2025届江苏省苏锡常镇四市高三下学期教学情况调研（二）数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏省苏锡常镇四市2025届高三下学期教学情况调研（二）数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，故，，故，所以，又，故.故选：A.2.已知，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】故选：B.3.诗歌朗诵比赛共有八位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从8个原始评分中去掉1个最高分和1个最低分，得到6个有效评分，6个有效评分与8个原始评分相比，一定不变的数字特征是（）A.极差 B.平均数 C.中位数 D.标准差【答案】C【解析】根据题意，将8个数据从小到大排列，从8个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到6个有效评分，6个有效评分与8个原始评分相比，最中间的两个分数不变，而最高分、最低分、平均分、标准差都有可能发生变化，因此一定不变的数字特征是中位数.故选：C.4.已知圆：，将直线：绕原点按顺时针方向旋转后得到直线，则（）A.直线过圆心 B.直线与圆相交，但不过圆心C.直线与圆相切 D.直线与圆无公共点【答案】B【解析】直线：即，斜率为，倾斜角为，将直线绕原点顺时针方向旋转得到直线，则直线的倾斜角为，所以直线的方程为，即，圆：的圆心坐标为，半径，圆心到直线的距离，直线与圆相交但不过圆心.

故选：B.5.已知，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由与联立，结合可解得：，，，再由二倍角公式可得，故选：B.6.已知等比数列的公比，前项和为，则对于，下列结论一定正确的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】令，，，，，A错；，B错；，C错；一般情况，时，，，，，此时；时，，左边，右边左边，D对；故选：D．7.已知函数和的定义域均为.若是奇函数，是偶函数，且，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为是奇函数，则，令，可得，可得，在中令得，所以，在中令得，所以，所以.故选：D.8.一个底面边长和侧棱长均为4的正三棱柱密闭容器，其中盛有一定体积的水，当底面水平放置时，水面高为.当侧面水平放置时（如图），容器内的水形成新的几何体.若该几何体的所有顶点均在同一个球面上，则该球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】方法一：，如图，，而，，，即，由于到距离，则到距离，设正方形外接圆圆心，则设矩形外接圆圆心，则，设外接球半径，，故外接球表面积为，故选;A.方法二：由当底面水平放置时，水面高为可知容器内的空气占容器体积的，于是侧放时，图中的空气区域的“小三棱柱”的体积为容器的，因此“小三棱柱”的底面“小三角形”的面积为大三角形的，则边长之比为，即“小三角形”边长为1.然后如图：设圆的半径为，由余弦定理可得，故，故，所以外接球的半径为，所以球的表面积为.故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.的展开式中，则（）A.的系数为 B.第3项与第4项的二项式系数相等C.所有项的二项式系数和为32 D.所有项的系数和为32【答案】ABC【解析】A选项，展开式第项，时，，A对；B选项，第3项二项式系数为，第4项的二项式系数为，两者相同，B对.C选项，所有项二项式系数和为，C对.D选项，时，，即所有项的系数和为，D错；故选：ABC10.已知函数，则（）A.的图象关于点对称B.的最小正周期为C.的最小值为D.在上有四个不同的实数解【答案】BD【解析】方法一：由，则，，则，所以不可能关于对称，A错误；因为函数的最小正周期为，函数的最小正周期为，则的最小正周期为，B正确；当时，，当时，；当时，，作出函数大致图象，如图，则，C错误，在有4个根，D正确.方法二：由，作出和的图像，取位于上方的部分即可：由图可知，AC错误，B正确，对于D，计算知与在内的交点坐标为，而，结合函数的图象特征可知函数与图象在内有四个交点，所以在上有四个不同的实数解，故D正确.故选：BD.11.已知为曲线：上一个动点（异于原点），在处的切线是指曲线在处的切线.直线为在处的切线，过作的垂线，若，分别与轴交于，两点，则（）A.关于轴对称B.到点的距离不小于到直线的距离C.存在，使得D.当取得最小值时，直线的斜率为【答案】ACD【解析】A，若点满足方程，则点也满足方程，则关于轴对称，故A正确；B，设，则，则到点的距离，到直线的距离，则，当时，，即，所以B错误；C，设，则，因，则，则曲线在点处切线斜率为，所以直线为，直线为，所以，，可得，，则因，故存在，使得时，故C正确；D，由C选项可知，，等号成立时，，即，此时的斜率为，故D正确.故选：ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知平面向量，，若，则实数的值为______.【答案】【解析】，，，.故答案为：13.在平面直角坐标系中，双曲线的中心在原点，焦点在轴上，焦距长为.若和抛物线交于，两点，且为正三角形，则的离心率为______.【答案】【解析】由对称性知、关于轴对称，为正三角形，则由正三角形对称性可知、为与抛物线的交点，联立与得或0（舍去），当时，，故其中一个交点为，设双曲线方程为，故，解得，在双曲线上，，，故离心率为；故答案为：14.已知随机变量，相互独立，且，，则______；若，则______.【答案】①.②.【解析】，，.并利用，记原式，倒序相加.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.某种产品可以采用甲、乙两种工艺来生产，为了研究产品的质量与所采用的生产工艺的关联性，现对该种产品进行随机抽查，得到的结果如下表所示.工艺甲工艺乙合计合格6040100不合格203050合计8070150（1）依据小概率值的独立性检验，分析产品的质量是否与采用的工艺有关；（2）在不合格的50件样本产品中任选3件，求在这3件样本产品中至少有1件是采用工艺甲生产的条件下，这3件样本产品中恰有一件是采用工艺乙生产的概率.附：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828解：（1）零假设：产品的质量与采用的工艺无关，根据小概率值的独立性检验，产品的质量与采用的工艺有关.（2）记事件为3件样本产品中至少有1件是采用工艺甲，事件为这3件样本产品中恰有一件是采用工艺乙..16.如图，在三棱柱中，，，，.（1）证明：平面；（2）若，二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值.（1）证明：，，，由余弦定理得，，，，又，，平面，平面；（2）解：平面，平面，且，二面角平面角为，而，，等边三角形，以为坐标原点，所在直线分别为轴，所在平面为平面，建立如图所示的空间直角坐标系，，，，，由，，，，设平面的一个法向量，，解得，令，则，故，设与平面所成角为，.17.已知椭圆：的离心率为，且经过点.，是的左、右焦点.（1）求的标准方程；（2）过的直线与交于，两点.若的内切圆半径为，，求的值.解：（1）设椭圆的半焦距为，由离心率为，得，令，，椭圆：过点，则，解得，所以椭圆的标准方程为.（2）由（1）知，设直线方程为，，，由消去得，，，，，而，，则，解得，所以.18.已知函数，，.（1）若曲线在点的切线也是曲线的切线，求的值；（2）讨论函数在区间上的单调性；（3）若对任意恒成立，求的取值范围.解：（1）由已知得，，在点处的切线方程为.设与切于，，，则过该点的切线方程为：，整理得，由于该切线与重合，则.（1）由，求导得，①当时，，，在上单调递增；②当时，令当时，，在区间上单调递减，当时，，在区间上单调递增③当时，令当时，，在区间上单调递增；当时，，在区间上单调递减（3）由题意得，即对恒成立.令，，令，，因为，，若，则在处的切线必然是上升的，又因为，所以当且靠近的函数值满足，此时就有，从而可推导在且靠近的附近是递增的，又因为，所以在且靠近的附近必有则必然不满足对恒有，所以要满足对恒有，首先必需满足在且靠近的附近，所以满足，从而可得参数满足的必要条件是；下面再证充分性，当，时，则，即有，又构造，，可得，所以在区间上单调递增，即，则可知，则，恒成立，符合题意，综上：的取值范围为.19.若无穷数列满足：，，，则称为“均值递减数列”.（1）已知无穷数列的前项和为，若为“均值递减数列”，求证：，；（2）若数列的通项公式，判断是否为“均值递减数列”，并说明理由；（3）若两个正项数列和均为“均值递减数列”，证明：数列也为“均值递减数列”.（1）证明：法一：；法二：为“均值递减数列”，关于单调递减，即关于单调递减，，；（2）解：法一：设的前项和为，令，则，判别式小于零，所以递减，因此是“均值递减数列”；法二：易知时，单调递减；时，单调递增且时，当时，单调递减且，且计算易得，设前项和为，归纳假设，，时，，即，即，，，即，，时，成立.而成立，对且恒成立，也有，即为“均值递减数列”；（3）证明：法一：设依题意，均为递减数列，而，相乘展开得，由于，，则由补充不等式有，所以，求和得，由（1）的结论知，，所以，于是再由（1）的结论即可知是“均值递减数列”；法二：设的前项和为，的前项和为，和均为均值递减数列，由（1）知对恒成立，由①②知，，记的前项和为，证对，，时不等式显然成立，设当，时，成立，即，，，，，即时，不等式也成立，对恒成立，也为“均值递减数列”.江苏省苏锡常镇四市2025届高三下学期教学情况调研（二）数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，故，，故，所以，又，故.故选：A.2.已知，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】故选：B.3.诗歌朗诵比赛共有八位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从8个原始评分中去掉1个最高分和1个最低分，得到6个有效评分，6个有效评分与8个原始评分相比，一定不变的数字特征是（）A.极差 B.平均数 C.中位数 D.标准差【答案】C【解析】根据题意，将8个数据从小到大排列，从8个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到6个有效评分，6个有效评分与8个原始评分相比，最中间的两个分数不变，而最高分、最低分、平均分、标准差都有可能发生变化，因此一定不变的数字特征是中位数.故选：C.4.已知圆：，将直线：绕原点按顺时针方向旋转后得到直线，则（）A.直线过圆心 B.直线与圆相交，但不过圆心C.直线与圆相切 D.直线与圆无公共点【答案】B【解析】直线：即，斜率为，倾斜角为，将直线绕原点顺时针方向旋转得到直线，则直线的倾斜角为，所以直线的方程为，即，圆：的圆心坐标为，半径，圆心到直线的距离，直线与圆相交但不过圆心.

故选：B.5.已知，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由与联立，结合可解得：，，，再由二倍角公式可得，故选：B.6.已知等比数列的公比，前项和为，则对于，下列结论一定正确的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】令，，，，，A错；，B错；，C错；一般情况，时，，，，，此时；时，，左边，右边左边，D对；故选：D．7.已知函数和的定义域均为.若是奇函数，是偶函数，且，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为是奇函数，则，令，可得，可得，在中令得，所以，在中令得，所以，所以.故选：D.8.一个底面边长和侧棱长均为4的正三棱柱密闭容器，其中盛有一定体积的水，当底面水平放置时，水面高为.当侧面水平放置时（如图），容器内的水形成新的几何体.若该几何体的所有顶点均在同一个球面上，则该球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】方法一：，如图，，而，，，即，由于到距离，则到距离，设正方形外接圆圆心，则设矩形外接圆圆心，则，设外接球半径，，故外接球表面积为，故选;A.方法二：由当底面水平放置时，水面高为可知容器内的空气占容器体积的，于是侧放时，图中的空气区域的“小三棱柱”的体积为容器的，因此“小三棱柱”的底面“小三角形”的面积为大三角形的，则边长之比为，即“小三角形”边长为1.然后如图：设圆的半径为，由余弦定理可得，故，故，所以外接球的半径为，所以球的表面积为.故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.的展开式中，则（）A.的系数为 B.第3项与第4项的二项式系数相等C.所有项的二项式系数和为32 D.所有项的系数和为32【答案】ABC【解析】A选项，展开式第项，时，，A对；B选项，第3项二项式系数为，第4项的二项式系数为，两者相同，B对.C选项，所有项二项式系数和为，C对.D选项，时，，即所有项的系数和为，D错；故选：ABC10.已知函数，则（）A.的图象关于点对称B.的最小正周期为C.的最小值为D.在上有四个不同的实数解【答案】BD【解析】方法一：由，则，，则，所以不可能关于对称，A错误；因为函数的最小正周期为，函数的最小正周期为，则的最小正周期为，B正确；当时，，当时，；当时，，作出函数大致图象，如图，则，C错误，在有4个根，D正确.方法二：由，作出和的图像，取位于上方的部分即可：由图可知，AC错误，B正确，对于D，计算知与在内的交点坐标为，而，结合函数的图象特征可知函数与图象在内有四个交点，所以在上有四个不同的实数解，故D正确.故选：BD.11.已知为曲线：上一个动点（异于原点），在处的切线是指曲线在处的切线.直线为在处的切线，过作的垂线，若，分别与轴交于，两点，则（）A.关于轴对称B.到点的距离不小于到直线的距离C.存在，使得D.当取得最小值时，直线的斜率为【答案】ACD【解析】A，若点满足方程，则点也满足方程，则关于轴对称，故A正确；B，设，则，则到点的距离，到直线的距离，则，当时，，即，所以B错误；C，设，则，因，则，则曲线在点处切线斜率为，所以直线为，直线为，所以，，可得，，则因，故存在，使得时，故C正确；D，由C选项可知，，等号成立时，，即，此时的斜率为，故D正确.故选：ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知平面向量，，若，则实数的值为______.【答案】【解析】，，，.故答案为：13.在平面直角坐标系中，双曲线的中心在原点，焦点在轴上，焦距长为.若和抛物线交于，两点，且为正三角形，则的离心率为______.【答案】【解析】由对称性知、关于轴对称，为正三角形，则由正三角形对称性可知、为与抛物线的交点，联立与得或0（舍去），当时，，故其中一个交点为，设双曲线方程为，故，解得，在双曲线上，，，故离心率为；故答案为：14.已知随机变量，相互独立，且，，则______；若，则______.【答案】①.②.【解析】，，.并利用，记原式，倒序相加.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.某种产品可以采用甲、乙两种工艺来生产，为了研究产品的质量与所采用的生产工艺的关联性，现对该种产品进行随机抽查，得到的结果如下表所示.工艺甲工艺乙合计合格6040100不合格203050合计8070150（1）依据小概率值的独立性检验，分析产品的质量是否与采用的工艺有关；（2）在不合格的50件样本产品中任选3件，求在这3件样本产品中至少有1件是采用工艺甲生产的条件下，这3件样本产品中恰有一件是采用工艺乙生产的概率.附：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828解：（1）零假设：产品的质量与采用的工艺无关，根据小概率值的独立性检验，产品的质量与采用的工艺有关.（2）记事件为3件样本产品中至少有1件是采用工艺甲，事件为这3件样本产品中恰有一件是采用工艺乙..16.如图，在三棱柱中，，，，.（1）证明：平面；（2）若，二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值.（1）证明：，，，由余弦定理得，，，，又，，平面，平面；（2）解：平面，平面，且，二面角平面角为，而，，等边三角形，以为坐标原点，所在直线分别为轴，所在平面为平面，建立如图所示的空间直角坐标系，，，，，由，，，，设平面的一个法向量，，解得，令，则，故，设与平面所成角为，.17.已知椭圆：的离心率为，且经过点.，是的左、右焦点.（1）求的标准方程；（2）过的直线与交于，两点.若的内切圆半径为，，求的值.解：（1）设椭圆的半焦距为，由离心率为，得，令，，椭圆：过点，则，解得，所以椭圆的标准方程为.（2）由（1）知，设直线方程为，，，由消去得，，，，，而，，则，解得，所以.18.已知函数，，.（1）若曲线在点的切线也是曲线的切线，求的值；（2）讨论函数在区间上的单调性；（3）若对任意恒成立，求的取值范围.解：（1）由已知得，，在点处的切线方程为.设与切于，