2025届江西省赣州市十八县（市、区）二十五校高三下学期期中联考数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江西省赣州市十八县（市、区）二十五校2025届高三下学期期中联考数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数z满足，则复数z在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】由题意可得：，所以复数z在复平面内对应的点为，位于第一象限.故选：A.2.已知是首项为1，公比为q（）的等比数列．若数列的前三项和为2，则q等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题设，则，所以，可得（负值舍）.故选：C3.已知，则“向量共线”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.既不充分也不必要条件 D.充要条件【答案】B【解析】若向量共线且，同向共线时有，反向共线时有，充分性不成立；若，而，则向量同向共线，必要性成立；所以“向量共线”是“”的必要不充分条件.故选：B4.已知展开式中的常数项为40，则a等于（）A.1 B.2 C. D.【答案】B【解析】对于可知：，可知展开式中的常数项为，即，解得或（舍去），且，所以.故选：B.5.已知函数的值域是，则实数的取值范围是（）A B. C. D.【答案】C【解析】因为，所以在上单调递增，且在上单调递增，当时，当时，因为的值域是，所以，解得，即实数的取值范围是.故选：C6.已知一圆锥的底面半径是1，高为，SA为该圆锥的一条母线，B，C是圆锥底面圆周上的两个动点，则直线SA与BC夹角的余弦值的最大值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】如图，设圆锥的底面圆圆心为点，分别以直线所在直线为轴，过点且与垂直的直线为轴建立空间直角坐标系.依题意，因点B，C是圆锥底面圆周上的两个动点，可设，其中，则，设直线SA与BC夹角为，则，因，故当时，取得最大值1，此时取得最大值.故选：D.7.不等式在区间上的整数解的个数是（）A.674 B.676 C.1352 D.1348【答案】A【解析】因为，由题意可得，可得，因为的最小正周期为，且，可知满足在内的整数解为4，5，即一个最小正周期内有2个整数解，则不等式在内无整数解，在有个整数解.所以不等式在有个整数解.故选：A.8.某篮球队参加一项国际邀请赛，比赛分为两个阶段．小组赛阶段：进行3场小组赛，至少赢得2场才能晋级排名赛，否则淘汰．若晋级，进入排名赛阶段：进行3场比赛，每赢一场可额外获得奖金．已知该篮球队小组赛阶段每场获胜的概率均为0.8，若能晋级，排名赛阶段每场比赛获胜的概率均是0.6．该球队参加小组赛能获得出场费50万元，排名赛每赢一场比赛，获得100万元奖金．设该球队参加这项赛事获得的总奖金为随机变量X（单位：万元），则随机变量X的数学期望是（）A.166.48 B.211.28 C.216.48 D.230【答案】B【解析】因为该篮球队小组赛阶段每场获胜概率均为0.8，所以晋级排名赛的概率为，设排名赛该球队赢了场，排名赛阶段每场比赛获胜的概率均是0.6，排名赛获得的奖金数为Z（万元），则，，，所以随机变量X的数学期望是（万元）.故选：B二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.调研某工厂的生产投入（生产工时/天）对产量（件/天）和每件产品的平均能源消耗（千瓦时/件）的影响，得到如下数据：（生产工时/天）102030405060（件/天）50101149202248301（千瓦时/件）19.819.115214.513.09.2现在对与，与分别进行相关性分析，得到相关系数分别为，，则下列判断正确的是（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】由表格数据可知增大也增大，即与呈正相关，所以，故A正确；因为增大时反而越来越少，所以与呈负相关，所以，故B错误；因为每增加，增加的量分别为，，，，，增加的量接近且偏差不大，而每增加，减少的量分别为，，，，，偏差较大，即与的相关性更强，所以，即，所以，故C正确，D错误.故选：AC10.尼科梅德斯蚌线（ConchoidofNicomedes）是一种经典的曲线，已知一条尼科梅德斯蚌线C的方程为及一条直线，下列判断正确的是（）A.曲线C关于x轴对称B.曲线C上点的横坐标的取值范围是C.直线l与曲线C一定有且仅有两个交点D.直线l被曲线C截得的线段的中点在定直线上【答案】ACD【解析】对于A，若点在曲线上，则将点代入方程左式，可得，即点也在曲线上，故A正确；对于B，对于C的方程为，当时，显然不成立，而，故B错误；对于C，由，消去化简得：（*），因，故方程（*）有两个实根，从而直线l与曲线C一定有且仅有两个交点，故C正确；对于D，由C项分析，不妨设直线l与曲线C交于点，的中点为，则有，故，即点在定直线上，故D正确.故选：ACD.11.已知函数（a为常数）有两个极值点，且．则下列判断正确的是（）A. B.C.有最小值 D.有最大值【答案】AC【解析】由题设有两个变号零点，令，则在上有两个变号零点，又，所以，故，所以，又，则，故，A对，B错，由上，则，，，令且，则，当，，在上单调递减，当，，在上单调递增，所以，时，时，所以无最大值，最小值为，C对，D错.故选：AC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12已知集合，那么等于_________．【答案】【解析】因为集合，且，所以.故答案为：.13.已知双曲线的左、右焦点分别为，过点且斜率为的直线l与双曲线右支相交于A，B两点（点A在第一象限），且，则的面积等于_________．【答案】【解析】因为，则，又因为，直线l的斜率为，其倾斜角为，即，在中，由余弦定理可得，即，解得或（舍去），即，所以的面积.故答案为：.14.已知正四棱锥的各棱长均为2，点E是棱SB的中点，动点P满足，则的最小值为_________．【答案】【解析】分别取的中点，连接，设，因为为等边三角形，则，且，平面，则平面，可知点平面，又因为分别为的中点，则∥，且点为的中点，可得平面，即点关于平面的对称点为点，则，当且仅当三点共线时，等号成立，所以的最小值为.故答案为：.四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数．（1）求函数的极值点；（2）若函数在区间上的最小值为，求实数a的值．解：（1）函数的定义域为，又，所以当时，当时，所以的单调递减区间为，单调递增区间为，所以为的极小值点，无极大值点.（2）当，即时，在上单调递增，所以在处取得最小值，，不符合题意；当，即，此时在上单调递减，在上单调递增，所以，解得；当，即，此时在上单调递减，所以，不符合题意；综上可得.16.如图，已知中，，点D是边BC上一点，且．（1）求AD的长；（2）求的面积．解：（1）在中，可知，，可得，由正弦定理可得.（2）在中，可知，由余弦定理可得，即，可得，解得或，所以的面积为.17.如图，已知斜三棱柱的侧面是正方形，侧面是菱形，平面平面，，，点E，F分别是棱，AC的中点．（1）求证：；（2）设直线AB与平面的交点为M，求AM的长；（3）求二面角余弦值．解：（1）取的中点，连接，由题意可知：为等边三角形，则，又因为平面平面，平面平面，平面，可得平面，且，以为坐标原点，分别为轴，平行于的直线为轴，建立空间直角坐标系，则，可得，则，所以.（2）设，则，由（1）可得：，设平面的法向量为，则，令，则，可得，由题意可知：，则，解得，所以AM的长为.（3）因为，设平面（即平面）的法向量为，则，令，则，可得，设平面的法向量为，则，令，则，可得，则，由图可知：二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为.18.已知椭圆和圆的方程分别是，椭圆的离心率，点M，N分别在，上，的最大值为．（1）求，的方程；（2）点是圆上的动点，过点P作与椭圆有且只有一个交点的两直线，设直线的斜率分别为，且与x轴分别交于点A，B．（i）求证：为定值；（ii）求的取值范围．解：（1）圆的圆心为，半径，则，由题意可得：，解得，所以椭圆和圆的方程分别是.（2）（i）设直线方程为，联立方程，消去y可得，则，整理可得，又因为直线过点，可得，即，则，整理可得，可知是方程的根，则，，且在圆：上，则，即，所以；（ii）由（1）可得：，由直线可得，则，因为，令，则，可得，所以的取值范围为.19.若有穷数列满足（d为常数，），则称数列为“项数为n差为d的极差数列”．（1）写出一个各项为正整数，的“项数为4差为3的极差数列”；（2）“项数为6差为3的极差数列”满足各项均为正整数，，证明：数列是等差数列；（3）从数1，2，3，…，20任意取出5个，按由小到大的顺序组成数列，求这个数列是“项数为5差为3的极差数列”的概率．（1）解：因为，且，不妨取，，，，符合题意（答案不唯一）；（2）证明：依题意，，，，，将上述式子相加可得，又，所以，又，所以，，，，，所以是等差为的等差数列；（3）解：从数1，2，3，…，20任意取出5个，按由小到大的顺序组成数列，则所有不同数列的个数为；以下给出一个确定“项数为5差为3的极差数列”方法，把个相同的小球放进编号分别为，，，，，的六个箱子中，箱子中的球数，就是箱子的编号的值，其中第一个箱子至少需要放个小球，第个箱子中至少需要放个小球，第个箱子可以不放球，每一种放法，对应一个符合条件的数列，第个箱子先分别放入个小球，第个箱子先借出个小球，不同放法等价于个小球放进个箱子，每个至少一个小球，则放法数为，即“项数为5差为3的极差数列”共有个，所以所求概率.江西省赣州市十八县（市、区）二十五校2025届高三下学期期中联考数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数z满足，则复数z在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】由题意可得：，所以复数z在复平面内对应的点为，位于第一象限.故选：A.2.已知是首项为1，公比为q（）的等比数列．若数列的前三项和为2，则q等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题设，则，所以，可得（负值舍）.故选：C3.已知，则“向量共线”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.既不充分也不必要条件 D.充要条件【答案】B【解析】若向量共线且，同向共线时有，反向共线时有，充分性不成立；若，而，则向量同向共线，必要性成立；所以“向量共线”是“”的必要不充分条件.故选：B4.已知展开式中的常数项为40，则a等于（）A.1 B.2 C. D.【答案】B【解析】对于可知：，可知展开式中的常数项为，即，解得或（舍去），且，所以.故选：B.5.已知函数的值域是，则实数的取值范围是（）A B. C. D.【答案】C【解析】因为，所以在上单调递增，且在上单调递增，当时，当时，因为的值域是，所以，解得，即实数的取值范围是.故选：C6.已知一圆锥的底面半径是1，高为，SA为该圆锥的一条母线，B，C是圆锥底面圆周上的两个动点，则直线SA与BC夹角的余弦值的最大值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】如图，设圆锥的底面圆圆心为点，分别以直线所在直线为轴，过点且与垂直的直线为轴建立空间直角坐标系.依题意，因点B，C是圆锥底面圆周上的两个动点，可设，其中，则，设直线SA与BC夹角为，则，因，故当时，取得最大值1，此时取得最大值.故选：D.7.不等式在区间上的整数解的个数是（）A.674 B.676 C.1352 D.1348【答案】A【解析】因为，由题意可得，可得，因为的最小正周期为，且，可知满足在内的整数解为4，5，即一个最小正周期内有2个整数解，则不等式在内无整数解，在有个整数解.所以不等式在有个整数解.故选：A.8.某篮球队参加一项国际邀请赛，比赛分为两个阶段．小组赛阶段：进行3场小组赛，至少赢得2场才能晋级排名赛，否则淘汰．若晋级，进入排名赛阶段：进行3场比赛，每赢一场可额外获得奖金．已知该篮球队小组赛阶段每场获胜的概率均为0.8，若能晋级，排名赛阶段每场比赛获胜的概率均是0.6．该球队参加小组赛能获得出场费50万元，排名赛每赢一场比赛，获得100万元奖金．设该球队参加这项赛事获得的总奖金为随机变量X（单位：万元），则随机变量X的数学期望是（）A.166.48 B.211.28 C.216.48 D.230【答案】B【解析】因为该篮球队小组赛阶段每场获胜概率均为0.8，所以晋级排名赛的概率为，设排名赛该球队赢了场，排名赛阶段每场比赛获胜的概率均是0.6，排名赛获得的奖金数为Z（万元），则，，，所以随机变量X的数学期望是（万元）.故选：B二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.调研某工厂的生产投入（生产工时/天）对产量（件/天）和每件产品的平均能源消耗（千瓦时/件）的影响，得到如下数据：（生产工时/天）102030405060（件/天）50101149202248301（千瓦时/件）19.819.115214.513.09.2现在对与，与分别进行相关性分析，得到相关系数分别为，，则下列判断正确的是（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】由表格数据可知增大也增大，即与呈正相关，所以，故A正确；因为增大时反而越来越少，所以与呈负相关，所以，故B错误；因为每增加，增加的量分别为，，，，，增加的量接近且偏差不大，而每增加，减少的量分别为，，，，，偏差较大，即与的相关性更强，所以，即，所以，故C正确，D错误.故选：AC10.尼科梅德斯蚌线（ConchoidofNicomedes）是一种经典的曲线，已知一条尼科梅德斯蚌线C的方程为及一条直线，下列判断正确的是（）A.曲线C关于x轴对称B.曲线C上点的横坐标的取值范围是C.直线l与曲线C一定有且仅有两个交点D.直线l被曲线C截得的线段的中点在定直线上【答案】ACD【解析】对于A，若点在曲线上，则将点代入方程左式，可得，即点也在曲线上，故A正确；对于B，对于C的方程为，当时，显然不成立，而，故B错误；对于C，由，消去化简得：（*），因，故方程（*）有两个实根，从而直线l与曲线C一定有且仅有两个交点，故C正确；对于D，由C项分析，不妨设直线l与曲线C交于点，的中点为，则有，故，即点在定直线上，故D正确.故选：ACD.11.已知函数（a为常数）有两个极值点，且．则下列判断正确的是（）A. B.C.有最小值 D.有最大值【答案】AC【解析】由题设有两个变号零点，令，则在上有两个变号零点，又，所以，故，所以，又，则，故，A对，B错，由上，则，，，令且，则，当，，在上单调递减，当，，在上单调递增，所以，时，时，所以无最大值，最小值为，C对，D错.故选：AC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12已知集合，那么等于_________．【答案】【解析】因为集合，且，所以.故答案为：.13.已知双曲线的左、右焦点分别为，过点且斜率为的直线l与双曲线右支相交于A，B两点（点A在第一象限），且，则的面积等于_________．【答案】【解析】因为，则，又因为，直线l的斜率为，其倾斜角为，即，在中，由余弦定理可得，即，解得或（舍去），即，所以的面积.故答案为：.14.已知正四棱锥的各棱长均为2，点E是棱SB的中点，动点P满足，则的最小值为_________．【答案】【解析】分别取的中点，连接，设，因为为等边三角形，则，且，平面，则平面，可知点平面，又因为分别为的中点，则∥，且点为的中点，可得平面，即点关于平面的对称点为点，则，当且仅当三点共线时，等号成立，所以的最小值为.故答案为：.四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数．（1）求函数的极值点；（2）若函数在区间上的最小值为，求实数a的值．解：（1）函数的定义域为，又，所以当时，当时，所以的单调递减区间为，单调递增区间为，所以为的极小值点，无极大值点.（2）当，即时，在上单调递增，所以在处取得最小值，，不符合题意；当，即，此时在上单调递减，在上单调递增，所以，解得；当，即，此时在上单调递减，所以，不符合题意；综上可得.16.如图，已知中，，点D是边BC上一点，且．（1）求AD的长；（2）求的面积．解：（1）在中，可知，，可得，由正弦定理可得.（2）在中，可知，由余弦定理可得，即，可得，解得或，所以的面积为.17.如图，已知斜三棱柱的侧面是正方形，侧面是菱形，平面平面，，，点E，F分别是棱，AC的中点．（1）求证：；（2）设直线AB与平面的交点为M，求AM的长；（3）求二面角余弦值．解：（1）取的中点，连接，由题意可知：为等边三角形，则，又因为平面平面，平面平面，平面，可得平面，且，以为坐标原点，分别为轴，平行于的直线为轴，建立空间直角坐标系，则，可得，则，所以.（2）设，则，由（1）可得：，设平面的法向量为，则，令，则，可得，由题意可知：，则，解得，所以AM的长为.（3）因为，设平面（即平面）的法向量为，则，令，则，可得，设平面的法向量为，则，令