人教A版高中数学必修五2.5.1等比数列的前n项和学案

2.5等比数列的前n项和学案一、学习目标1．掌握等比数列的前n项和公式及其应用．(重点)2．会用错位相减法求数列的和．(难点)3．能运用等比数列的前n项和公式解决一些简单的实际问题．二、自主学习教材整理等比数列的前n项和阅读教材P55～P57第12行，完成下列问题．等比数列的前n项和公式1．设{an}是公比为正数的等比数列，若a1＝1，a5＝16，则数列{an}前7项的和为________．【答案】1272．在等比数列{an}中，a1＝2，S3＝26，则公比q＝________.【答案】3或－43．等比数列{an}中，公比q＝－2，S5＝44，则a1＝___________________.【答案】4三、合作探究探究1：等比数列的前n项和公式的基本运算例1.在等比数列{an}中，(1)若Sn＝189，q＝2，an＝96，求a1和n；(2)若a3＝eq\f(3,2)，S3＝eq\f(9,2)，求a1和公比q.【精彩点拨】利用等比数列的前n项和公式及通项公式，列出方程组求相应各个量．【自主解答】(1)法一：由Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)，an＝a1qn－1以及已知条件得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(189＝\f(a11－2n,1－2)，,96＝a1·2n－1，))∴a1·2n＝192，∴2n＝eq\f(192,a1)，∴189＝a1(2n－1)＝a1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(192,a1)－1))，∴a1＝3.又∵2n－1＝eq\f(96,3)＝32，∴n＝6.法二：由公式Sn＝eq\f(a1－anq,1－q)及条件得189＝eq\f(a1－96×2,1－2)，解得a1＝3，又由an＝a1·qn－1，得96＝3·2n－1，解得n＝6.(2)①当q≠1时，S3＝eq\f(a11－q3,1－q)＝eq\f(9,2)，又a3＝a1·q2＝eq\f(3,2)，∴a1(1＋q＋q2)＝eq\f(9,2)，即eq\f(\f(3,2),q2)(1＋q＋q2)＝eq\f(9,2)，解得q＝－eq\f(1,2)(q＝1舍去)，∴a1＝6.②当q＝1时，S3＝3a1，∴a1＝eq\f(3,2).综上得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝6，,q＝－\f(1,2)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝\f(3,2)，,q＝1.))归纳总结：1．在等比数列{an}的五个量a1，q，an，n，Sn中，已知其中的三个量，通过列方程组，就能求出另外两个量，这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用．2．在解决与前n项和有关的问题时，首先要对公比q＝1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论．探究2：等比数列前n项和公式的实际应用例2借贷10000元，以月利率为1%，每月以复利计息借贷，王老师从借贷后第二个月开始等额还贷，分6个月付清，试问每月应支付多少元？(1.016≈1.061,1.015≈1.051)【精彩点拨】解决等额还贷问题关键要明白以下两点：(1)所谓复利计息，即把上期的本利和作为下一期本金，在计算时每一期本金的数额是不同的，复利的计算公式为S＝P(1＋r)n，其中P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本利和．(2)从还贷之月起，每月还贷金额是构成等比数列还是等差数列，首项是什么，公比或公差是多少．【自主解答】法一：设每个月还贷a元，第1个月后欠款为a0元，以后第n个月还贷a元后，还剩下欠款an元(1≤n≤6)，则a0＝10000，a1＝1.01a0－a，a2＝1.01a1－a＝1.012a0－(1＋…a6＝1.01a5－a＝…＝1.016a0－[1＋1.01＋…＋1.015由题意，可知a6＝0，即1.016a0－[1＋1.01＋…＋1.015]a＝0，a＝eq\f(1.016×102,1.016－1).∵1.016≈1.061，∴a＝eq\f(1.061×102,1.061－1)≈1739.故每月应支付1739元．法二：一方面，借款10000元，将此借款以相同的条件存储6个月，则它的本利和为S1＝104(1＋0.01)6＝104×(1.01)6(元)．另一方面，设每个月还贷a元，分6个月还清，到贷款还清时，其本利和为S2＝a(1＋0.01)5＋a(1＋0.01)4＋…＋a＝eq\f(a[1＋0.016－1],1.01－1)＝a[1.016－1]×102(元)．由S1＝S2，得a＝eq\f(1.016×102,1.016－1).以下解法同法一，得a≈1739，故每月应支付1739元．归纳总结：解数列应用题的具体方法步骤：(1)认真审题，准确理解题意，达到如下要求：①明确问题属于哪类应用问题，即明确是等差数列问题还是等比数列问题，还是含有递推关系的数列问题？是求an，还是求Sn？特别要注意准确弄清项数是多少．②弄清题目中主要的已知事项．(2)抓住数量关系，联想数学知识和数学方法，恰当引入参数变量，将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子表达．(3)将实际问题抽象为数学问题，将已知与所求联系起来，列出满足题意的数学关系式．四、学以致用1．在等比数列{an}中，(1)若q＝2，S4＝1，求S8；(2)若a1＋a3＝10，a4＋a6＝eq\f(5,4)，求a4和S5.【解】(1)法一：设首项为a1，∵q＝2，S4＝1，∴eq\f(a11－24,1－2)＝1，即a1＝eq\f(1,15)，∴S8＝eq\f(a11－q8,1－q)＝eq\f(\f(1,15)1－28,1－2)＝17.法二：∵S4＝eq\f(a11－q4,1－q)＝1，且q＝2，∴S8＝eq\f(a11－q8,1－q)＝eq\f(a11－q4,1－q)(1＋q4)＝S4·(1＋q4)＝1×(1＋24)＝17.(2)设公比为q，由通项公式及已知条件得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋a1q2＝10，,a1q3＋a1q5＝\f(5,4)，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a11＋q2＝10，①,a1q31＋q2＝\f(5,4)，②))∵a1≠0,1＋q2≠0，∴②÷①得，q3＝eq\f(1,8)，即q＝eq\f(1,2)，∴a1＝8，∴a4＝a1q3＝8×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3＝1，S5＝eq\f(a11－q5,1－q)＝eq\f(8×\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))5)),1－\f(1,2))＝eq\f(31,2).2．为保护我国的稀土资源，国家限定某矿区的出口总量不能超过80吨，该矿区计划从2014年开始出口，当年出口a吨，以后每年出口量均比上一年减少10%.(1)以2014年为第一年，设第n年出口量为an吨，试求an的表达式；(2)因稀土资源不能再生，国家计划10年后终止该矿区的出口，问2014年最多出口多少吨？(保留一位小数．参考数据：0.910≈0.35)【解】(1)由题意知每年的出口量构成等比数列，且首项a1＝a，公比q＝1－10%＝0.9，∴an＝a·0.9n－1(n≥1)．(2)10年的出口总量S10＝eq\f(a1－0.910,1－0.9)＝10a(1－0.910)．∵S10≤80，∴10a(1－0.910)≤80，即a≤eq\f(8,1－0.910)，∴a≤12.3，故2014年最多出口12.3吨．五、自主小测1．数列{2n－1}的前99项和为()A．2100－1 B．1－2100C．299－1 D．1－2992．等比数列{an}中，a3＝3S2＋2，a4＝3S3＋2，则公比q等于()A．2 B.eq\f(1,2)C．4 D.eq\f(1,4)3．已知等比数列{an}中，q＝2，n＝5，Sn＝62，则a1＝________.4．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，S6＝4S3，则a4＝________.5.求和：eq\f(1,2)＋eq\f(3,4)＋eq\f(5,8)＋eq\f(7,16)＋…＋eq\f(2n－1,2n).参考答案1.【解析】数列{2n－1}为等比数列，首项为1，公比为2，故其前99项和为S99＝eq\f(1－299,1－2)＝299－1.【答案】C2.【解析】a3＝3S2＋2，a4＝3S3＋2，等式两边分别相减得，a4－a3＝3a3即a4＝4a3，∴q＝4.【答案】C3.【解析】∵q＝2，n＝5，Sn＝62，∴eq\f(a11－qn,1－q)＝62，即eq\f(a11－25,1－2)＝62，∴a1＝2.【答案】24.【解析】因为S6＝4S3，所以eq\f(a11－q6,1－q)＝4eq\f(a11－q3,1－q)，所以q3＝3(q3＝1不合题意，舍去)，所以a4＝a1·q3＝1×3＝3.【答案】35.【解】设Sn＝eq\f(1,2)＋eq\f(3,4)＋eq\f(5,8)＋eq\f(7,16)＋…＋eq\f(2n－1,2n)＝eq\f(1,2)＋eq\f(3,22)＋eq\f(5,23)＋eq\f(7,24)＋…＋eq\f(2n－3,2n－1)＋eq\f(2n－1,2n)，①则eq\f(1,2)Sn＝eq\f(1,22)＋eq\f(3,23)＋eq\f(5,24)＋…＋eq\f(2n－3,2n)＋eq\f(2n－1,2n＋1).②①－②，得eq\f(1,2)Sn＝eq\f(1,2)＋eq\f(2,22)＋eq\f(2,23)＋eq\f(2,24)＋…＋eq\f(2,2n)－eq\f(2n－1,2n＋1)＝eq\f(1,2