣-∣S得∣TF1∣-∣T得切点T与点B重合，得点T1,0，则内心I1的横坐标为同理可得，内心I2的横坐标也为1，得I1,B,I对于B项，由x12-得y1-y2x对于C项，设直线l的倾斜角为θ，连接I1则∠I1若r1=2r2，则

对于D项，由题可知双曲线的渐近线为：y=±3x，倾斜角分别为为因为直线l与双曲线的右支交于P,Q两点，所以θ∈π3令tanθ2=t，则t∈33,3故t+1故r1+r2故选：ABD10．已知三个正态密度函数fix=A．μB．σC．若X∼N1,σD．若Z∼Nμ1,σ【答案】CD【解析】根据正态曲线关于直线x=μ对称，且μ越大曲线越靠右，则μ1<μ又σ越小，数据越集中，正态曲线越瘦高，则σ1=σX∼N1,则PX>2所以PX>0=P(0<X<1)+PX≥1由三个正态密度函数的图象可知，存在实数x0>μ3，使得故选：CD．11．已知定义在R上的可导函数fx满足：f'x>2，若单调递增数列anA．an的通项公式是an=n BC．an可能是等比数列 D．若a2【答案】BCD【解析】对于A选项：若an=n，则fa但f'x=1<2求导y'=f当fx=4x，an由B可知y=fx-2x为增函数，且故fan+1-2得an+2-a得a100>a1故选：BCD.三、填空题12．已知等差数列an的前n项和为Sn，满足sina3【答案】2001【解析】因为sina3-令gx=sinx+3x，则gx的定义域为R，且g-x=sin-x-3x=-gx，所以令x1=a3-π4,x故S2001故答案为：2001π13．不等式e2x+3a2x≥aex【答案】(-【解析】由不等式e2x+3a要使得不等式e2x+3a可得分为两种情况：（1）不等式ex-3a≥0且ex由不等式ex-3a≥0恒成立，即a≤e由不等式ex-ax≥0恒成立，即a≤e令fx=e所以fx在[1,+∞)上单调递增，所以fxmin（2）方程ex-3a=0且ex-ax=0有相同的解，即由ex-3a=0，可得x=ln3a，将x=ln3a代入综上可得，实数a的取值范围为(-∞故答案为：(-∞14．设直线23x-2y-3=0与抛物线C：y2=2pxp>0相交于点A，B，点F为抛物线C的焦点.【答案】1【解析】已知直线方程23x-2y-3将y=3x-3(3x-32)设A(x1,y1)，由抛物线的焦半径公式可知|AF|=x1+已知|AF|-|BF|=43，则(x对(x(43)2=(3+2p因为p>0，所以3+2p=5，解得p=1.可得焦点F的坐标为(1故答案为：(1四、解答题15．记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c．已知a-bcosC=33csinB,a=2,c=6（1）求角B；（2）求BD．解：（1）由正弦定理有sinA-因为sinA=代入化简，得sinC因为C∈(0,π)，故sinC≠0故B=π（2）由题可知BD=故|=1故BD=16．已知数列an与log2bn都是等差数列，其前n项和分别为Sn与Tn，且a2（1）求数列an与b（2）求数列-1nanbn解：（1）设等差数列an与log2bn的公差分别为由a2+a4+所以an由b1=a1=2所以b2=4，则d2所以log2bn（2）由（1）可得-1n所以Pn则-1所以3=-11--所以Pn17．如图1，在菱形ABCD中，∠DAB=60∘，点M,N分别是边BC,CD的中点，AC∩BD=O1，AC∩MN=G.沿直线MN将△CMN翻折到△PMN的位置，连接PA,PB,PD，得到如图（1）证明：在翻折过程中，总有PD=PB.（2）若平面PMN⊥平面MNDB，线段PA上是否存在一点Q（可与点P重合），使得点B到平面QDN的距离是菱形ABCD边长的8729？若存在，试确定点Q的位置，并求此时平面QDN与平面PMN所成锐二面角的余弦值；若不存在，请说明理由（1）证明：因为四边形ABCD是菱形且AC∩BD=O1，所以AC⊥BD，因为M,N分别是边BC,CD的中点，AC∩MN=G，所以MN∥BD.因为AC⊥BD，所以MN⊥AC，CG⊥MN.即在五边形ABMND中，AG⊥BD,AG⊥MN,DO1=BO1在折叠过程中，MN⊥PG，又因为MN∥BD，所以BD⊥PG.又AG⊥BD,AG∩PG=G,AG,PG⊂平面PAG，所以BD⊥平面PAG.连接PO1，因为PO1⊂又DO1=BO1，所以P（2）解：因为平面PMN⊥平面MNDB，平面PMN∩平面MNDB=MN,PG⊂平面PMN,PG⊥MN，所以PG⊥平面MNDB.因为AG⊂平面MNDB，所以PG⊥AG.又因为GM⊥AG，所以GA,GM,GP两两垂直，故以G为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系.不妨设菱形ABCD的边长为4a，则P0,0,N0,-a,0所以PB=PA=假设线段PA上存在符合题意的点P，设PQ=λ则GQ=易知平面PMN的一个法向量为n1设平面QDN的法向量为n2因为DQ=所以n可取n2设平面QDN与平面PMN所成锐二面角为θ，则