专题02 与三角形有关的角（原卷版）

数学七年级升八年级暑假预习专题训练专题二与三角形有关的角【专题导航】目录【考点一三角形内角和】........................................1【考点二三角形的外角性质】.....................................4【考点三直角三角形的性质判定】.................................9【聚焦考点1】三角形的内角及内角和定理三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．三角形内角和定理：三角形内角和是180°【典例剖析1】【典例1-1】综合与实践课上，同学们以“一个含30°角的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动，如图，已知两直线a，b，且a∥b，三角形ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，∠BAC＝30°．操作发现：（1）如图1，若∠1＝42°，求∠2的度数；（2）小颖同学将图1中的直线a，b向上平移得到图2，若∠CMN+∠CNM＝90°，∠2＝4∠1，求∠1的度数．【典例1-2】综合与实践综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的折叠”为主题开展数学活动．（1）操作判断操作一：折叠三角形纸片，使BC与BA边在一条直线上，得到折痕BD；操作二：折叠三角形纸片，得到折痕AE，使B，C，E三点在一条直线上．完成以上操作后把纸片展平，如图1，判断∠ABD和∠CBD的大小关系是∠ABD＝∠CBD，直线BC，AE的位置关系是BC⊥AE．（2）深入探究操作三：折叠三角形纸片，使点A落在折痕AE上，得到折痕DF，把纸片展平．根据以上操作，如图2，判断∠DBF和∠BDF是否相等，并说明理由．（3）结论应用如图1，已知∠ABC＝58°，∠ACB＝48°，请直接写出∠BDC的度数．【典例1-3】如图，在△ABC中，∠BAC＝50°，∠ABC＝70°，AD是高，BE是角平分线，AD与BE相交于点O，求∠DAC和∠AOE的度数．针对训练1【变式1-1】如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，EF⊥CD于点G，∠ADE＝∠EFC．（1）求证：∠B＝∠EFC；（2）若∠A＝60°，∠ACB＝76°，求∠ADE的度数．【变式1-2】如图，△ABC的顶点C在直线DE上，CF平分∠DCB，CF⊥CA，．（1）试说明：AB∥CD；（2）若∠B＝50°，求∠A的度数．【变式1-3】在锐角△ABC中，E、D分别为AB、AC边上的动点，连接EC、BD交于点P．（1）如图1当E、D运动到CE⊥AB、BD⊥AC，∠BPC＝140°，求∠A的度数；（2）如图2当E、D运动到BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB，求∠A与∠BPC的数量关系．【能力提升1】三角形内角和【提升1-1】阅读下面的解答过程，并填空．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，∠ABC＝∠ACB，CE∥DF；求证：∠DBF＝∠F．证明：∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB（已知），∴ABC，∠ACB（角平分线的定义）．又∵∠ABC＝∠ACB（已知），∴∠DBC＝∠ECB（等量代换）．又∵CE∥DF（已知），∴​∠F＝∠ECB，∴∠DBF＝∠F．（等量代换）．【提升1-2】如图所示：△ABC的角平分线BD、CE相交于P，∠A＝80°，求∠BPC的度数．【提升1-3】如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，∠ADB＝∠ABD．BE是△ABD中AD边上的高线，延长BE交AC于点F．设∠ABC＝α，∠ACB＝β．（1）当α＝70°时，∠ABF的度数为50°；（2）求∠AFB的度数（用含α、β的式子表示）；（3）若∠AFB＝∠BAF，求β的值．​【聚焦考点2】定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD是△ABC的一个外角.性质①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和∠ACD＝∠A+∠B②三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角∠ACD＞∠A∠ACD＞∠B归纳1．三角形的一个外角与它相邻的内角互补；2．三角形的外角和等于360°．3.三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角．三角形的外角和等于360°。即∠ACD+∠CBE+∠BAF＝360°注意：每个顶点处取一个外角，再相加，叫三角形的外角和(并非6个外角之和)（2）常见模型①飞镖模型结论：∠BOC=∠A+∠B+∠C②八字模型：结论：∠A＋∠B＝∠C＋∠D③翻折型：如图，已知△ABC中，∠A沿着EF翻折到∠A’,请探究∠A，∠1，∠2之间的关系？结论：∠A=∠1+∠2

④如图所示，已知△ABC，直线EF截∠C形成∠1和∠2，结论：∠C=∠1+∠2−180°⑤【内内模型】如图，两个内角平分线交于点D，则.⑥.【内外模型】如图，的一个内角平分线和一个外角平分线交于点D，则.⑦.【外外模型】如图，两个外角的角平分线交于点D，则.【典例剖析2】三角形外角性质【典例2-1】如图，在△ABC中，∠B＝25°，∠BAC＝31°，过点A作BC边上的高，交BC的延长线于点D，CE平分∠ACD，交AD于点E．求：（1）∠ACD的度数；（2）∠AEC的度数．【典例2-2】已知，如图三角形ABC，点D是三角形ABC内一点，连接BD，CD．试探究∠BDC与∠A、∠1、∠2之间的关系并说明理由．【典例2-3】如图，在△ABC中，∠A：∠ABC：∠ACB＝3：4：5，BD平分∠ABC交AC于点D，点E为线段BD上的任一点．（1）试求∠BDC的度数；（2）求证：∠BEC＞∠A．针对训练2【变式2-1】如图，在△ABC中，AN是∠BAC的角平分线，∠B＝50°，∠ANC＝80°．求∠C的度数．【变式2-2】如图，已知：DE∥BC，CD是∠ACB的平分线，∠B＝80°，∠A＝50°，求：∠EDC与∠BDC的度数．【变式2-3】如图，点A、B、C、D是平面内四个点．连接AB、AC、BD、CD．（1）如图1，求证：∠BDC＝∠A+∠B+∠C；（2）如图2，若BF平分∠ABD，CE平分∠ACD，BF与CE交于G，∠BDC＝m°，∠BGC＝n°，求∠A的度数．（用m，n表示）【能力提升2】三角形外角性质【提升2-1】△ABC中，三个内角的平分线交于点O，过点O作OD⊥OB，交边AB于点D．（1）如图1，①若∠ABC＝50°，则∠AOC＝115°，∠ADO＝115°；②猜想∠AOC与∠ADO的关系，并说明你的理由．（2）如图2，作∠ABC外角∠ABE的平分线交CO的延长线于点F，若∠ADO＝110°，∠F＝32°，求∠AOD的度数．【提升2-2】已知：如图，在△ABC中，∠1是它的一个外角，E为边AC上一点，延长BC到D，连接DE．求证：∠1＞∠2．【聚焦考点3】直角三角形的性质1.文字叙述：直角三角形的两个锐角互余。2.几何语言：在Rt△ABC中，由∠C=90°，得∠A+∠B=90°直角三角形的判定1.文字叙述：有两个角互余的三角形是直角三角形。2.几何语言：在△ABC中，由∠A+∠B=90°，得∠C=90°，即△ABC是直角三角形。【典例剖析3】直角三角形的性质判定【典例3-1】如图1，把一块含30°的直角三角板ABC的BC边放置于长方形直尺DEFG的EF边上．（1）填空：∠1＝°，∠2＝°．（2）如图2，现将三角板绕点B点逆时针旋转n°，当0＜n＜90，且点C恰好落在DG边上时，①请直接写出∠1＝°，∠2＝．（结果用含n的代数式表示）；②若∠2恰好是∠1的倍，求n的值．（3）如图1三角板ABC的放置，现将AB绕点A以每秒1°的转速逆时针旋转，同时CF绕点C以每秒2°的转速顺时针旋转，当CF第一次旋转回到起点时，CF、AB均停止转动，设旋转时间为t（s）．请求出当t为何值时，AB∥CF．【典例3-2】如图，在直角△ABC中，∠ACB＝90°，CD是△ABC的高，∠1＝30°，求∠2与∠A，∠B的度数．针对训练3【变式3-1】AD、BE为△ABC的高，AD、BE相交于H点，∠C＝50°，求∠BHD．【变式3-2】把直角三角形OAB与直角三角形O'CD如图1放置，直角顶点O与O′重合在一起，点D在OB上，∠B＝30°，∠C＝45°．现将△O'CD固定，△OAB绕点O顺时针旋转，旋转角α（0°≤α＜90°），OB与DC交于点E．（1）如图2，在旋转过程中，若OA∥CD时，则α＝45°；若AB∥OC时，则α＝60°；请写出证明过程．（2）如图2，在旋转过程中，当△ODE有两个角相等时，α＝45°或67.5°；请说明理由．【能力提升3】直角三角形的性质判定【提升3-1】已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一点，且∠ACD＝∠B．（1）如图1，求证：CD⊥AB；（2）将△ACD沿CD所在直线翻折，点A落在BD边所在直线上，记为点A′．①如图2，若∠B＝32°，求∠A′CB的度数；②若∠B＝α°，则∠A'CB的度数为90