2025届江西省宜春市高三下学期二模数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江西省宜春市2025届高三下学期二模数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由有意义可得，所以，不等式可化为，所以不等式的解集为，所以，故选：A.2.若复数满足，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，所以，所以，故选：B.3.已知向量，若，则实数的值为（）A.4 B.或1 C. D.4或【答案】B【解析】将两边平方，得，由得，即，解得或1.故选：B.4.已知一组数据，，，，的分位数是，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，所以数据，，，，的分位数为五个数中第二大的数，由已知数据，，，，中第二大的数是，所以.故选：C.5.记的展开式中的系数为，常数项为，则下列说法正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】B【解析】将看作．分别分析各项对系数的贡献：展开式中的系数为，的系数为，的系数为，常数项为．对于

．

中的系数为，常数项为．要得到，有以下几种情况：

中取，中取，中取常数项，此时系数为．

中取，中取，中取，此时系数为．

中取，中取，中取，此时系数为．将上述系数相加可得．

常数项是由、、中的常数项相乘得到，即．

对于A选项：若，即，解得．当时，，所以A选项错误．

对于B选项：若，即．因为恒成立，所以，解得．当时，，所以B选项正确．

对于C选项：若，即，解得．当时，，所以C选项错误．

对于D选项：若，即．因为恒成立，所以，解得或．当时，，所以D选项错误．

故选：B．6.将编号为1，2，3，4，5的5个球放到3个不同的盒子中，每个球只能放到1个盒子中，每个盒子至少放入1个球，则编号为1，2，3的球所放盒子各不相同的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】将个球分成组，有两种分法：1，1，3和2，2，1．按1，1，3分组，共有种分法；再将分好的组全排列，放入个不同的盒子，有种放法．根据分步乘法计数原理，此时共有种放法．

按2，2，1分组，共有种分法；再将分好的组全排列，放入个不同的盒子，有种放法．根据分步乘法计数原理，此时共有种放法．

由分类加法计数原理，总放法数为种．

先将编号为，，的球放入个不同的盒子，有种放法；再将编号为，的球放入这个盒子，每个球都有种放法，根据分步乘法计数原理，共有种放法．根据分步乘法计数原理，编号为，，的球所放盒子各不相同的放法数为种．

根据古典概型概率公式，可得所求概率．

故选：C．7.在中，角，，所对的边分别为，，，若，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意知，，由余弦定理得，由正弦定理得，即，.又，所以，得，所以，所以故选：A8.若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（）A B. C. D.【答案】C【解析】不等式可化为，，又，所以，故，由已知不等式在上恒成立，因为有意义，故，又，所以，当时，不等式恒成立，设，，则，因为，所以，所以函数在上单调递增，所以，故，令，则，令，可得，当时，，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增，所以，故，所以，所以的取值范围为故选：C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数，则（）A.函数是偶函数 B.函数的图象关于直线对称C.的最小值为 D.在上单调递减【答案】BD【解析】，不是偶函数，故A错误；令，则，当时，，所以是函数的对称轴，故B正确；，故C错误；令，则，当时，，故在上单调递减，故D正确.故选：BD.10.如图所示立体图形为正八面体，其棱长为1，为线段上的动点（包括端点），则（）A.B.C.当时，直线与直线的夹角为D.【答案】BC【解析】A：由题意知，该正八面体由两个正四棱锥组成，易知正四棱锥的高为，所以该正四棱锥的体积为，所以该正八面体的体积为，故A错误；B：将展开铺成一个平面，如图，当三点共线时，取到最小值，此时在中，，由余弦定理得，即，故B正确；C：建立如图空间直角坐标系，则，设，，得，则，所以，由，得，解得，即点与点重合，此时.设直线与的夹角为，则，解得，故C正确；D：由选项C知，，所以，由，知，即，故D错误.故选：BC11.已知函数，对任意，均有，且，为的导函数，则（）A. B.为偶函数C. D.【答案】ACD【解析】，令，得，解得；令，则，又，所以，得，对于任意的都成立，所以为奇函数，故B错误；令，得①，把换成，得②，又为奇函数，所以，又，所以①②得，故D正确；令，得，所以，又，所以，则，所以函数的周期为4，得，故A正确；，等式两边同时对求导，得，令，得，即③，由，得，所以为偶函数，由，得，所以，所以函数的周期为4.令，由③得，同理可得，所以，故C正确.故选：ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.曲线在处的切线方程为________.【答案】【解析】由题意得，所以，又，该切线方程为，即.故答案为：13.若，，则________.【答案】【解析】因为，所以，则，整理得到，又因为，当时，，不合题意，当时，，则，所以，，由，得到，解得，故答案为：.14.已知椭圆的左右焦点分别为，，且该椭圆与抛物线相交于不同的两点，，且四边形的外接圆直径为，若，则该椭圆的离心率的取值范围是________.【答案】【解析】如图，由椭圆与抛物线的对称性知点关于y轴对称，四边形是等腰梯形，易知四边形的外接圆就是的外接圆，设四边形的外接圆半径为.在中，由正弦定理知，记椭圆的上顶点为，坐标原点为，易知，又，则，，，即为锐角，，又又，，则，所以，所以，则，即，则椭圆的离心率的取值范围是.故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.记数列的前项和为，其中，，对任意的，有.（1）求数列的通项公式；（2）求.解：（1）因为，所以当，时，，两式相减可得，，所以，所以数列从第二项起是公差为的等差数列，在中取可得，因，所以，，所以，（2）由（1）知，当时，，所以，当时，，所以.16.为了让广大游客全方位领略宜春的冬趣之乐，在海拔1600米的明月山冰雪体验中心，游客们在这里滑雪、戏雪，享受刺激的冰雪运动，感受冬日别样的欢乐与激情。为提升服务品质，明月山冰雪体验中心随机调查男、女性游客各100名，统计结果如下表所示：男性游客女性游客合计喜欢冰雪运动553590不喜欢冰雪运动4565110合计100100200（1）是否有99.5%的把握认为游客是否喜欢冰雪运动与性别有关？（2）冰雪体验中心招募初学者进行滑雪培训，对4个基本滑雪动作（站姿、滑行、转弯、刹车）进行指导.根据统计，每位初学者对站姿、滑行、转弯、刹车这4个动作达到熟练的概率分别为，，，，且4个基本滑雪动作是否达到熟练相互独立.若这4个基本滑雪动作至少3个达到熟练，则可称为滑雪入门.（i）求初学者滑雪入门的概率；（ii）现有一旅行团到宜春明月山冰雪体验中心游玩，其中有30人参加滑雪培训，且均为初学者，每个人滑雪条件相当，令为滑雪入门的人数，求，并求这30人中多少人滑雪入门的概率最大.附：，其中.0.0500.0100.0050.0013.8416.6357.87910.828解：（1）由题设中的列联表中的数据，可得，所以有99.5%的把握认为游客是否喜欢冰雪运动与性别有关.（2）（i）设事件分别表示初学者对站姿、滑行、转弯、刹车达到熟练，滑雪初学者荣获“滑雪入门”为事件，所以.（ii）因为初学者是相互独立的，随机变量为滑雪入门的人数，则，可得，，设有人荣获“滑雪入门”称号的概率最大，则，解得，因为，所以，所以人荣获“滑雪入门”的概率最大.17.如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，，，点，分别为和的中点．（1）证明：；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．（1）证明：取的中点，连接,由，易知为等腰直角三角形，此时，又，所以.因为,所以，由，即，所以，此时，,有四点共面，,所以平面，又平面，所以.（2）解：由且,所以平面.由，得为等边三角形，以为原点，所在直线分别为轴，轴，过且与平面垂直的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，,设平面的法向量由,即，取，，又，设直线与平面所成角为，则,所以直线与平面所成角的正弦值为.18.已知函数（且），其中.（1）当时，求的最小值；（2）判断函数图象是否有对称中心？若有，请求出对称中心；若无，请说明理由；（3）当时，任意，都有，求实数的取值集合.解：（1）当时，，当且仅当，即时取等号，所以当时，取最小值；（2）设点为函数的对称中心，则恒成立，所以恒成立，即恒成立，所以恒成立，则，，，即，，当时，无解，此时函数的图象没有对称中心，当时，，此时函数的图象对称中心为；（3）当时，，所以在上恒成立，即在上恒成立，令，则，而，设，则所以函数在上单调递减，即函数在上单调递减，①当时，故，因为，故，所以，则函数在上单调递减，故此时当时，，舍去；②当时，，解得；(i)当时，，所以，，则在上单调递增，，，则在上单调递减；所以时，取极大值，则所以满足条件，(ii)当时，，当时，，则在上单调递减；当时，，舍去;(iii)当时，，当时，，则在上单调递增；当时，，舍去；综上，.19.已知椭圆，在椭圆上取（且）个点，这些点的坐标分别为，，其中，连接.（1）若直线的斜率为，求椭圆的离心率；（2）证明的面积为定值，并求多边形的面积（用表示）；（3）若，，线段的中点为，求证：.（1）解：，，则直线的斜率为，所以椭圆的离心率.（2）证明：直线的方程为化简得：；所以原点到直线的距离；而；所以为定值.同理可得：，所以多边形的面积为.（3）解：设，所以，所以，即，所以点的轨迹为一个椭圆，且，是该椭圆的焦点，设，，，则，则点，的坐标可化为，，所以，，又因为，；所以；；因为，所以.江西省宜春市2025届高三下学期二模数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由有意义可得，所以，不等式可化为，所以不等式的解集为，所以，故选：A.2.若复数满足，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，所以，所以，故选：B.3.已知向量，若，则实数的值为（）A.4 B.或1 C. D.4或【答案】B【解析】将两边平方，得，由得，即，解得或1.故选：B.4.已知一组数据，，，，的分位数是，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，所以数据，，，，的分位数为五个数中第二大的数，由已知数据，，，，中第二大的数是，所以.故选：C.5.记的展开式中的系数为，常数项为，则下列说法正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】B【解析】将看作．分别分析各项对系数的贡献：展开式中的系数为，的系数为，的系数为，常数项为．对于

．

中的系数为，常数项为．要得到，有以下几种情况：

中取，中取，中取常数项，此时系数为．

中取，中取，中取，此时系数为．

中取，中取，中取，此时系数为．将上述系数相加可得．

常数项是由、、中的常数项相乘得到，即．

对于A选项：若，即，解得．当时，，所以A选项错误．

对于B选项：若，即．因为恒成立，所以，解得．当时，，所以B选项正确．

对于C选项：若，即，解得．当时，，所以C选项错误．

对于D选项：若，即．因为恒成立，所以，解得或．当时，，所以D选项错误．

故选：B．6.将编号为1，2，3，4，5的5个球放到3个不同的盒子中，每个球只能放到1个盒子中，每个盒子至少放入1个球，则编号为1，2，3的球所放盒子各不相同的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】将个球分成组，有两种分法：1，1，3和2，2，1．按1，1，3分组，共有种分法；再将分好的组全排列，放入个不同的盒子，有种放法．根据分步乘法计数原理，此时共有种放法．

按2，2，1分组，共有种分法；再将分好的组全排列，放入个不同的盒子，有种放法．根据分步乘法计数原理，此时共有种放法．

由分类加法计数原理，总放法数为种．

先将编号为，，的球放入个不同的盒子，有种放法；再将编号为，的球放入这个盒子，每个球都有种放法，根据分步乘法计数原理，共有种放法．根据分步乘法计数原理，编号为，，的球所放盒子各不相同的放法数为种．

根据古典概型概率公式，可得所求概率．

故选：C．7.在中，角，，所对的边分别为，，，若，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意知，，由余弦定理得，由正弦定理得，即，.又，所以，得，所以，所以故选：A8.若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（）A B. C. D.【答案】C【解析】不等式可化为，，又，所以，故，由已知不等式在上恒成立，因为有意义，故，又，所以，当时，不等式恒成立，设，，则，因为，所以，所以函数在上单调递增，所以，故，令，则，令，可得，当时，，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增，所以，故，所以，所以的取值范围为故选：C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数，则（）A.函数是偶函数 B.函数的图象关于直线对称C.的最小值为 D.在上单调递减【答案】BD【解析】，不是偶函数，故A错误；令，则，当时，，所以是函数的对称轴，故B正确；，故C错误；令，则，当时，，故在上单调递减，故D正确.故选：BD.10.如图所示立体图形为正八面体，其棱长为1，为线段上的动点（包括端点），则（）A.B.C.当时，直线与直线的夹角为D.【答案】BC【解析】A：由题意知，该正八面体由两个正四棱锥组成，易知正四棱锥的高为，所以该正四棱锥的体积为，所以该正八面体的体积为，故A错误；B：将展开铺成一个平面，如图，当三点共线时，取到最小值，此时在中，，由余弦定理得，即，故B正确；C：建立如图空间直角坐标系，则，设，，得，则，所以，由，得，解得，即点与点重合，此时.设直线与的夹角为，则，解得，故C正确；D：由选项C知，，所以，由，知，即，故D错误.故选：BC11.已知函数，对任意，均有，且，为的导函数，则（）A. B.为偶函数C. D.【答案】ACD【解析】，令，得，解得；令，则，又，所以，得，对于任意的都成立，所以为奇函数，故B错误；令，得①，把换成，得②，又为奇函数，所以，又，所以①②得，故D正确；令，得，所以，又，所以，则，所以函数的周期为4，得，故A正确；，等式两边同时对求导，得，令，得，即③，由，得，所以为偶函数，由，得，所以，所以函数的周期为4.令，由③得，同理可得，所以，故C正确.故选：ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.曲线在处的切线方程为________.【答案】【解析】由题意得，所以，又，该切线方程为，即.故答案为：13.若，，则________.【答案】【解析】因为，所以，则，整理得到，又因为，当时，，不合题意，当时，，则，所以，，由，得到，解得，故答案为：.14.已知椭圆的左右焦点分别为，，且该椭圆与抛物线相交于不同的两点，，且四边形的外接圆直径为，若，则该椭圆的离心率的取值范围是________.【答案】【解析】如图，由椭圆与抛物线的对称性知点关于y轴对称，四边形是等腰梯形，易知四边形的外接圆就是的外接圆，设四边形的外接圆半径为.在中，由正弦定理知，记椭圆的上顶点为，坐标原点为，易知，又，则，，，即为锐角，，又又，，则，所以，所以，则，即，则椭圆的离心率的取值范围是.故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.记数列的前项和为，其中，，对任意的，有.（1）求数列的通项公式；（2）求.解：（1）因为，所以当，时，，两式相减可得，，所以，所以数列从第二项起是公差为的等差数列，在中取可得，因，所以，，所以，（2）由（1）知，当时，，所以，当时，，所以.16.为了让广大游客全方位领略宜春的冬趣之乐，在海拔1600米的明月山冰雪体验中心，游客们在这里滑雪、戏雪，享受刺激的冰雪运动，感受冬日别样的欢乐与激情。为提升服务品质，明月山冰雪体验中心随机调查男、女性游客各100名，统计结果如下表所示：男性游客女性游客合计喜欢冰雪运动553590不喜欢冰雪运动4565110合计100100200（1）是否有99.5%的把握认为游客是否喜欢冰雪运动与性别有关？（2）冰雪体验中心招募初学者进行滑雪培训，对4个基本滑雪动作（站姿、滑行、转弯、刹车）进行指导.根据统计，每位初学者对站姿、滑行、转弯、刹车这4个动作达到熟练的概率分别为，，，，且4个基本滑雪动作是否达到熟练相互独立.若这4个基本滑雪动作至少3个达到熟练，则可称为滑雪入门.（i）求初学者滑雪入门的概率；（ii）现有一旅行团到宜春明月山冰雪体验中心游玩，其中有30人参加滑雪培训，且均为初学者，每个人滑雪条件相当，令为滑雪入门的人数，求，并求这30人中多少人滑雪入门的概率最大.附：，其中.0.0500.0100.0050.0013.8416.6357.87910.828解：（1）由题设中的列联表中的数据，可得，所以有99.5%的把握认为游客是否喜欢冰雪运动与性别有关.（2）（i）设事件分别表示初学者对站姿、滑行、转弯、刹车达到熟练，滑雪初学者荣获“滑雪入门”为事件，所以.（ii）因为初学者是相互独立的，随机变量为滑雪入门的人数，则，可得，，设有人荣获“滑雪入门”称号的概率最大，则，解得，因为，所以，所以人荣获“滑雪入门”的概率最大.17.如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，，，点，分别为和的中点．（1）证明：；