2025届高三数学“8+3+3”小题期末专项练（11）等差数列、等比数列（新高考地区专用）（含答案或解析）

2025届高三数学“8+3+3”小题期末专项练（11）等差数列、等比数列一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.不选、多选、错选均不得分.1．记为等差数列的前n项和，若，则（）A.45 B.90 C.180 D.2402．“数列是等差数列”是“数列为等比数列”的（）条件A.充分不必要 B.必要不充分 C.既不充分也不必要 D.充要3．已知正项递增等比数列的前项的和为，若，，则（）A.121 B.364 C.728 D.10934．各项均为正数的等比数列的前项和为，且，，成等差数列，若，则（）A.或15 B.15 C.或 D.5．已知是各项均为正数的等差数列，为其前n项和，且，则当取最大值时，（）A.10 B.20 C.25 D.506．已知等比数列满足，，记为其前项和，则（）A. B. C. D.77．已知数列的前项和为，其中，且，则（）A. B. C. D.8．设数列的前项和为，，，则下列说法正确的是（）A.是等差数列B.，，成等差数列，公差为C.当时，取得最大值D.时，的最大值为32二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．已知数列的前项和为，则下列结论正确的是（）A.若是等差数列，且，则B.若是等比数列，且，则C.若，则是等差数列D.若是公比大于1的等比数列，则10．已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，若，则下列说法正确的是（）A.当最大B.使得成立的最小自然数C.D.中最小项为11．已知数列的前项和为则下列说法正确的是（）A.是等比数列B.C.中存在不相等的三项构成等差数列D.若，则的取值范围为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．已知数列满足，，若，，则值为______.13.《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”.已知长度为的线段PQ，取PQ的中点，以为边作等边三角形（如图1），该等边三角形的面积为，再取的中点，以为边作等边三角形（如图2），图2中所有的等边三角形的面积之和为，以此类推，则____________.14.表示不超过的最大整数，比如，，，已知等差数列的通项公式，其前项和为，则使成立的最大整数为________.2025届高三数学“8+3+3”小题期末专项练（11）等差数列、等比数列一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.不选、多选、错选均不得分.1．记为等差数列的前n项和，若，则（）A.45 B.90 C.180 D.240【答案】B【解析】由得，，整理得，即，所以.故选：B2．“数列是等差数列”是“数列为等比数列”的（）条件A.充分不必要 B.必要不充分 C.既不充分也不必要 D.充要【答案】A【解析】若数列等差数列，设其公差为，则，所以，，且对任意的，，所以，数列为等比数列，即“数列是等差数列”“数列为等比数列”；另一方面，若数列为等比数列，不妨取，则数列为等比数列，但无意义，即“数列是等差数列”“数列为等比数列”.因此，“数列是等差数列”是“数列为等比数列”的充分不必要条件.故选：A.3．已知正项递增等比数列的前项的和为，若，，则（）A.121 B.364 C.728 D.1093【答案】B【解析】在正项递增等比数列中，所以，又，所以或（舍去），设数列的公比为，则，所以，所以.故选：B.4．各项均为正数的等比数列的前项和为，且，，成等差数列，若，则（）A.或15 B.15 C.或 D.【答案】B【解析】设等比数列的公比为，由数列为正项数列，则，由，，为等差数列，则，即，即，解得或（舍去），又，所以.故选：B5．已知是各项均为正数的等差数列，为其前n项和，且，则当取最大值时，（）A.10 B.20 C.25 D.50【答案】D【解析】∵，∴，由已知，得，∴，当且仅当时等号成立．此时数列为常数列5，所以，故选：D6．已知等比数列满足，，记为其前项和，则（）A. B. C. D.7【答案】A【解析】设等比数列的公比为，，依题意，，，即，∴，，解得或，∴，，或，，，∴.故选：A7．已知数列的前项和为，其中，且，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，所以，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以，即，所以．故选：C.8．设数列的前项和为，，，则下列说法正确的是（）A.是等差数列 B.，，成等差数列，公差为C.当时，取得最大值 D.时，的最大值为32【答案】A【解析】由，可得：数列是以为首项，为公差的等差数列.则.所以对于选项A：当时，；当时，；.数列是等差数列，故选项A正确；对于选项B：，，，则，所以，，成等差数列，公差为，故选项B错误；对于选项C：，当或时，最大，故选项C错误；对于选项D：令，得，，即满足的最大正整数，故选项D错误.故选：A二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．已知数列的前项和为，则下列结论正确的是（）A.若是等差数列，且，则B.若是等比数列，且，则C.若，则是等差数列D.若是公比大于1的等比数列，则【答案】AB【解析】对于A，若是等差数列，则，且，则，A正确；对于B，若等比数列，显然时，否则，不成立，，且，则，B正确；对于C，若，则，，，，数列不是等差数列，C错误；对于D，若，则，，不满足，D错误.故选：AB10．已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，若，则下列说法正确的是（）A.当最大B.使得成立的最小自然数C.D.中最小项为【答案】ABD【解析】因为，所以，由，所以，所以，所以.所以，当时，最大，故A正确；由，，所以使得成立的最小自然数，故B正确；由，且，所以，即，故C错误；因为当时，，，所以；当时，，，所以；当时，，，所以.且，，所以中最小项为，故D正确.故选：ABD.11．已知数列的前项和为则下列说法正确的是（）A.是等比数列B.C.中存在不相等的三项构成等差数列D.若，则的取值范围为【答案】ABD【解析】对于A，根据题意易知，所以是等比数列，以1为首项，3为公比，，故A正确；对于B，同理，，即所以是等比数列，以3为首项，3为公比，，则，故B正确；对于C，假设中存在不相等的三项构成等差数列，不妨设该三项为，则，即，因为，所以，则上式不成立，所以不存在，故C错误；对于D项，若n为奇数，则，，而由A项可知，递增，所以，，则，若n为偶数，则，，同理由A项可知，递增，所以，，则，而，则，故D正确.故选：ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．已知数列满足，，若，，则值为______.【答案】或【解析】因为，，所以数列为等比数列，设其公比为q.由，，得，，所以.当时，，则；当时，，则.综上，的值为或.故答案为：或13.《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”.已知长度为的线段PQ，取PQ的中点，以为边作等边三角形（如图1），该等边三角形的面积为，再取的中点，以为边作等边三角形（如图2），图2中所有的等边三角形的面积之和为，以此类推，则____________.【答案】##【解