2024-2025学年下学期初中数学北师大新版九年级期末必刷常考题之圆周角与圆心角的关系

第24页（共24页）2024-2025学年下学期初中数学北师大新版九年级期末必刷常考题之圆周角与圆心角的关系一．选择题（共7小题）1．（2025•东川区二模）如图，点A，B，C在⊙O上，∠ABO＝40°，则∠C的度数是（）A．40° B．50° C．55° D．60°2．（2025•荥阳市模拟）如图，量角器0°﹣180°线和含30°角的直角三角板的斜边重合，点D是量角器外边缘上一点，则图中∠ADB的度数是（）A．60° B．50° C．40° D．30°3．（2025•东莞市二模）如图，已知点A、B、C依次在⊙O上，∠C＝40°，则∠AOB的度数为（）A．70° B．72° C．80° D．84°4．（2025•永春县模拟）如图，若AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，∠DCB＝24°，∠CDB＝40°，则∠AEC＝（）A．96° B．76° C．64° D．74°5．（2025春•北碚区校级期中）如图，AB是⊙O的直径，点C、D是圆上两点，连接OC、AC、AD、CD，若∠BOC＝∠ACD＝35°，则∠DAC的度数是（）A．35° B．37° C．37.5° D．52.5°6．（2025•泗洪县一模）如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上两点，若∠BCD＝38°，则∠ABD的大小为（）A．76° B．52° C．50° D．38°7．（2025•惠城区模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，它的一个外角∠EBC＝65°，分别连接AC，BD，若AC＝AD，则∠DBC的度数为（）A．50° B．55° C．65° D．70°二．填空题（共5小题）8．（2025•浙江模拟）如图，⊙O的半径为6，A为⊙O上一点，OD⊥弦BC于点D，∠BAC＝120°，则线段BC的长为．9．（2025•宝应县二模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是⊙O的直径，若∠BEC＝25°，则∠ADC的度数为°．10．（2025•碑林区校级四模）如图，AD，BD是⊙O的两条弦，点C在⊙O上，B是AC的中点，连接OB，OC，若∠BOC＝46°，则∠D的度数是．11．（2025•海陵区一模）如图，AB是⊙O的直径，点C，D均在⊙O上，CD⊥AB，若∠ABC＝62°，则BD的度数为°．12．（2025•中牟县模拟）如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，圆内接四边形ABCD的顶点B，D都在格点上，点A在劣弧BD上，点C在优弧BD上，∠BAD的度数为．三．解答题（共3小题）13．（2025•文成县二模）如图，在圆内接四边形ABCD中，AC，BD是对角线，CD＜BC，在CD的延长线上取一点E，使得CE＝BC，在AC的延长线上取一点F，连结EF，使得∠CFE＝∠BDC．（1）若AC是圆的直径，∠CFE＝30°，求∠ACB．（2）求证：①AB∥EF．②AD＝EF．14．（2025•顺德区二模）线段BC是⊙O的一条弦，动点A是BC上方圆弧上一点，点D是BC的中点．连接AB、AC、AD，且∠BAC＝60°．（1）如图1，当AD经过圆心O时，证明：AB+AC=3AD（2）如图2，当AD不经过圆心O时，AB+AC=3AD15．（2025•香洲区模拟）如图，在边长为1的正方形网格图中，建立平面直角坐标系，一圆弧经过点A，B，C，D，其中A，B，C为网格点．（1）请直接写出图中弧ABC所在圆的圆心P的坐标；（2）求圆周角∠ADC的度数．

2024-2025学年下学期初中数学北师大新版九年级期末必刷常考题之圆周角与圆心角的关系参考答案与试题解析一．选择题（共7小题）题号1234567答案BDCDCBA一．选择题（共7小题）1．（2025•东川区二模）如图，点A，B，C在⊙O上，∠ABO＝40°，则∠C的度数是（）A．40° B．50° C．55° D．60°【考点】圆周角定理．【专题】圆的有关概念及性质．【答案】B【分析】由半径相等，可求出∠BOA，再根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，即可解答．【解答】解：∵∠ABO＝40°，OA＝OB，∴∠BAO＝∠ABO＝40°，∴∠BOA＝180°﹣∠BAO﹣∠ABO＝100°，∴∠C故选：B．【点评】本题考查等边对等角，三角形的内角和，同弧所对的圆周角与圆心角的关系，掌握知识点是解题的关键．2．（2025•荥阳市模拟）如图，量角器0°﹣180°线和含30°角的直角三角板的斜边重合，点D是量角器外边缘上一点，则图中∠ADB的度数是（）A．60° B．50° C．40° D．30°【考点】圆周角定理．【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．【答案】D【分析】根据圆周角定理求解即可．【解答】解：根据题意得，A、B、C、D四点共圆，∴∠ADB＝∠ACB，∵∠ACB＝30°，∴∠ADB的度数是30°，故选：D．【点评】此题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键．3．（2025•东莞市二模）如图，已知点A、B、C依次在⊙O上，∠C＝40°，则∠AOB的度数为（）A．70° B．72° C．80° D．84°【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．【答案】C【分析】直接利用圆周角定理求解．【解答】解：∵∠AOB和∠C所对的弧都是AB，∴∠AOB＝2∠C＝2×40°＝80°．故选：C．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．4．（2025•永春县模拟）如图，若AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，∠DCB＝24°，∠CDB＝40°，则∠AEC＝（）A．96° B．76° C．64° D．74°【考点】圆周角定理．【专题】与圆有关的计算；几何直观；推理能力．【答案】D【分析】由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得∠ADC＝90°，又由∠DCB＝24°，∠CDB＝40°，即可求得∠A与∠ADC的度数，继而求得答案．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠CDB＝40°，∴∠ADC＝50°，∵∠A＝∠DCB＝24°，∴∠AEC＝∠A+∠ADC＝74°．故选：D．【点评】此题考查了圆周角定理以及三角形外角的性质，解答本题的关键是掌握数形结合思想的应用．5．（2025春•北碚区校级期中）如图，AB是⊙O的直径，点C、D是圆上两点，连接OC、AC、AD、CD，若∠BOC＝∠ACD＝35°，则∠DAC的度数是（）A．35° B．37° C．37.5° D．52.5°【考点】圆周角定理．【专题】与圆有关的计算；运算能力．【答案】C【分析】连接OD，根据圆周角定理和等腰三角形的性质求出∠OCA的度数，从而求出∠OCD的度数，再由等腰三角形的性质求出∠ODC的度数，根据三角形内角和定理求出∠COD的度数，最后由圆周角定理求出∠DAC的度数即可．【解答】解：如图，连接OD．∵∠BOC＝35°，∴∠OAC=12∠BOC=12∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC＝17.5°，∵∠ACD＝35°，∴∠OCD＝∠OCA+∠ACD＝17.5°+35°＝52.5°，∵OC＝OD，∴∠ODC＝∠OCD＝52.5°，∴∠COD＝180°﹣（∠ODC+∠OCD）＝180°﹣（52.5°+52.5°）＝75°，∴∠DAC=12∠COD=12故选：C．【点评】本题考查圆周角定理，掌握圆周角定理、等腰三角形的性质和三角形内角和定理是解题的关键．6．（2025•泗洪县一模）如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上两点，若∠BCD＝38°，则∠ABD的大小为（）A．76° B．52° C．50° D．38°【考点】圆周角定理．【专题】圆的有关概念及性质；几何直观．【答案】B【分析】解法一：连接AD，如图1，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，∠A＝∠BCD＝38°，然后利用互余计算∠ABD的度数或连接OD，如图2，根据圆周角定理得到∠DOB＝76°，然后利用等腰三角形和三角形内角和计算∠ABD的度数．解法二：先利用同弧所对的圆周角和圆心角的关系得出角BOD，最后用等腰三角形的性质即可得胡结论．【解答】解法一：连接AD，如图1，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠A＝∠BCD＝38°，∴∠ABD＝90°﹣38°＝52°．解法二：连接OD，如图2，根据圆周角定理，∠DOB＝2∠DCB＝76°，∵OD和OB均为⊙O的半径，∴OD＝OB，∴∠ODB＝∠ABD，∴在△DOB中，∠ABD=180°-∠故选：B．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．7．（2025•惠城区模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，它的一个外角∠EBC＝65°，分别连接AC，BD，若AC＝AD，则∠DBC的度数为（）A．50° B．55° C．65° D．70°【考点】圆内接四边形的性质．【专题】常规题型．【答案】A【分析】先根据圆内接四边形的性质得出∠ADC＝∠EBC＝65°，再根据AC＝AD得出∠ACD＝∠ADC＝65°，故可根据三角形内角和定理求出∠CAD＝50°，再由圆周角定理得出∠DBC＝∠CAD＝50°．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ADC＝∠EBC＝65°．∵AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC＝65°，∴∠CAD＝180°﹣∠ACD﹣∠ADC＝50°，∴∠DBC＝∠CAD＝50°，故选：A．【点评】本题考查了圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键．也考查了等腰三角形的性质以及三角形内角和定理．二．填空题（共5小题）8．（2025•浙江模拟）如图，⊙O的半径为6，A为⊙O上一点，OD⊥弦BC于点D，∠BAC＝120°，则线段BC的长为63【考点】圆周角定理；勾股定理；垂径定理．【专题】圆的有关概念及性质；运算能力．【答案】63【分析】连接OB，先由圆周角定理得到∠BOC＝360°﹣240°＝120°，由等腰三角形的性质得到DB＝DC，∠COD＝60°，再解Rt△DOC即可求出DC，继而求解BC．【解答】解：连接OB，由题意可得：优弧BC所对的圆心角为240°，∴∠BOC＝360°﹣240°＝120°，∵OD⊥弦BC，OB＝OC，∴DB＝DC，∠COD＝60°，∴BC=2故答案为：63【点评】本题考查了圆周角定理，解直角三角形的相关计算，等腰三角形的性质等知识点，正确添加辅助线是解题的关键．9．（2025•宝应县二模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是⊙O的直径，若∠BEC＝25°，则∠ADC的度数为115°．【考点】圆周角定理．【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．【答案】115．【分析】连接BD，由圆周角定理得到∠ADB＝90°，∠CDB＝∠E＝25°，即可求出∠ADC的度数．【解答】解：连接BD，∵AB是圆的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠CDB＝∠E＝25°，∴∠ADC＝∠ADB+∠CDB＝115°．故答案为：115．【点评】本题考查圆周角定理，关键是由圆周角定理得到∠ADB＝90°，∠CDB＝∠E＝25°．10．（2025•碑林区校级四模）如图，AD，BD是⊙O的两条弦，点C在⊙O上，B是AC的中点，连接OB，OC，若∠BOC＝46°，则∠D的度数是23°．【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．【专题】圆的有关概念及性质；运算能力．【答案】23°．【分析】连接OA，根据已知易得：AB=BC，从而可得∠BOC＝∠AOB＝【解答】解：连接OA，∵B是AC的中点，∴AB=∴∠BOC＝∠AOB＝46°，∴∠D=12∠AOB＝故答案为：23°．【点评】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．11．（2025•海陵区一模）如图，AB是⊙O的直径，点C，D均在⊙O上，CD⊥AB，若∠ABC＝62°，则BD的度数为56°．【考点】圆周角定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系．【专题】圆的有关概念及性质；运算能力．【答案】56．【分析】连接OC，先根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB＝90°，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得：∠A＝28°，然后利用圆周角定理可得∠BOC＝56°，从而可得BC的度数为56°，再根据垂径定理可得：BC=【解答】解：连接OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠ABC＝62°，∴∠A＝90°﹣∠ABC＝28°，∴∠BOC＝2∠A＝56°，∴BC的度数为56°，∵CD⊥AB，∴BC=∴BD的度数为56°，故答案为：56．【点评】本题考查了圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．12．（2025•中牟县模拟）如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，圆内接四边形ABCD的顶点B，D都在格点上，点A在劣弧BD上，点C在优弧BD上，∠BAD的度数为135°．【考点】圆内接四边形的性质；圆周角定理．【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．【答案】135°．【分析】根据勾股定理的逆定理得到∠BOD＝90°，根据圆周角定理求出∠BCD，再根据圆内接四边形的性质计算即可．【解答】解：设四边形ABCD的外接圆的圆心为O，连接OB、OD，∵OB2+OD2＝22+22+22+22＝16，BD2＝42＝16，∴OB2+OD2＝BD2，∴∠BOD＝90°，由圆周角定理得：∠BCD=12∠BOD＝∵四边形ABCD是圆O的内接四边形，∴∠BCD+∠BAD＝180°，∴∠BAD＝180°﹣45°＝135°，故答案为：135°．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键．三．解答题（共3小题）13．（2025•文成县二模）如图，在圆内接四边形ABCD中，AC，BD是对角线，CD＜BC，在CD的延长线上取一点E，使得CE＝BC，在AC的延长线上取一点F，连结EF，使得∠CFE＝∠BDC．（1）若AC是圆的直径，∠CFE＝30°，求∠ACB．（2）求证：①AB∥EF．②AD＝EF．【考点】圆内接四边形的性质；全等三角形的判定与性质；圆周角定理．【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．【答案】（1）60°；（2）①②证明见解析．【分析】（1）根据圆周角定理得到∠ABC＝90°，∠CAB＝∠BDC，求出∠CAB＝30°，进而求出∠ACB；（2）①根据平行线的判定证明；②在ADC上取一点P，使AP＝BC，证明△ECF≌△APD，根据全等三角形的性质证明即可．【解答】（1）解：∵AC是圆的直径，∴∠ABC＝90°，由圆周角定理得：∠CAB＝∠BDC，∵∠BDC＝∠CFE＝30°，∴∠CAB＝30°，∴∠ACB＝90°﹣30°＝60°；（2）证明：①∵∠CFE＝∠BDC，∠BDC＝∠CAB，∴∠BAC＝∠CFE，∴AB∥EF；②如图，在ADC上取一点P，使AP＝BC，则AP=∴∠ADP＝∠BDC，∴∠ADP＝∠CFE，∵∠APD+∠ACD＝180°，∠ACD+∠ECF＝180°，∴∠APD＝∠ECF，∵CE＝BC，BC＝AP，∴AP＝EC，在△ECF和△APD中，∠ADP∴△ECF≌△APD（AAS），∴EF＝AD．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理、全等三角形的判定和性质，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键．14．（2025•顺德区二模）线段BC是⊙O的一条弦，动点A是BC上方圆弧上一点，点D是BC的中点．连接AB、AC、AD，且∠BAC＝60°．（1）如图1，当AD经过圆心O时，证明：AB+AC=3AD（2）如图2，当AD不经过圆心O时，AB+AC=3AD【考点】圆周角定理；全等三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系．【专题】图形的全等；圆的有关概念及性质；几何直观；推理能力．【答案】（1）证明见解答过程；（2）成立，理由见解答过程．【分析】（1）连接BD，CD，依题意得∠ABC＝∠ACD＝90°，设BD＝CD＝a，∠BAD＝∠CAD＝30°，根据含有30°角的直角三角形性质得AD＝2a，进而得AB=3a，同理AC=3a，则AB（2）过点D作DE⊥AC，交AC的延长线于点E，DF⊥AB于点F，依题意得AD是∠BAC的角平分线，则DF＝DE，由此可依据“DL”判定Rt△ADF和Rt△ADE全等，则AF＝AE，同理得Rt△DBF和Rt△DCE全等得BF＝CE，进而得AB+AC＝2AF，设DF＝a，据含有30°角的直角三角形性质得AD＝2a，继而得AF=3a，则AB+AC＝2AF【解答】（1）证明：连接BD，CD，如图1所示：∵AD经过圆心O，∴AD是⊙O的直径，∴∠ABC＝∠ACD＝90°，∵点D是BC的中点，∠BAC＝60°，∴BD=∴设BD＝CD＝a，∠BAD＝∠CAD=12∠BAC＝在Rt△BAD中，AD＝2BD＝2a，由勾股定理得：AB=A同理：AC=3∴AB+AC=3a（2）成立，理由如下：过点D作DE⊥AC，交AC的延长线于点E，DF⊥AB于点F，如图2所示：∵点D是BC的中点，∠BAC＝60°，∴BD=∴BD＝CD，∠BAD＝∠CAD＝1/2∠BAC＝30°，∴AD是∠BAC的角平分线，∵DE⊥AC，DF⊥AB，∴DF＝DE，在Rt△ADF和Rt△ADE中，DF=∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），∴AF＝AE，∴AC＝AE﹣CE＝AF﹣CE，在Rt△DBF和Rt△DCE中，BD=∴Rt△DBF≌Rt△DCE（HL），∴BF＝CE，∴AB＝AF+BF＝AF+CE，∴AB+AC＝AF+CE+AF﹣CE＝2AF，在Rt△ADF中，∠BAD＝30°，设DF＝a，∴AD＝2DF＝2a，由勾股定理得：AF=A∴AB+AC＝2AF=23a【点评】此题主要考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，全等三角形的判定与性质，理解圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握全等三角形的判定与性质，勾股定理，含有30°角的直角三角形的性质是解决问题的关键．15．（2025•香洲区模拟）如图，在边长为1的正方形网格图中，建立平面直角坐标系，一圆弧经过点A，B，C，D，其中A，B，C为网格点．（1）请直接写出图中弧ABC所在圆的圆心P的坐标（2，0）；（2）求圆周角∠ADC的度数．【考点】圆周角定理；坐标与图形性质；垂径定理．【专题】与圆有关的计算；推理能力．【答案】（1）（2，0）；（2）45°．【分析】（1）根据网格特征和垂径定理可知AB，AC的垂直平分线的交点即为圆心；（2）根据可得∠ADC=12∠APC，连接PA，【解答】解：（1）AB，AC的垂直平分线的交点即为圆心点P，所以圆心P的坐标为（2，0）；故答案为：（2，0）；（2）由条件可知∠ADC连接PA，PC，AC，∴AP2＝20，PC2＝20，AC2＝40，∴AP2+PC2＝AC2，PC＝AC，∴△APC是等腰直角三角形，∠APC＝90°，∴∠ADC【点评】本题主要考查垂径定理、勾股定理及其逆定理：熟练掌握以上知识点是关键．

考点卡片1．坐标与图形性质1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．2．全等三角形的判定与性质（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．3．勾股定理（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的变形有：a=c2-b2，b（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．4．垂径定理（