高二升高三数学暑假作业06 条件概率、全概率及贝叶斯公式（解析版）

限时练习：90min完成时间：月日天气：作业06条件概率、全概率及贝叶斯公式条件概率条件概率的定义条件概率的性质已知B发生的条件下，A发生的概率，称为B发生时A发生的条件概率，记为P(A|B)．当P(B)>0时，我们有P(A|B)＝eq\f(PA∩B,PB).(其中，A∩B也可以记成AB)类似地，当P(A)>0时，A发生时B发生的条件概率为P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)(1)0≤P(B|A)≤1，(2)如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)全概率公式一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)＞0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，BΩ＝B(A1＋A2＋…＋An)＝BA1＋BA2＋…＋BAn，有P(B)＝，此公式为全概率公式.（1）计算条件概率除了应用公式P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)外，还可以利用缩减公式法，即P(B|A)＝eq\f(n（AB）,n（A）)，其中n(A)为事件A包含的样本点数，n(AB)为事件AB包含的样本点数.（2）全概率公式为概率论中的重要公式，它将对一个复杂事件A的概率的求解问题，转化为了在不同情况下发生的简单事件的概率的求和问题.贝叶斯公式一般地,设是一组两两互斥的事件,有且,则对任意的事件有一、单选题1．甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和3个红球，丙袋中有5个白球和4个红球.先随机取一只袋，再从该袋中随机取一个球，该球为白球的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用全概率公式即可求解.【详解】设“取出的球来自甲袋”为事件，“取出的球来自乙袋”为事件，“取出的球来自丙袋”为事件，“该球为白球”为事件，则.故选：B.2．一玩具制造厂的某一配件由A、B、C三家配件制造厂提供，根据三家配件制造厂以往的制造记录分析得到数据：制造厂A、B、C的次品率分别为，提供配件的份额分别为，设三家制造厂的配件在玩具制造厂仓库均匀混合且不区别标记，从中随机抽取一件配件，则抽到的是次品的概率为（

）A．0.0135 B．0.0115 C．0.0125 D．0.0145【答案】A【分析】设事件：抽到的是次品，事件：抽到的配件来自A制造厂，事件：抽到的配件来自制造厂，事件：抽到的配件来自制造厂，利用全概率公式计算可得.【详解】设事件：抽到的是次品，事件：抽到的配件来自A制造厂，事件：抽到的配件来自制造厂，事件：抽到的配件来自制造厂，由题意可知：，所以.故选：A.3．质数（primenumber）又称素数，一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，则这个数为质数．数学上把相差为2的两个素数叫做“孪生素数”如：3和5，5和，那么，如果我们在不超过40的自然数中，随机选取两个不同的数，记事件A：这两个数都是素数．事件B：这两个数不是孪生素数，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分析可知自然数有41个，素数有12个，孪生素数有5组，根据条件概率公式结合古典概型分析求解.【详解】不超过的自然数有41个，其中素数有，共12个，孪生素数有和，和，和，和，29和31，共5组.所以，，所以.故选：D.4．假设甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和2个红球.现从甲袋中任取2个球放入乙袋，混匀后再从乙袋中任取2个球.已知从乙袋中取出的是2个白球，则从甲袋中取出的也是2个白球的概率为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意，先分析求解设从甲中取出个球，其中白球的个数为个的事件为，事件的概率为，从乙中取出个球，其中白球的个数为2个的事件为，事件的概率为，再分别分析三种情况求解即可【详解】设从甲中取出个球，其中白球的个数为个的事件为，事件的概率为，从乙中取出个球，其中白球的个数为2个的事件为，事件的概率为，由题意：①，；②，；③，；根据贝叶斯公式可得，从乙袋中取出的是2个白球，则从甲袋中取出的也是2个白球的概率为故选：C5．研究人员对甲、乙两种药物的临床抗药性进行研究，通过实验数据发现：“对药物甲产生抗药性”的概率为，“对药物乙产生抗药性”的概率为，“对甲、乙两种药物均不产生抗药性”的概率为，则在对药物甲产生抗药性的条件下，对药物乙也产生抗药性的概率为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据和事件的概率公式求出，再由条件概率公式计算即可得解.【详解】设“对药物甲产生抗药性”为事件，“对药物乙产生抗药性”为事件，“对甲、乙两种药物均不产生抗药性”为事件，则，且，所以，又，所以，所以．故选：D．二、多选题6．已知甲口袋中装有3个红球，1个白球，乙口袋中装有2个红球，1个白球，这些球只有颜色不同.先从甲口袋中随机取出1个球放入乙口袋，再从乙口袋中随机取出1个球.记从甲口袋中取出的球是红球、白球分别为事件、，从乙口袋中取出的球是红球为事件B，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】直接使用古典概型方法可以计算得出，，，，即可判断A选项，再结合条件概率公式和全概率公式即可确定B，C，D选项的正确性.【详解】对于A，由于甲口袋中装有4个球，其中有3个红球，所以，故A正确；对于B，若从甲口袋中取出的球是白球，则此时乙口袋中有2个红球，2个白球，从而此条件下从乙口袋中取出的球是红球的概率为，故B错误；对于C，若从甲口袋中取出的球是红球，则此时乙口袋中有3个红球，1个白球，从而此条件下从乙口袋中取出的球是红球的概率为，所以，故C正确；对于D，由于甲口袋中装有4个球，其中有1个白球，所以，结合以上分析，所以，故D正确.故选：ACD7．“新高考”后，普通高考考试科目实行“”模式，其中“2”就是考生在思想政治、地理、化学、生物学这4门科目中选择2门作为再选科目．甲、乙两名同学各自从这4门科目中任意挑选2门科目学习．记事件A表示“甲、乙两人中恰有一人选择生物学”，事件B表示“甲、乙两人都选择了生物学”，事件C表示“甲、乙两人所选科目完全相同”，事件D表示“甲、乙两人所选科目不完全相同”，则（

）A．B与C相互独立 B．C． D．【答案】BCD【分析】由相互独立事件成立的条件，算出，由可判断A；由条件概率的计算公式可得，，即可判断B、C；由和事件的计算公式可得，即可判断D.【详解】因为，所以，所以B与C不相互独立，故A错误；因为，所以，故B正确；因为，所以，故C正确；因为，所以D正确．故选：BCD.8．连续抛掷两次骰子，“第一次抛掷结果向上的点数小于3”记为事件，“第二次抛掷结果向上的点数是3的倍数”记为事件，“两次抛掷结果向上的点数之和为偶数”记为事件，“两次抛掷结果向上的点数之和为奇数”记为事件，则下列叙述中不正确的是（

）A．与互斥 B． C．与相互独立 D．与不相互独立【答案】BD【分析】根据题意，分别写出事件A、B、C、D包含的基本事件，并计算出概率，然后根据选项一一验证即可做出判断.【详解】因为抛掷一次骰子，包含6个基本事件，事件A表示结果向上的点数为1、2，所以；事件B表示第二次抛掷结果向上的点数为3、6，所以；事件C表示结果向上的点数为，，，，，，，，，，，，，，，，，，共18种情况，而抛掷两次骰子共出现36种情况，所以；事件D表示结果向上的点数为，，，，，，，，，，，，，，，，，，共18种情况，而抛掷两次骰子共出现36种情况，所以；对于A，由上述事件C与事件D表示的结果可知，，所以事件C与事件D互斥且对立，故A正确；对于B，因为，表示两次抛掷结果向上的点数之和为奇数且第一次抛掷结果向上的点数小于3的概率，其中事件包含，，，，，共6种情况，，所以，故B错误；对于C，表示两次抛掷结果向上的点数之和为偶数且第一次抛掷结果向上的点数小于3的概率，其中事件包含，，，，，，共6种情况，所以，又，，，所以A与C相互独立，故C正确；对于D，表示两次抛掷结果向上的点数之和为奇数且第二次抛掷结果向上的点数是3的倍数的概率，事件包含，，，，，共6种情况，所以，又，，，所以B与D相互独立，故D错误.故选：BD.三、填空题9．一位射击运动员向一个目标射击二次，记事件“第次命中目标”，，则．【答案】/0.3125【分析】根据条件概率公式及对立事件概率公式，全概率公式求解即可.【详解】由题意，，所以.又，所以，所以.故答案为：10．为了组建一支志愿者队伍，欲从4名男志愿者，3名女志愿者中随机抽取3人聘为志愿者队的队长，设事件为“抽取的3人中至少有一名男志愿者”，事件为“抽取的3人中至少有一名女志愿者”，则.【答案】【分析】利用条件概率公式即可求解.【详解】，，所以.故答案为：.四、解答题11．编号为的三个除编号外完全相同的盒子里，分别装有3个红球，2个白球；3个黄球，3个白球；4个黑球，5个白球.（所有球除颜色外完全相同）(1)现随机从某个盒子里摸2个球，则在选到2号盒子的条件下，摸出的两个球都是白球的概率是多少？(2)现随机从某个盒子里摸1个球，若摸出的球是白色，则这个球来自2号盒子的概率是多少？【答案】(1)(2)【分析】（1）利用条件概率公式直接求解即可；（2）先利用全概率公式求解事件“摸出白球”的概率，然后再利用条件概率公式求解即可.【详解】（1）设“选到2号盒子”，“摸到的两个球都是白球”，则.（2）设“先选到第号盒子”“摸出白球”，则．，，.，，即这个球来自2号盒子的概率为.12．某芯片制造企业采用流水线的方式生产芯片．原有生产线生产某型号的芯片需要经过三道工序，这三道工序互不影响．已知三道工序产生不合格产品的概率分别为、、，三道工序均合格的产品成为正品，否则成为次品．(1)求该企业原有生产线的次品率；(2)为了提高产量，该企业又引进一条新生产线加工同一型号的芯片，两条生产线生产出的芯片随机混放在一起．已知新生产线的次品率为，且新生产线的产量是原生产线产量的两倍．从混放的芯片中任取一个，计算它是次品的概率．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意，利用独立事件的概率乘法，求得企业原有生产线的正品率，进而求得该企业原有生产线的次品率；（2）记“任取一个芯片来自原生产线”为事件，“任取一个芯片来自新生产线”为事件，记“任取一个芯片是次品”为事件，分别求得，，，，结合，即可求解.【详解】（1）解：该企业原有生产线的正品率为，所以该企业原有生产线的次品率为.（2）解：记“任取一个芯片来自原生产线”为事件，“任取一个芯片来自新生产线”为事件，记“任取一个芯片是次品”为事件，则，，且，，所以，即从混放的芯片中任取一个，它是次品的概率为．1．对于随机事件，记为事件的对立事件，且，则.【答案】【分析】根据题意，由条件概率公式可得，再由，再结合条件概率的公式即可得到结果.【详解】由题意可得，，且，则，又因为，则，且，所以.故答案为：.2．（多选）甲箱中有4个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有3个红球，3个白球和3个黑球，先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以，和表示由甲箱取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以表示由乙箱取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是（

）A．事件与事件相互独立 B．C． D．【答案】BC【分析】依题意得到，，，，，，再由全概率公式求出，即可判断B、C，根据独立事件的概念判断A，利用条件概率公式判断D．【详解】依题意可得，，，若先发生，则乙袋中有4个红球，3白球，3黑球，此时，若先发生，则乙袋中有3个红球，4白球，3黑球，此时，若先发生，则乙袋中有3个红球，3白球，4黑球，此时．所以，故B正确；，，，故C正确；因为，即与不独立，故A错误；，故D错误．故选：BC.3．（多选）盒中有编号为1，2，3，4的四个红球和编号为1，2，3，4的四个白球，从盒中不放回的依次取球，每次取一个球，用事件表示“第次首次取出红球”，用事件表示“第次取出编号为1的红球”，用事件表示“第次取出编号为1的白球”，则（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】根据条件概率概率公式、及排列数公式一一判断即可.【详解】对于A：依题意，，，即，故A正确；对于B：，，所以，故B正确；对于C：，，所以，故C正确；对于D：，，所以，故D错误.故选：ABC4．（多选）甲盒中有3个红球，2个白球；乙盒中有2个红球，3个白球.先从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，事件A表示“从甲盒中取出的是红球”，事件B表示“从甲盒中取出的是白球”；再从乙盒中随机取出一球，事件C表示“从乙盒中取出的是红球”，则下列结论正确的是（

）A．事件A与事件B是互斥事件 B．事件A与事件C是独立事件C． D．【答案】ACD【分析】根据互斥事件的定义及独立事件定义可判断选项A，B；根据古典概型的计算公式及条件概率的计算公式即可判断选项C，D.【详解】因为事件“从甲盒中取出的是红球”与事件“从甲盒中取出的是白球”不可能同时发生，所以事件与事件B是互斥事件，选项A正确，因为甲盒中有3个红球，2个白球，所以，，若甲中拿出的是红球，则乙中有3个红球，3个白球，若甲中拿出的是白球，则乙中有2个红球，4个白球，所以，，，故选项D正确，因为，所以事件A与事件C不是独立事件，故选项B错误；因为，故选项C正确；故选：ACD.5．托马斯·贝叶斯（ThomasBayes）在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：，这个公式被称为贝叶斯公式（贝叶斯定理），其中称为B的全概率，假设小红口袋中有4个白球和4个红球，小兰口袋中有2个白球和2个红球，现从小红自己口袋中任取2个球放入小兰口袋中，小兰再从自己口袋中任取2个球，已知小兰取出的是2个红球，则小红从口袋中取出的也是2个红球的概率为.【答案】/【分析】先分析求解设从小红取出个球，其中红球的个数为个的事件的概率，再分析小兰取出个球，其中红球的个数为2个的事件的概率，结合题中公式运算求解.【详解】设小红取出个球，其中红球的个数为个的事件为，从小兰取出个球，其中红球的个数为2个的事件为，由题意可得：，；，；，；则，所以小兰取出的是2个红球，则小红取出的也是2个红球的概率为.故答案为：.1．（多选）已知，.若随机事件A，B相互独立，则（

）A． B． C． D．【答案】ABC【分析】根据给定条件，利用相互独立事件的乘法公式，结合条件概率逐项计算即得.【详解】随机事件A，B相互独立，，，对于A，，A正确；对于B，，B正确；对于C，，C正确；对于D，，D错误.故选：ABC2．假设有两个密闭的盒子，第一个盒子里装有3个白球2个红球，第二个盒子里装有2个白球4个红球，这些小球除颜色外完全相同.(1)每次从第一个盒子里随机取出一个球，取出的球不再放回，经过两次取球，求取出的两球中有红球的条件下，第二次取出的是红球的概率；(2)若先从第一个盒子里随机取出一个球放入第二个盒子中，摇匀后，再从第二个盒子里随机取出一个球，求从第二个盒子里取出的球是红球的概率.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用对立事件的概率公式与条件概率公式，结合古典概型求解即可；（2）利用全概率公式，结合古典概型求解即可.【详解】（1）依题意，记事件表示第次从第一个盒子里取出红球，记事件表示两次取球中有红球，则，.（2）记事件表示从第一个盒子里取出红球，记事件表示从第一个盒子里取出白球，记事件表示从第二个盒子里取出红球，则.3．某校团委开展知识竞赛活动．现有两组题目放在两个箱子中，箱中有6道选择题和3道论述题，箱中有3道选择题和2道论述题．参赛选手先在任一箱子中随机选取一题，作答完后再在此箱子中选取第二题作答，答题结束后将这两个题目放回原箱子．(1)若同学甲从箱中抽取了2题，求第2题抽到论述题的概率；(2)若同学乙从箱中抽取了2题，答题结束后误将题目放回了箱，接着同学丙从箱中抽取题目作答，（i）求丙取出的第一道题是选择题的概率；（ii）已知丙取出的第一道题是选择题，求乙从箱中取出的是两道论述题的概率．【答案】(1)(2)（i）（ii）【分析】（1）设出事件,利用全概率公式求解即可；（2）设出事件，，，并求出对应的概率，利用全概率公式求出，然后利用条件概率公式求解即可.【详解】（1）设事件表示“甲第i次从B信封中取到论述题”，，2，则，，，.由全概率公式得第2题抽到论述题的概率.（2）设事件A为“丙从B信封中取出的第一个题是选择题”，事件为“乙从A信封中取出2个选择题”，事件为“乙从A信封中取出1个选择题和1个论述题”，事件为“乙从A信封中取出2个论述题”，则，，两两互斥且，则，，，，，，（i）所以丙取出的第一道题是选择题的概率为，（ii）已知丙取出的第一道题是选择题，乙从箱中取出的是两道论述题的概率为.1．（2023·全国·高考真题）某地的中学生中有的同学爱好滑冰，的同学爱好滑雪，的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为（

）A．0.8 B．0.6 C．0.5 D．0.4【答案】A【分析】先算出同时爱好两项的概率,利用条件概率的知识求解.【详解】同时爱好两项的概率为，记“该同学爱好滑雪”为事件,记“该同学爱好滑冰”为事件，则，所以.