材料力学 课件 第10章 能量法

第10章能量法主要内容

1、应变能余能

2、卡氏定理

3、单位力法4、图乘法

10.1概述利用功和能的概念求解可变形固体的位移、变形和内力的方法，统称为能量法

不仅适用于线弹性问题，也可用于非线性弹性问题恒力功

功:力作用于物体，力的作用点在其作用方向上发生位移，则该力对物体做了功变形功

Dd余功广义力

广义位移

10.2应变能·余能二、应变能·余能Dd线弹性体系能:根据功能原理，贮存在物体中的应变能,数值上等于外力在物体变形过程中所做的功。

DFD10F1余能：（弹性）线弹性范围内：二、应变能·余能余能仅具有与应变能相同的量纲，无具体的物理意义。线弹性材料，余能数值上等于应变能，应区分两者的概念。FdDMe

基本变形下杆的应变能：（线弹性范围内）FM横力弯曲dxFNMT相对轴向位移：du

相对转角：d

相对扭转角:d

组合变形下应变能的普遍表达式卡氏第一定理（弹性）余能定理（弹性）卡氏第二定理（线弹性）10.3卡氏定理卡氏第一定理FiF1Fn

i

1

n一组广义力F1,

F2,…,Fn相应的广义位移

1,

2,…,

n（弹性）为最终位移的函数卡氏第一定理:应变能对于构件上某一广义位移

i的变化率，就等于与该广义位移

i所相对应的广义力Fi余能定理FiF1Fn

i

1

n一组广义力F1,

F2,…,Fn相应的广义位移

1,

2,…,

n总外力余功记作总余能为（弹性）表明余能为一系列荷载的函数余能定理:余能对于某一广义力Fi的变化率，就等于与该力Fi相应的广义位移

i卡氏第二定理FiF1Fn

i

1

n一组广义力F1,

F2,…,Fn相应的广义位移

1,

2,…,

n（线弹性）由余能定理线弹性体系卡氏第二定理：对于线弹性体，其应变能对某一广义力Fi的偏导数（变化率），等于该广义力相应的广义位移

i卡氏第二定理应用：弯曲：拉压：扭转：例1:如图所示外伸梁的抗弯刚度为EI,求外伸端C点的挠度。x1x2解:AB段BC段例2:桁架结构。拉压刚度为EA，材料为线弹性。

求C点的水平位移。ABlCFxDl杆件长度ABBCCDADACABlCFxD单位力法（莫尔定理）：

求解杆件在某一截面上的某方向上的位移，仅需要在此截面方向上加一单位力F0=1F

i以发生弯曲变形的梁为例，当要计算任意截面的广义位移：真实荷载引起的弯矩仅由单位力引起的弯矩10.4单位载荷法莫尔积分横力弯曲：拉压：扭转：例3:如图所示外伸梁的抗弯刚度为EI,求外伸端C点的挠度。Lx1x2解:AB段BC段Lx1x21aa例4:桁架结构。拉压刚度为EA

，材料为线弹性。求C点的水平位移和铅垂位移。ABlCFxDlABlCFxD杆件长度ABBCCDADACFxFxFx

1ABlCDABlCFxD杆件长度ABBCCDADACFxFxFx1ABlCD例5：用莫尔定理求如图所示悬臂梁A点处的竖直位移和转角。设梁的抗弯刚度为EI。Aql解：先列出弯矩方程xA1求A点竖直位移时，在A点加一单位力，如图1A类似地，（）用单位力法，但不写出弯矩方程？10.5计算莫尔积分的图乘法图乘法若EI=const（等截面直杆)，x

Cy0xyABM(x)AB弯矩图

的面积弯矩图

的形心位置在单位力弯矩图中，所对应的纵坐标长度公式讨论：线弹性小变形范围要求图为直线段。若为折线，应以折点为界分段进行图乘计算若图和图都为直线段，反乘亦可同侧图相乘为正，异侧图相乘为负Clabh(l+a)/3(l+b)/33l/8Chl5l/8l/4Chl3l/4Chl(n+1)l/(n+2)l/(n+2)三角形二次抛物线二次抛物线n次抛物