2023-2024学年江苏无锡市重点名校中考冲刺卷数学试题含解析

2023-2024学年江苏无锡市重点名校中考冲刺卷数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1．我国古代数学著作《九章算术》卷七“盈不足”中有这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”意思是：几个人合伙买一件物品，每人出8元，则余3元；若每人出7元，则少4元，问几人合买？这件物品多少钱？若设有x人合买，这件物品y元，则根据题意列出的二元一次方程组为（）A． B． C． D．2．老师随机抽查了学生读课外书册数的情况，绘制成条形图和不完整的扇形图，其中条形图被墨迹遮盖了一部分，则条形图中被遮盖的数是（）A．5 B．9 C．15 D．223．若顺次连接四边形各边中点所得的四边形是菱形，则四边形一定是（）A．矩形 B．菱形C．对角线互相垂直的四边形 D．对角线相等的四边形4．如图，已知直线PQ⊥MN于点O，点A，B分别在MN，PQ上，OA=1，OB=2，在直线MN或直线PQ上找一点C，使△ABC是等腰三角形，则这样的C点有（）A．3个B．4个C．7个D．8个5．两个同心圆中大圆的弦AB与小圆相切于点C，AB=8，则形成的圆环的面积是（）A．无法求出 B．8 C．8 D．166．如图，在热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30°、45°，热气球C的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是（）A．200米 B．200米 C．220米 D．100米7．如图，在△ABC中，∠CAB＝75°，在同一平面内，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠CAC′为（）A．30° B．35° C．40° D．50°8．桌面上有A、B两球，若要将B球射向桌面任意一边的黑点，则B球一次反弹后击中A球的概率是（）A． B． C． D．9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，AC＝8，BC＝6，则∠ACD的正切值是()A． B． C． D．10．如图是某几何体的三视图，下列判断正确的是()A．几何体是圆柱体，高为2 B．几何体是圆锥体，高为2C．几何体是圆柱体，半径为2 D．几何体是圆锥体，直径为2二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11．如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，点B、O分别落在点B1、C1处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x轴上，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依次进行下去…．若点A（，0），B（0，4），则点B4的坐标为_____，点B2017的坐标为_____．12．如图，在扇形OAB中，∠O=60°，OA=4，四边形OECF是扇形OAB中最大的菱形，其中点E，C，F分别在OA，，OB上，则图中阴影部分的面积为__________．13．如图，矩形ABCD中，AD=5，∠CAB=30°，点P是线段AC上的动点，点Q是线段CD上的动点，则AQ+QP的最小值是___________．14．关于x的方程（m﹣5）x2﹣3x﹣1=0有两个实数根，则m满足_____．15．已知一个多边形的每一个外角都等于，则这个多边形的边数是．16．当x=_____时，分式值为零．17．已知△ABC中，∠C=90°，AB=9，，把△ABC绕着点C旋转，使得点A落在点A′，点B落在点B′．若点A′在边AB上，则点B、B′的距离为_____．三、解答题（共7小题，满分69分）18．（10分）如图，△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝45°，△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接BE，CF相交于点D．求证：BE＝CF；当四边形ACDE为菱形时，求BD的长．19．（5分）解不等式组：并求它的整数解的和．20．（8分）如图是东方货站传送货物的平面示意图，为了提高安全性，工人师傅打算减小传送带与地面的夹角，由原来的45°改为36°，已知原传送带BC长为4米，求新传送带AC的长及新、原传送带触地点之间AB的长．（结果精确到0.1米）参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.1，tan36°≈0.73，取1.41421．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CE^AB于E，CD平分ÐECB，交过点B的射线于D，交AB于F，且BC=BD．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）若AE=9，CE=12，求BF的长．22．（10分）如图所示，正方形网格中，△ABC为格点三角形（即三角形的顶点都在格点上）．（1）把△ABC沿BA方向平移后，点A移到点A1，在网格中画出平移后得到的△A1B1C1；（2）把△A1B1C1绕点A1按逆时针方向旋转90°，在网格中画出旋转后的△A1B2C2；（3）如果网格中小正方形的边长为1，求点B经过（1）、（2）变换的路径总长．23．（12分）如图，△ABC中，AB=8厘米，AC=16厘米，点P从A出发，以每秒2厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒3厘米的速度向A运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，设运动的时间为t．⑴用含t的代数式表示：AP=，AQ=．⑵当以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似时，求运动时间是多少？24．（14分）如图，在矩形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连结BE，CE，求证：BE=CE．

参考答案一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1、D【解析】

根据题意可以找出题目中的等量关系，列出相应的方程组，从而可以解答本题．【详解】由题意可得：，故选D．【点睛】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．2、B【解析】

条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短不同的矩形直条，然后按顺序把这些直条排列起来．扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数（单位1），用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数．【详解】课外书总人数：6÷25%＝24（人），看5册的人数：24﹣5﹣6﹣4＝9（人），故选B．【点睛】本题考查了统计图与概率，熟练掌握条形统计图与扇形统计图是解题的关键．3、C【解析】【分析】如图，根据三角形的中位线定理得到EH∥FG，EH=FG，EF=BD，则可得四边形EFGH是平行四边形，若平行四边形EFGH是菱形，则可有EF=EH，由此即可得到答案．【点睛】如图，∵E，F，G，H分别是边AD，DC，CB，AB的中点，∴EH=AC，EH∥AC，FG=AC，FG∥AC，EF=BD，∴EH∥FG，EH=FG，∴四边形EFGH是平行四边形，假设AC=BD，∵EH=AC，EF=BD，则EF=EH，∴平行四边形EFGH是菱形，即只有具备AC=BD即可推出四边形是菱形，故选D．【点睛】本题考查了中点四边形，涉及到菱形的判定，三角形的中位线定理，平行四边形的判定等知识，熟练掌握和灵活运用相关性质进行推理是解此题的关键．4、D【解析】试题分析：根据等腰三角形的判定分类别分别找寻，分AB可能为底，可能是腰进行分析．解：使△ABC是等腰三角形，当AB当底时，则作AB的垂直平分线，交PQ，MN的有两点，即有两个三角形．当让AB当腰时，则以点A为圆心，AB为半径画圆交PQ，MN有三点，所以有三个．当以点B为圆心，AB为半径画圆，交PQ，MN有三点，所以有三个．所以共8个．故选D．点评：本题考查了等腰三角形的判定；解题的关键是要分情况而定，所以学生一定要思维严密，不可遗漏．5、D【解析】试题分析：设AB于小圆切于点C，连接OC，OB．∵AB于小圆切于点C，∴OC⊥AB，∴BC=AC=AB=×8=4cm．∵圆环（阴影）的面积=π•OB2-π•OC2=π（OB2-OC2）又∵直角△OBC中，OB2=OC2+BC2∴圆环（阴影）的面积=π•OB2-π•OC2=π（OB2-OC2）=π•BC2=16π．故选D．考点：1．垂径定理的应用；2．切线的性质．6、D【解析】

在热气球C处测得地面B点的俯角分别为45°，BD=CD=100米，再在Rt△ACD中求出AD的长，据此即可求出AB的长．【详解】∵在热气球C处测得地面B点的俯角分别为45°，∴BD＝CD＝100米，∵在热气球C处测得地面A点的俯角分别为30°，∴AC＝2×100＝200米，∴AD＝＝100米，∴AB＝AD+BD＝100+100＝100（1+）米，故选D．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用--仰角、俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．7、A【解析】

根据旋转的性质可得AC=AC,∠BAC=∠BAC',再根据两直线平行,内错角相等求出∠ACC=∠CAB,然后利用等腰三角形两底角相等求出∠CAC,再求出∠BAB=∠CAC,从而得解【详解】∵CC′∥AB，∠CAB＝75°，∴∠C′CA＝∠CAB＝75°，又∵C、C′为对应点，点A为旋转中心，∴AC＝AC′，即△ACC′为等腰三角形，∴∠CAC′＝180°﹣2∠C′CA＝30°．故选A．【点睛】此题考查等腰三角形的性质，旋转的性质和平行线的性质，运用好旋转的性质是解题关键8、B【解析】试题解析：由图可知可以瞄准的点有2个．．∴B球一次反弹后击中A球的概率是.故选B．9、D【解析】

根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CD＝AD，再根据等边对等角的性质可得∠A＝∠ACD，然后根据正切函数的定义列式求出∠A的正切值，即为tan∠ACD的值．【详解】∵CD是AB边上的中线，∴CD＝AD，∴∠A＝∠ACD，∵∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，∴tan∠A＝，∴tan∠ACD的值．故选D．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等边对等角的性质，求出∠A＝∠ACD是解本题的关键．10、A【解析】试题解析：根据主视图和左视图为矩形是柱体，根据俯视图是圆可判断出这个几何体应该是圆柱，再根据左视图的高度得出圆柱体的高为2；故选A．考点：由三视图判断几何体．二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11、（20，4）（10086，0）【解析】

首先利用勾股定理得出AB的长，进而得出三角形的周长，进而求出B2，B4的横坐标，进而得出变化规律，即可得出答案．【详解】解：由题意可得：∵AO=，BO=4，∴AB=，∴OA+AB1+B1C2=++4=6+4=10，∴B2的横坐标为：10，B4的横坐标为：2×10=20，B2016的横坐标为：×10=1．∵B2C2=B4C4=OB=4，∴点B4的坐标为（20，4），∴B2017的横坐标为1++=10086，纵坐标为0，∴点B2017的坐标为：（10086，0）．故答案为（20，4）、（10086，0）．【点睛】本题主要考查了点的坐标以及图形变化类，根据题意得出B点横坐标变化规律是解题的关键．12、8π﹣8【解析】

连接EF、OC交于点H，根据正切的概念求出FH，根据菱形的面积公式求出菱形FOEC的面积，根据扇形面积公式求出扇形OAB的面积，计算即可．【详解】连接EF、OC交于点H，则OH=2，∴FH=OH×tan30°=2，∴菱形FOEC的面积=×4×4=8，扇形OAB的面积==8π，则阴影部分的面积为8π﹣8，故答案为8π﹣8．【点睛】本题考查了扇形面积的计算、菱形的性质，熟练掌握扇形的面积公式、菱形的性质、灵活运用锐角三角函数的定义是解题的关键．13、5【解析】

作点A关于直线CD的对称点E，作EP⊥AC于P，交CD于点Q，此时QA+QP最短，由QA+QP=QE+PQ=PE可知，求出PE即可解决问题．【详解】解：作点A关于直线CD的对称点E，作EP⊥AC于P，交CD于点Q．∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC=90°，∴DQ⊥AE，∵DE=AD，∴QE=QA，∴QA+QP=QE+QP=EP，∴此时QA+QP最短（垂线段最短），∵∠CAB=30°，∴∠DAC=60°，在Rt△APE中，∵∠APE=90°，AE=2AD=10，∴EP=AE•sin60°=10×=5．故答案为5．【点睛】本题考查矩形的性质、最短问题、锐角三角函数等知识，解题的关键是利用对称以及垂线段最短找到点P、Q的位置，属于中考常考题型．14、m≥且m≠1．【解析】

根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到m﹣1≠0且然后求出两个不等式的公共部分即可．【详解】解：根据题意得m﹣1≠0且解得且m≠1．故答案为:且m≠1．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．15、5【解析】

∵多边形的每个外角都等于72°，∵多边形的外角和为360°，∴360°÷72°=5，∴这个多边形的边数为5.故答案为5.16、﹣1．【解析】试题解析：分式的值为0,则：解得：故答案为17、4【解析】

过点C作CH⊥AB于H，利用解直角三角形的知识，分别求出AH、AC、BC的值，进而利用三线合一的性质得出AA'的值，然后利用旋转的性质可判定△ACA'∽△BCB'，继而利用相似三角形的对应边成比例的性质可得出BB'的值．【详解】解：过点C作CH⊥AB于H，

∵在Rt△ABC中，∠C=90，cosA=，

∴AC=AB•cosA=6，BC=3，

在Rt△ACH中，AC=6，cosA=，

∴AH=AC•cosA=4，

由旋转的性质得，AC=A'C，BC=B'C，

∴△ACA'是等腰三角形，因此H也是AA'中点，

∴AA'=2AH=8，

又∵△BCB'和△ACA'都为等腰三角形，且顶角∠ACA'和∠BCB'都是旋转角，

∴∠ACA'=∠BCB'，

∴△ACA'∽△BCB'，∴即,解得：BB'=4.故答案为：4.【点睛】此题考查了解直角三角形、旋转的性质、勾股定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是得出△ACA'∽△BCB'．三、解答题（共7小题，满分69分）18、（1）证明见解析（2）-1【解析】

（1）先由旋转的性质得AE=AB，AF=AC，∠EAF=∠BAC，则∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF，即∠EAB=∠FAC，利用AB=AC可得AE=AF，得出△ACF≌△ABE，从而得出BE=CF；（2）由菱形的性质得到DE=AE=AC=AB=1，AC∥DE，根据等腰三角形的性质得∠AEB=∠ABE，根据平行线得性质得∠ABE=∠BAC=45°，所以∠AEB=∠ABE=45°，于是可判断△ABE为等腰直角三角形，所以BE=AC=，于是利用BD=BE﹣DE求解．【详解】（1）∵△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，∴AE=AB，AF=AC，∠EAF=∠BAC，∴∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF，即∠EAB=∠FAC，在△ACF和△ABE中，△ACF≌△ABEBE=CF.（2）∵四边形ACDE为菱形，AB=AC=1，∴DE=AE=AC=AB=1，AC∥DE，∴∠AEB=∠ABE，∠ABE=∠BAC=45°，∴∠AEB=∠ABE=45°，∴△ABE为等腰直角三角形，∴BE=AC=，∴BD=BE﹣DE=．考点：1．旋转的性质；2．勾股定理；3．菱形的性质．19、0【解析】分析：先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可求出不等式组的解集.详解：，由①去括号得：﹣3x﹣3﹣x+3＜8，解得：x＞﹣2，由②去分母得：4x+2﹣3+3x≤6，解得：x≤1，则不等式组的解集为﹣2＜x≤1．点睛：本题考查了一元一次不等式组的解法，先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分.不等式组解集的确定方法是：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解.20、新传送带AC的长为1.8m，新、原传送带触地点之间AB的长约为1.2m．【解析】

根据题意得出：∠A=36°，∠CBD=15°，BC=1，即可得出BD的长，再表示出AD的长，进而求出AB的长．【详解】解：如图，作CD⊥AB于点D，由题意可得：∠A=36°，∠CBD=15°，BC=1．在Rt△BCD中，sin∠CBD=，∴CD=BCsin∠CBD=2．∵∠CBD=15°，∴BD=CD=2．在Rt△ACD中，sinA=，tanA=，∴AC=≈≈1.8，AD==，∴AB=AD﹣BD=﹣2=﹣2×1.111≈3.87﹣2.83=1.21≈1.2．答：新传送带AC的长为1.8m，新、原传送带触地点之间AB的长约为1.2m．【点睛】本题考查了坡度坡角问题，正确构建直角三角形再求出BD的长是解题的关键．21、（1）证明见解析；（2）1．【解析】试题分析：（1）根据垂直的定义可得∠CEB=90°，然后根据角平分线的性质和等腰三角形的性质，判断出∠1=∠D，从而根据平行线的判定得到CE∥BD，根据平行线的性质得∠DBA=∠CEB，由此可根据切线的判定得证结果；（2）连接AC，由射影定理可得CE试题解析：（1）证明：∵CE⊥AB，∴∠CEB=90∵CD平分∠ECB，BC=BD，∴∠1=∠2，∠2=∠D．∴∠1=∠D．∴CE∥BD．∴∠DBA=∠CEB=90∵AB是⊙O的直径，∴BD是⊙O的切线．（2）连接AC，∵AB是⊙O直径，∴∠ACB=90∵CE⊥AB，可得CE∴在Rt△CEB中，∠CEB=90°，由勾股定理得BC=∴BD=BC=20．∵∠1=∠D，∠EFC=∠BFD，∴△EFC∽△BFD．∴．∴1220∴BF=1．考点：切线的判定，相似三角