2025届湖南省名校联合体高三考前仿真模拟数学试卷（一）（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖南省名校联合体2025届高三考前仿真模拟数学试卷一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若，则（）A.B.C. D.【答案】A【解析】因为，所以.故选：A.2.复数的模为（）A.2 B.1 C. D.【答案】D【解析】方法一：，所以.故选：D方法二：.故选：D3.若，则（）A. B. C.1 D.7【答案】B【解析】由两角和的正切公式得.故选：B4.函数的图象可以由（）A.的图象向右平移个单位长度，再把曲线上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到B.的图象向左平移个单位长度，再把曲线上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）得到C.的图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度得到D.的图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度得到【答案】C【解析】对于A：将图象向右平移个单位长度得到，再将各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到，故A错误；对于B：将的图象向左平移个单位长度得到，再将各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）得到，故B错误；对于C：的图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到，再将向右平移个单位长度得到，故C正确；对于D：的图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）得到，再将向左平移个单位长度得到，故D错误.故选：C5.已知直线与圆：相交于两点，其中点为圆心，若，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】化为，所以的圆心为，半径为2.，其中为圆心到直线的距离.因为，所以，因为，所以.故选：B6.在平行四边形中，若，则在上的投影向量为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，所以平分，所以平行四边形为菱形，如图：由两边平方得，，所以，所以，所以在上的投影向量为.故选：D7.已知点在抛物线上，记点到轴，到直线的距离分别为，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】易知抛物线的焦点为，准线方程为，设点到直线的距离为，则.故选：A.8.如图，三个区域有通道口两两相通，一质点从其所在的区域随机选择一个通道口进入相邻的区域，设经过次随机选择后质点到达区域的概率为，若质点一开始在区域，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】记质点经过次随机选择后到达区域的概率为，质点经过次随机选择后到达区域的概率为，则有，消去，可得，则，因为，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以，即，故.故选：.二､多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.若函数的定义域都为，且为奇函数，为偶函数，则（）A.是偶函数 B.是偶函数C.是奇函数 D.是奇函数【答案】ABD【解析】函数的定义域都为，对于A，因为，所以是偶函数，故A正确；对于B，因为为奇函数，所以，则是偶函数，故B正确；对于C，因为偶函数，则，即是偶函数，故C错误；对于D，因，则为偶函数，又因为为奇函数，则是奇函数，故D正确.故选：ABD.10.如图，在中，若为边上的点（不包含），，则（）A.外接圆的半径为B.顶点到的最大距离为C.若为边的中点，则D.若为边的中点，则的最大值为【答案】BCD【解析】对于A，设外接圆的半径为，由正弦定理得，，所以，所以A错误；对于B，由得，顶点在圆弧上运动，当且仅当时，顶点到的最大距离为，所以B正确；对于C，若为边的中点，则，所以，所以，C正确；对于D，在中，由余弦定理得，当且仅当时取等号，又，则，因此当时，取得最大值，D正确.故选：BCD.11.在三棱锥中，已知分别为，的重心，以下说法正确的是（）A.B.平面C.若，则二面角的大小为D.若，则三棱锥外接球的表面积为【答案】ABD【解析】对于A，取的中点为，连接.由已知得，，又，平面，所以平面，又平面，所以，故A正确；对于B，因为分别为的重心，所以，且，所以，所以，又平面平面，所以平面，故B正确；对于C，由得二面角的平面角为，因为，则，因为，所以，所以，所以二面角的大小为，故C错误；对于D，取的中点为，连接，由得，三棱锥外接球的球心必在的延长线上，设，外接球的半径为，在中，，则，在中，，则，由得，，解得，所以外接球的半径，所以外接球的表面积为，故D正确.故选：ABD.三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.高三2班第一组的数学期末考试成绩分别为，则该组成绩的中位数与平均值之差的绝对值为__________.【答案】1【解析】将成绩从小到大排列为：，所以该组成绩的中位数为，平均值为，所以该组成绩的中位数与平均值之差的绝对值为.故答案为：.13.已知双曲线的半焦距为，过的一个焦点作的一条渐近线的垂线，垂足为，若的面积为，则双曲线的离心率为__________.【答案】【解析】不妨令渐近线方程为，所以，所以，因为的面积为，所以，所以，即，即，，则离心率.故答案为：14.已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，若的图象与的图象在轴左侧至多有一个公共点，则的取值范围为__________.【答案】【解析】设点为上任意一点，则其关于直线的对称点为，且在函数的图象上，所以，解得，所以，又的图象与的图象在轴左侧至多有一个公共点，所以方程在上至多有一个解，所以在上至多一个解，记，所以，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，由的图象，易知的取值范围为.故答案为：四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文宇说明、证明过程或演算步骤）15.在一条生产圆钢的生产线上，出产的成品圆钢的长度为（单位：，下同），且.（1）若出产这样的成品圆钢根，试估计长度在内的圆钢根数；（2）从这条生产线上出产的圆钢中随机抽取根，求这两根圆钢其中一根的长度在区间，另一根的长度在区间内的概率（精确到）.参考数据：若，则.解：（1）由已知得，，所以，所以长度在内的圆钢根数约为.（2）圆钢的长度在区间的概率为，圆钢的长度在区间内的概率为，因此这两根圆钢其中一根的长度在区间，另一根的长度在区间内的概率为.16.在数列中，已知，数列为等差数列，.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的通项公式：（3）求数列的前项和.解：（1）因为，所以，因为，所以数列是以1为首项，为公比的等比数列，所以；（2）由（1）知，.故，设数列的公差为，则，所以；（3），即，所以，两式相减得，所以，所以.17.已知函数.（1）求的图象在处的切线方程；（2）设，若在区间上有且只有两个零点，求的取值范围.解：（1）函数，则，所以图象在处的切线斜率为，所以切线方程为，化简得，.（2）由已知可得，若在区间上有且只有两个零点，则在区间上有且只有1个零点.，则，令，则，因为在区间上恒成立，所以在区间上单调递增，所以最小值的最大值，①当时，有，则恒成立，则在区间上单调递增，所以，所以在区间上无零点，舍去；②当时，成立，则在区间上单调递减，所以，所以在区间上无零点，舍去；③当时，有，又在区间上单调递增，根据零点存在定理可得，，使得，当时，单调递减，当时，单调递增，又，要使在区间上有且只有一个零点，只需，解得，又，所以.18.在三棱锥中，的平分线交于点，记所在平面为.（1）求直线与所成角的大小；（2）设.（i）若，求点到平面的距离；（ii）探究：在内是否存在两个不同的定点，使得为定值？若存在，求出该定值；若不存在，请说明理由.解：（1）因为平面，所以平面，所以直线与所成的角为，因为的平分线交于点，所以，在直角三角形中，，所以，所以，所以；所以直线与所成角为；（2）（i）由（1）得平面，又平面，所以，因为平面，所以平面，又因为平面所以平面平面，过点作于点，因为平面平面，平面，所以平面，则的长度即为点到平面的距离，所以，即点到平面的距离为；（ii）取的中点为的中点为，连接.则，由得，，又，所以，在内过点作，所以，以为原点，直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示.因为，所以，设，又，则，因为，所以，化简得，，即，所以点在椭圆上运动，所以存在，使得19.已知椭圆长轴长为，左、右焦点分别为，直线与交于两点，且面积的最大值为.（1）求椭圆的方程；（2）若.（i）证明：；（ii）若直线经过原点，与椭圆交于两点，且，求四边形面积的取值范围.解：（1）设椭圆的半焦距为，依题意得，当点在短轴端点时面积最大，所以，所以，解得，所以椭圆的方程为；（2）（i）由（1）知，椭圆的方程可化为，设，由消去得，则，，因为，所以，整理得，则，化简得，，此时成立，所以；（ii）设的中点为，因为，所以，不妨设.又.由，得点坐标为，则所以，化简得，即，所以，所以四边形面积的取值范围为.湖南省名校联合体2025届高三考前仿真模拟数学试卷一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若，则（）A.B.C. D.【答案】A【解析】因为，所以.故选：A.2.复数的模为（）A.2 B.1 C. D.【答案】D【解析】方法一：，所以.故选：D方法二：.故选：D3.若，则（）A. B. C.1 D.7【答案】B【解析】由两角和的正切公式得.故选：B4.函数的图象可以由（）A.的图象向右平移个单位长度，再把曲线上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到B.的图象向左平移个单位长度，再把曲线上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）得到C.的图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度得到D.的图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度得到【答案】C【解析】对于A：将图象向右平移个单位长度得到，再将各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到，故A错误；对于B：将的图象向左平移个单位长度得到，再将各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）得到，故B错误；对于C：的图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到，再将向右平移个单位长度得到，故C正确；对于D：的图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）得到，再将向左平移个单位长度得到，故D错误.故选：C5.已知直线与圆：相交于两点，其中点为圆心，若，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】化为，所以的圆心为，半径为2.，其中为圆心到直线的距离.因为，所以，因为，所以.故选：B6.在平行四边形中，若，则在上的投影向量为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，所以平分，所以平行四边形为菱形，如图：由两边平方得，，所以，所以，所以在上的投影向量为.故选：D7.已知点在抛物线上，记点到轴，到直线的距离分别为，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】易知抛物线的焦点为，准线方程为，设点到直线的距离为，则.故选：A.8.如图，三个区域有通道口两两相通，一质点从其所在的区域随机选择一个通道口进入相邻的区域，设经过次随机选择后质点到达区域的概率为，若质点一开始在区域，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】记质点经过次随机选择后到达区域的概率为，质点经过次随机选择后到达区域的概率为，则有，消去，可得，则，因为，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以，即，故.故选：.二､多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.若函数的定义域都为，且为奇函数，为偶函数，则（）A.是偶函数 B.是偶函数C.是奇函数 D.是奇函数【答案】ABD【解析】函数的定义域都为，对于A，因为，所以是偶函数，故A正确；对于B，因为为奇函数，所以，则是偶函数，故B正确；对于C，因为偶函数，则，即是偶函数，故C错误；对于D，因，则为偶函数，又因为为奇函数，则是奇函数，故D正确.故选：ABD.10.如图，在中，若为边上的点（不包含），，则（）A.外接圆的半径为B.顶点到的最大距离为C.若为边的中点，则D.若为边的中点，则的最大值为【答案】BCD【解析】对于A，设外接圆的半径为，由正弦定理得，，所以，所以A错误；对于B，由得，顶点在圆弧上运动，当且仅当时，顶点到的最大距离为，所以B正确；对于C，若为边的中点，则，所以，所以，C正确；对于D，在中，由余弦定理得，当且仅当时取等号，又，则，因此当时，取得最大值，D正确.故选：BCD.11.在三棱锥中，已知分别为，的重心，以下说法正确的是（）A.B.平面C.若，则二面角的大小为D.若，则三棱锥外接球的表面积为【答案】ABD【解析】对于A，取的中点为，连接.由已知得，，又，平面，所以平面，又平面，所以，故A正确；对于B，因为分别为的重心，所以，且，所以，所以，又平面平面，所以平面，故B正确；对于C，由得二面角的平面角为，因为，则，因为，所以，所以，所以二面角的大小为，故C错误；对于D，取的中点为，连接，由得，三棱锥外接球的球心必在的延长线上，设，外接球的半径为，在中，，则，在中，，则，由得，，解得，所以外接球的半径，所以外接球的表面积为，故D正确.故选：ABD.三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.高三2班第一组的数学期末考试成绩分别为，则该组成绩的中位数与平均值之差的绝对值为__________.【答案】1【解析】将成绩从小到大排列为：，所以该组成绩的中位数为，平均值为，所以该组成绩的中位数与平均值之差的绝对值为.故答案为：.13.已知双曲线的半焦距为，过的一个焦点作的一条渐近线的垂线，垂足为，若的面积为，则双曲线的离心率为__________.【答案】【解析】不妨令渐近线方程为，所以，所以，因为的面积为，所以，所以，即，即，，则离心率.故答案为：14.已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，若的图象与的图象在轴左侧至多有一个公共点，则的取值范围为__________.【答案】【解析】设点为上任意一点，则其关于直线的对称点为，且在函数的图象上，所以，解得，所以，又的图象与的图象在轴左侧至多有一个公共点，所以方程在上至多有一个解，所以在上至多一个解，记，所以，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，由的图象，易知的取值范围为.故答案为：四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文宇说明、证明过程或演算步骤）15.在一条生产圆钢的生产线上，出产的成品圆钢的长度为（单位：，下同），且.（1）若出产这样的成品圆钢根，试估计长度在内的圆钢根数；（2）从这条生产线上出产的圆钢中随机抽取根，求这两根圆钢其中一根的长度在区间，另一根的长度在区间内的概率（精确到）.参考数据：若，则.解：（1）由已知得，，所以，所以长度在内的圆钢根数约为.（2）圆钢的长度在区间的概率为，圆钢的长度在区间内的概率为，因此这两根圆钢其中一根的长度在区间，另一根的长度在区间内的概率为.16.在数列中，已知，数列为等差数列，.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的通项公式：（3）求数列的前项和.解：（1）因为，所以，因为，所以数列是以1为首项，为公比的等比数列，所以；（2）由（1）知，.故，设数列的公差为，则，所以；（3），即，所以，两式相减得，所以，所以.17.已知函数.（1）求的图象在处的切线方程；（2）设，若在区间上有且只有两个零点，求的取值范围.解：（1）函数，则，所以图象在处的切线斜率为，所以切线方程为，化简得，.（2）由已知可得，若在区间上有且只有两个零点，则在区间上有且只有1个零点.，则，令，则，因为在区间上恒成立，所以在区间上单调递增，所以最小值的最大值，①当时，有，则恒成立，则在区间上单调递增，所以，所以在区