一元二次方程根与系数的关系课件人教版数学九年级上册

21.2解一元二次方程第二十一章一元二次方程21.2.4一元二次方程的根与系数的关系复习回顾1.一元二次方程的一般形式是什么？2.一元二次方程的求根公式是什么？ax2+bx+c=0(a≠0)导入新课

已知矩形的长和宽分别是一元二次方程

x2-1234x+5678=0

的两个实数根,求这个矩形的周长和面积.讲授新课问题情景新课程标准要求：

知道利用一元二次方程的根与系数的关系可以解决一些简单的问题.学习目标：1.探索一元二次方程的根与系数的关系.（难点）2.能利用根与系数的关系解决问题.（重点）一元二次方程的根与系数的关系讲授新课探索一元二次方程的根与系数的关系一探究活动一：填表

观察

猜想你能发现x1+x2，x1x2与方程系数p和q之间的关系吗？（x2+px+q=0型）猜想：方程x2+px+q=0的两根是x1,x2满足x1+x2=-p,x1

·x2=q一元二次方程两根两根之和两根之积x1x2x1+x2x1·x2x2+3x-4=0x2-2x-8=0x2-5x+6=0-41-3-4-242-82356推导证明

若一元二次方程的两根为x1,x2,则有x-x1=0,且x-x2=0,那么方程（x-x1)(x-x2)=0(x1,x2为已知数）的两根是什么？将方程化为x2+px+q=0的形式，你能看出x1,x2与p,q之间的关系吗？得出结论如果方程x2+px+q=0的两根是x1,x2,那么x1+x2=-p,x1

·x2=q.(x-x1)(x-x2)=0.x2-(x1+x2)x+x1·x2=0，x2+px+q=0，x1+x2=-p,x1

·x2=q.讲授新课探索一元二次方程的根与系数的关系一探究活动二：填表

观察

猜想你能发现x1+x2，x1x2与方程系数a,b,c之间的关系吗？（ax2+bx+c=0(a≠0)型）猜想：方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根是x1,x2满足

一元二次方程两根两根之和两根之积x1x2x1+x2

x1x23x2-x-2=04x2+4x+1=02x2-7x+3=0

1

-1

3

推导证明：

一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程

ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、x2，那么注意满足上述关系的前提条件b2-4ac≥0.得出结论：

（韦达定理）韦达即弗朗索瓦·韦达(FrançoisViète，1540-1603)，出生于法国普瓦图(今旺代省的丰特奈-勒孔特)，法国数学家，十六世纪最有影响的数学家之一。1603年12月13日卒于巴黎。年轻时学习法律当过律师，后从事政治活动，当过议会的议员，在对西班牙的战争中曾为政府破译敌军的密码。韦达还致力于数学研究，第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的重大进步。韦达

已知矩形的长和宽分别是一元二次方程

x2-1234x+5678=0

的两个实数根,求这个矩形的周长和面积.问题情景再现(1)x2-2x-15=0；1.根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程的两个根x1，x2的和与积：(2)2x2+3x=5；(3)3x2-7x=0；解:(1)x1+x2=2,x1·x2=-15一元二次方程的根与系数的关系的应用二

在使用根与系数的关系时:(1)不是一般式的要先化成一般式；(2)在使用x1+x2=－

时，“－”不要漏写.典例精析(2)方程化为

2x2+3x-5=0(3)

(1)x2-6x+4=0解：(1)x1+x2=6x1·x2=4(3)2x2=5.练习巩固1.不解方程，求下列方程两个根的和与积：(2)x2+2=3x2-6x+3(3)方程化为2x2-5=0（2）方程化为2x2-6x+1=0

2.已知方程3x2-18x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值.

3.不解方程，求方程2x2+3x-1=0的两根的平方和、倒数和.解：设方程的两根分别为x1、x2，根据根与系数的关系可知：

4114126常见变形:

课堂小结根与系数的关系（韦达定理）内容如果方程x2+p