河北省沧州市盐山中学2024-2025学年高三下学期5月第二次模拟考试数学试题（含答案）

盐山中学2025届5月第二次模拟考试数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.若直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则(

)A.α/​/β，l//α B.α与β相交，且交线平行于l

C.α⊥β，l⊥α D.α与β相交，且交线垂直于l2.记Sn为等比数列{an}的前n项和，若a1=1A.403 B.913 C.12133.设函数f(x)=x3−1xA.是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B.是奇函数，且在(0,+∞)单调递减

C.是偶函数，且在(0,+∞)单调递增 D.是偶函数，且在(0,+∞)单调递减4.用二分法研究函数f(x)=x3−2x−1的零点时，若零点所在的初始区间为(1,2)，则下一个有解区间为A.(1,2) B.(1.75,2) C.(1.5,2) D.(1,1.5)5.已知实数a，b，c满足a+b+c=0，a2+b2+cA.22 B.12 C.6.第九届亚冬会在哈尔滨举行，参加自由式滑雪女子大跳台决赛的六位选手的得分下：119.50，134.75，154.75，159.50，162.75，175.50，则该组数据的第40百分位数为(

)A.134.75 B.144.75 C.154.75 D.159.507.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为22，左、右焦点分别为F1，F2，过F2A.2 B.3 C.4 D.58.设函数f(x)的定义域为R，x0(x0≠0)是A.−x0是f(−x)的极小值点 B.−x0是−f(x)的极大值点

C.−x0是−f(−x)的极小值点二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.欧拉公式eix=cosx+isinx(本题中e为自然对数的底数，i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式建立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”依据欧拉公式，则下列结论中正确的是(

)．A.复数eiπ2为纯虚数

B.复数ei2对应的点位于第二象限

C.复数eiπ310.下列命题中，正确的是(

)A.在△ABC中，若A>B，则sinA>sinB

B.在锐角三角形ABC中，不等式sinA>cosB恒成立

C.在△ABC中，若acosA=bcosB，则△ABC必是等腰直角三角形

D.在△ABC中，若B=60º，b2=ac，则11.已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F，点M1(x1,y1)在抛物线上，|M1F|=y1+1，设直线A.p=1 B.直线MnMn+1的斜率为−2xn三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.如图，一只蚂蚁位于点M处，去搬运位于N处的糖块，M→N的最短路线有

条．

13.已知cosαsin(α−β)−sinαcos14.已知函数fx=kx+xe−x+k2,x<0exx+1,x≥0四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(14分)

已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，向量m=(a,b+c)，n=(3(1)求A;(2)若c=23，BM=2MC，AM=2.16.(14分)

已知函数(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(e,f(e))处的切线方程;(2)设函数f(x)的最小值是2，求实数a的值．17.(15分)

在等比数列{an}中，a1=2，a4=16．

(1)求数列{an}的通项公式；

18.(17分)已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0，点P1,1到C的两条渐近线距离之比为1:3，过点P的直线(1)求C的方程；(2)若点A,B都在C的右支上，且l与x轴交于点Q，设PA=mAQ,PB19.(17分)如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，侧面ACC1A1为菱形，∠A1AC=60∘，底面ABC为等边三角形，平面AC(1)当F与C重合时，证明：平面DEF⊥平面ABC；(2)是否存在点F，使得直线AC与平面DEF所成角的正弦值为64？若存在，求出C1答案和解析1.B

2.C

3.A

4.C

5.C

6.C

7.B

8.C

9.ABD

10.ABD

11.BCD

【解析】解：抛物线方程为x2=2py，焦点F(0,p2)，点M1(x1,y1)在抛物线上，满足|M1F|=y1+1，

由抛物线定义，焦点到点的距离为y1+p2，

故有：y1+p2=y1+1⇒p2=1⇒p=2，故A错误；

抛物线方程为x2=4y，在点Mn(xn,yn)处的切线斜率为xn212.150

13.−314.e3解：设F(x)=f(x)+f(−x)，则F(−x)=F(x)，所以函数F(x)为偶函数，又f(0)=1，则F(0)=2f(0)>0，所以当x>0时，F(x)有两个零点，且当x>0时，−x<0，则F(x)=e令F(x)=0⇒ex=kx−则g′(x)=ex，所以函数g(x)在下面讨论直线y=kx−k2与函数设切点为(t,e则曲线y=g(x)在x=t处的切线方程为y−et=有k=et

由图可知，当k>e32时，直线y=kx−k2与函数g(x)=即函数F(x)在(0,+∞)上有2个零点，所以实数k得取值范围为．故答案为．15.解：(1)m⋅n=2(b+c)⇒3asinC+acosC=b+c

由正弦定理得，3sinAsinC+sinAcosC=sinB+sinC，

化简得3sinAsinC+sinAcosC=sinAcosC+cosAsinC+sinC，

即3sinAsinC=sinC(cosA+1)，

∵C∈(0,π)，∴sinC≠0，

16.解：(1)当a=1时，fx=x−lnx，∴f′x=1−1x．

∴fe=e−1，f′e=1−1e，

∴曲线y=fx在点(e,f(e))处的切线方程为y−(e−1)=(1−1e)(x−e)，

即y=(1−1e)x；

(2)f′(x)=a−1x=ax−1x，x>0，

当a⩽0时，f′x<0，fx在(0,+∞)上单调递减，此时无最值；

当a>0时，令f′x=0，得x=1a，

当x∈(0,1a17.解：(1)等比数列{an}中，a1=2，a4=16，

设公比为q，则a4=a1q3，

解得q=2，

则an=2n；

(2)数列bn=n⋅an=n⋅2n，

18.解：(1)双曲线C:x2a由已知得a−ba+b解得a=2b或b=2a，l斜率为0时可得直线方程为：y=1，代入双曲线方程可得：x=±∴2若b=2a，则可求得a=1,b=2，若a=2b，则代入得a2∴a=1,b=2，C的方程为x2(2)设点Ax由PA=mAQ,故：x1=1+mt同理x2=1+nt∴m,n是一元二次方程4t∴t由题意可知，直线AB有斜率，设直线AB斜率为k，则直线AB方程为：y−1=kx−1与双曲线联立得：4−k由直线与双曲线交于右支得：4−解得：k<−2或2<k<5又k=1由于k<−2或2<k<52，故2<2−1∴m+n∈−1,−

19.解：(1)如图，取AC中点O，连接A1因为侧面ACC1A所以A1又因为平面ACC1A1⊥平面ABCA1O⊂平面ACC1A又因为E为A1C1的中点，所以四边形A所以EF⊥平面ABC，又EF⊂平面DEF，所以平面DEF⊥平面ABC；

(2)连接OB，因为▵ABC为等边三角形，则OB⊥OC，所以OB,OC,OA1两两垂直，则以令三棱柱的棱长为2，所以OB=OA故O(0,