2024-2025学年下学期初中数学北师大新版九年级期末必刷常考题之确定圆的条件

第28页（共28页）2024-2025学年下学期初中数学北师大新版九年级期末必刷常考题之确定圆的条件一．选择题（共7小题）1．（2024秋•海港区期末）如图，⊙O中，弦AB的长为23，点C在⊙O上，OC⊥AB，∠ABC＝30°，⊙O所在的平面内有一点P，若OP＝2，则点P与⊙OA．点P在⊙O上 B．点P在⊙O内 C．点P在⊙O外 D．无法确定2．（2024秋•定兴县期末）已知⊙O的半径为9，点A在⊙O内，则OA的长可能为（）A．13 B．11 C．9 D．73．（2025•汕头一模）如图，⊙O是△CDB的外接圆，AB为直径，若∠ABC＝10°，则∠BDC的度数是（）A．90° B．80° C．70° D．60°4．（2024秋•裕安区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x﹣4与x轴，y轴分别交于A，B两点，C，D是半径为2的⊙O上两动点，且CD=22，P为弦CD的中点，Q为线段AB的中点，当C，D两点在圆上运动时，A．2 B．22 C．2 D．15．（2024秋•新市区校级期末）如图，△ABC内接于⊙O，若∠A＝45°，⊙O的半径r＝4，则阴影部分的面积为（）A．4 B．2 C．4π﹣8 D．4π﹣166．（2025•雁塔区校级模拟）如图，△ABC内接于⊙O，点D是弧AB的中点，∠DAB＝25°，则∠C＝（）A．45° B．50° C．55° D．60°7．（2024秋•邯郸期末）⊙O为△ABC的外接圆，AB＝AC，CD为⊙O的直径，若∠ACD＝25°，则∠BDC为（）A．25° B．45° C．50° D．60°二．填空题（共5小题）8．（2024秋•清苑区期末）如图，在平面直角坐标系中，A（0，3）、B（4，3）、C（6，1）．则经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心P的坐标为．9．（2025•建邺区一模）已知等边三角形的边长为6cm，则它的外接圆半径长为cm．10．（2024秋•谯城区期末）如图，在⊙O中，△ABC是⊙O的内接三角形，AB=AC，直径CD⊥AB，垂足为E，连接AD．若DE＝2，则AB的长为11．（2025•定海区模拟）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，若OA∥CB，∠ACB＝22°，则∠CAB＝．12．（2025•山东一模）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，点D是弧BC的中点，已知∠AOB＝100°，∠CAB＝60°，则∠ABD＝度．三．解答题（共3小题）13．（2025•庐阳区校级二模）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，OD⊥AB交半圆AB弧于D，点D与点C分别在直径的两侧，连接CD交AB于E，过点B作CD的平行线交AC延长线于F．（1）求证：CF＝CB；（2）若AC＝4，BC＝2，求CD的长．14．（2025•庆元县一模）如图，三角形ABC内接于⊙O，AB＝AC，连结BO并延长交AC于点E，交⊙O于点D，连结AO，AD，CD．（1）求证：∠ABC＝∠ADB；（2）猜想OA与CD的位置关系，并说明理由；（3）若CD=6，tan15．（2025•张家口一模）如图，AB是半圆O的直径，点C是半圆O上一点（不含端点），连接AC，OC，BC，在OC右侧作∠OCD＝∠OCA，DC＝AC．（1）判断点D与半圆O所在圆的位置关系，并说明理由．（2）连接DB并延长，与过点C的切线交于点E．①求∠E的度数；②若AB＝10，∠CDB＝30°，求BC与线段BD的长度，并比较大小．

2024-2025学年下学期初中数学北师大新版九年级期末必刷常考题之确定圆的条件参考答案与试题解析一．选择题（共7小题）题号1234567答案ADBACBC一．选择题（共7小题）1．（2024秋•海港区期末）如图，⊙O中，弦AB的长为23，点C在⊙O上，OC⊥AB，∠ABC＝30°，⊙O所在的平面内有一点P，若OP＝2，则点P与⊙OA．点P在⊙O上 B．点P在⊙O内 C．点P在⊙O外 D．无法确定【考点】点与圆的位置关系；勾股定理；垂径定理；圆周角定理．【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．【答案】A【分析】由垂径定理可得AD=3，由圆周角定理可得∠AOC＝60°，再结合特殊角的正弦值，求出⊙O【解答】解：如图，设OC与AB的交点为D，∵OC为⊙O的半径，弦AB的长为23，且OC⊥AB∴AD=∵AC=BC，∠ABC＝∴∠AOC＝2∠ABC＝60°，在△ADO中，∠ADO＝90°，∠AOD＝60°，∵sin∠AOD=AD∴OA=ADsin60°=33∵OP＝2，∴点P在⊙O上，故选：A．【点评】本题考查了垂径定理，圆周角定理，点与圆的位置关系，锐角三角函数，掌握圆的相关性质是解题关键．2．（2024秋•定兴县期末）已知⊙O的半径为9，点A在⊙O内，则OA的长可能为（）A．13 B．11 C．9 D．7【考点】点与圆的位置关系．【专题】与圆有关的位置关系；运算能力．【答案】D【分析】由点A在⊙O内，可知点A到该圆圆心的距离小于其半径，即可得解．【解答】解：∵⊙O的半径为9，且点A在⊙O内，∴OA的长小于半径，即OA＜9，故选：D．【点评】本题考查点与圆的位置关系．掌握点到圆心的距离小于圆的半径，则点在圆内；点到圆心的距离等于圆的半径，则点在圆上；点到圆心的距离大于圆的半径，则点在圆外是解题关键．3．（2025•汕头一模）如图，⊙O是△CDB的外接圆，AB为直径，若∠ABC＝10°，则∠BDC的度数是（）A．90° B．80° C．70° D．60°【考点】三角形的外接圆与外心；圆周角定理．【专题】圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力．【答案】B【分析】连接AD，由AB是⊙O的直径，得∠ADB＝90°，而∠ADC＝∠ABC＝10°，所以∠BDC＝∠ADB﹣∠ADC＝80°，于是得到问题的答案．【解答】解：连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ADC＝∠ABC＝10°，∴∠BDC＝∠ADB﹣∠ADC＝90°﹣10°＝80°，故选：B．【点评】此题重点考查同弧所对的圆周角相等、直径所对的圆周角等于90°等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．4．（2024秋•裕安区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x﹣4与x轴，y轴分别交于A，B两点，C，D是半径为2的⊙O上两动点，且CD=22，P为弦CD的中点，Q为线段AB的中点，当C，D两点在圆上运动时，A．2 B．22 C．2 D．1【考点】点与圆的位置关系；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征；三角形三边关系；勾股定理；三角形中位线定理；垂径定理．【专题】一次函数及其应用；等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；与圆有关的计算；运算能力；推理能力．【答案】A【分析】连接OP，利用垂径定理和勾股定理求得OP，则点P在以点O为圆心，2为半径的圆上运动，连接OQ，交小⊙O于点F，则QF为PQ的最小值，OF＝OP=2；利用一次函数的图象与性质求得AB，利用直角三角形的斜边上的中线的性质求得OQ【解答】解：连接OP，如图，∵P为弦CD的中点，∴OP⊥CD，DP＝CP=1∴OP=O∵C，D是半径为2的⊙O上两动点，∴点P在以点O为圆心，2为半径的圆上运动，连接OQ，交小⊙O于点F，则QF为PQ的最小值，OF＝OP=2∵直线y＝﹣x﹣4与x轴，y轴分别交于A，B两点，∴A（﹣4，0），B（0，﹣4），∴OA＝4，OB＝4，∵∠AOB＝90°，∴AB＝42，∵Q为线段AB的中点，∴OQ=1∴QF＝OQ﹣OF=2∴PQ的最小值是2．故选：A．【点评】本题主要考查了圆的有关性质，垂径定理，点的轨迹，直角三角形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，斜边上的中线的性质，一次函数的图象与性质，点的坐标的特征，熟练掌握上述性质是解题的关键．5．（2024秋•新市区校级期末）如图，△ABC内接于⊙O，若∠A＝45°，⊙O的半径r＝4，则阴影部分的面积为（）A．4 B．2 C．4π﹣8 D．4π﹣16【考点】三角形的外接圆与外心；扇形面积的计算．【专题】圆的有关概念及性质；运算能力．【答案】C【分析】根据圆周角定理可得∠BOC＝90°，然后根据阴影部分的面积＝扇形BOC的面积﹣△BOC的面积，进行计算即可解答．【解答】解：∵∠A＝45°，∴∠BOC＝2∠A＝90°，∵⊙O的半径r＝4，∴阴影部分的面积＝扇形BOC的面积﹣△BOC的面积=90π⋅＝4π-12×＝4π﹣8，故选：C．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，扇形面积的计算，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．6．（2025•雁塔区校级模拟）如图，△ABC内接于⊙O，点D是弧AB的中点，∠DAB＝25°，则∠C＝（）A．45° B．50° C．55° D．60°【考点】三角形的外接圆与外心；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．【专题】圆的有关概念及性质；运算能力．【答案】B【分析】根据已知易得：AD=DB，从而可得∠DAB＝∠DBA＝25°，然后利用三角形内角和定理可得∠D＝【解答】解：∵点D是弧AB的中点，∴AD=∴∠DAB＝∠DBA＝25°，∴∠D＝180°﹣∠DAB﹣∠DBA＝130°，∵四边形ACBD是⊙O的内接四边形，∴∠C＝180°﹣∠D＝50°，故选：B．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．7．（2024秋•邯郸期末）⊙O为△ABC的外接圆，AB＝AC，CD为⊙O的直径，若∠ACD＝25°，则∠BDC为（）A．25° B．45° C．50° D．60°【考点】三角形的外接圆与外心；等腰三角形的性质；圆周角定理．【专题】三角形；圆的有关概念及性质．【答案】C【分析】根据直径所对的圆周角为直角，得到∠CAD＝∠CBD＝90°，三角形的内角和求出∠ADC，等弦对等弧，得到AC=AB，进而得到∠ACB＝∠ADC＝65°，进而求出∠BCD＝40°，再根据三角形的内角和定理求出∠【解答】解：∵CD为⊙O的直径，∴∠CAD＝∠CBD＝90°，∵∠ACD＝25°，∴∠ADC＝90°﹣∠ACD＝65°，∵AB＝AC，∴AC=∴∠ACB＝∠ADC＝65°，∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝40°，∴∠BDC＝90°﹣∠BCD＝50°；故选：C．【点评】本题考查圆周角定理，等弦对等弧，掌握以上知识点是解题的关键．二．填空题（共5小题）8．（2024秋•清苑区期末）如图，在平面直角坐标系中，A（0，3）、B（4，3）、C（6，1）．则经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心P的坐标为（2，﹣1）．【考点】三角形的外接圆与外心；坐标与图形性质；垂径定理；点与圆的位置关系．【专题】推理能力．【答案】（2，﹣1）．【分析】AB的垂直平分线所在的直线为x＝2，可知圆心P在直线x＝2上，设P（2，m），根据PA＝PC，可求点P坐标．【解答】解：∵A（0，3）、B（4，3），∴AB的垂直平分线是直线x＝2，∵经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心为点P，∴圆心P在直线x＝2上，设P（2，m），∵PA＝PC，∴4+（m﹣3）2＝16+（m﹣1）2，解得m＝﹣1，∴P（2，﹣1），故答案为：（2，﹣1）．【点评】本题主要考查了三角形的外心，掌握三角形的外心是三边垂直平分线的交点是正确解答此题的关键．9．（2025•建邺区一模）已知等边三角形的边长为6cm，则它的外接圆半径长为23cm．【考点】三角形的外接圆与外心；等边三角形的性质．【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．【答案】23．【分析】连接OB、OC，过点O作OH⊥BC于H，根据圆周角定理得到∠BOC＝120°，根据等腰三角形的性质求出∠BOH、BH，再根据正弦的定义计算即可．【解答】解：如图，连接OB、OC，过点O作OH⊥BC于H，∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝60°，由圆周角定理得：∠BOC＝2∠A＝120°，∵OB＝OC，OH⊥BC，∴∠BOH＝60°，BH＝HC=12BC＝3∴OB=BHsin∠BOH=故答案为：23．【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握等边三角形的性质、圆周角定理是解题的关键．10．（2024秋•谯城区期末）如图，在⊙O中，△ABC是⊙O的内接三角形，AB=AC，直径CD⊥AB，垂足为E，连接AD．若DE＝2，则AB的长为43【考点】三角形的外接圆与外心；特殊角的三角函数值；含30度角的直角三角形；勾股定理；垂径定理；圆周角定理．【专题】等腰三角形与直角三角形；与圆有关的计算；几何直观；推理能力．【答案】43【分析】如图：连接OA，由垂径定理可得∠AEC=90°，AE=12AB，再结合圆周角定理可得AE=12AC，然后运用特殊角三角函数值可得AE=12AC，进而得到∠EAO＝30°，即OE=1【解答】解：如图：连接OA，∵直径CD⊥AB，垂足为E，∴∠AEC∵AB=∴AE=∴sin∠ACE=AEAC∵AO＝OC，∴∠OAC＝∠ACE＝30°，∴∠AOD＝60°，∵∠AEC＝90°，∴∠EAO＝30°，∴OE=∴点E是OD的中点，即OE＝DE＝2，∴OA＝2OE＝4，在直角三角形AOE中，由勾股定理得：AE=∴AB=2故答案为：43【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，含30度角的直角三角形，勾股定理，垂径定理，圆周角定理，特殊角的三角函数值，掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键．11．（2025•定海区模拟）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，若OA∥CB，∠ACB＝22°，则∠CAB＝46°．【考点】三角形的外接圆与外心；圆周角定理．【专题】圆的有关概念及性质；运算能力．【答案】46°．【分析】连接OB，根据圆周角定理得∠AOB＝2∠ACB＝44°，然后根据等腰三角形”等边对等角“性质，结合三角形内角和定理得∠OAB＝∠OBA＝68°，接下来根据平行线的性质得∠OAC＝∠ACB＝22°，最后求出∠CAB＝∠OAB﹣∠OAC的值即可．【解答】解：连接OB，∵∠ACB＝22°，∴∠AOB＝2∠ACB＝2×22°＝44°，∵OA＝OB，∴∠OAB∵OA∥CB，∴∠OAC＝∠ACB＝22°，∴∠CAB＝∠OAB﹣∠OAC＝68°﹣22°＝46°，故答案为：46°．【点评】本题考查了圆周角定理，三角形的外接圆与外心，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．12．（2025•山东一模）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，点D是弧BC的中点，已知∠AOB＝100°，∠CAB＝60°，则∠ABD＝100度．【考点】三角形的外接圆与外心；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．【答案】100．【分析】接OD，易得∠OAB＝∠OBA，根据三角形内角和定理得∠OBA=12（180°﹣∠AOB）＝40°，由点D是弧BC的中点得∠BOD＝60°，所以∠OBD＝60°，然后利用∠ABD＝∠OBA+∠【解答】解：连接OD，如图，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA，∴∠OBA=12（180°﹣∠AOB）=12（180°﹣∵点D是弧BC的中点，∴∠BOD＝∠CAB＝60°，∴∠OBD＝60°，∴∠ABD＝∠OBA+∠OBD＝40°+60°＝100°．故答案为：100．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．三．解答题（共3小题）13．（2025•庐阳区校级二模）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，OD⊥AB交半圆AB弧于D，点D与点C分别在直径的两侧，连接CD交AB于E，过点B作CD的平行线交AC延长线于F．（1）求证：CF＝CB；（2）若AC＝4，BC＝2，求CD的长．【考点】三角形的外接圆与外心；平行线的性质；圆周角定理．【专题】圆的有关概念及性质．【答案】（1）证明见解析；（2）32．【分析】（1）由圆周角定理得到∠BCD=12∠BOD=45°，则由平行线的性质得到∠CBF＝∠BCD＝45°，再证明∠FCB＝90（2）过点C作CH⊥AB于H，由勾股定理得AB=25，解直角三角形得到sin∠ABC=255，cos∠ABC=55，则可求出CH=455，【解答】（1）证明：∵OD⊥AB，∴∠BOD＝90°，∴∠BCD∵BF∥CD，∴∠CBF＝∠BCD＝45°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠FCB＝180°﹣∠ACB＝90°，∴△BCF是等腰直角三角形，∴CF＝CB；（2）解：如图所示，过点C作CH⊥AB于H，在Rt△ABC中，由勾股定理得AB=∴sin∠ABC=AC∵在Rt△HBC中，CH=BC⋅∴OH=∴∠DOE＝∠CHE＝90°，∠DEO＝∠CEH，∴△DEO∽△CEH，∴EHOE∴EH=49OH∴CE=EH2+∴CD＝CE+DE＝32．【点评】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，圆的相关性质，正确作出辅助线是解题的关键．14．（2025•庆元县一模）如图，三角形ABC内接于⊙O，AB＝AC，连结BO并延长交AC于点E，交⊙O于点D，连结AO，AD，CD．（1）求证：∠ABC＝∠ADB；（2）猜想OA与CD的位置关系，并说明理由；（3）若CD=6，tan【考点】三角形的外接圆与外心；解直角三角形；圆周角定理．【专题】圆的有关概念及性质．【答案】（1）见解析；（2）AO∥CD，证明见解析；（3）AE=20【分析】（1）由题意易得∠ABC＝∠ACB，然后根据圆周角的性质可进行求解；（2）延长AO交BC于点F，由题意易得AF⊥BC，则有∠AFB＝90°，然后问题可求证；（3）由（2）易得OF=12CD=3，由tan∠OAB=12可设BF＝x，则AF＝2x【解答】（1）证明：∵AB＝BC，∴∠ABC＝∠ACB，∵∠ADB＝∠ACB，∴∠ABC＝∠ADB；（2）解：平行，如图，延长AO交BC于点F，∵AB＝BC，∴∠ABC＝∠ACB，∴AB=AC，即点A为∵AO是半径，∴AF⊥BC，∴∠AFB＝90°，∵BD是直径，∴∠BCD＝90°，∴AO∥CD；（3）解：由（2）易得OF=∵tan∠∴设BF＝x，则AF＝2x，∴OA＝OB＝2x﹣3，∵BF2+OF2＝OB2，∴x2+32＝（2x﹣3）2，解得：x＝4，∴OA＝5，∴AB=BF2∵AO∥CD，∴△AOE∽△CDE，∴AECE∴AE=【点评】本题主要考查圆周角的性质、勾股定理、相似三角形的性质与判定及三角函数，熟练掌握圆周角的性质、勾股定理、相似三角形的性质与判定及三角函数是解题的关键．15．（2025•张家口一模）如图，AB是半圆O的直径，点C是半圆O上一点（不含端点），连接AC，OC，BC，在OC右侧作∠OCD＝∠OCA，DC＝AC．（1）判断点D与半圆O所在圆的位置关系，并说明理由．（2）连接DB并延长，与过点C的切线交于点E．①求∠E的度数；②若AB＝10，∠CDB＝30°，求BC与线段BD的长度，并比较大小．【考点】点与圆的位置关系；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；勾股定理；三角形中位线定理；垂径定理；圆周角定理．【专题】与圆有关的计算；运算能力．【答案】（1）点D在半圆O所在的圆上，见解析；（2）①∠E＝90°；②BC=【分析】（1）连接OD，证明△OCD≌△OCA，即可得到结论；（2）①证明OC∥DE，根据∠OCE＝90°即可得到答案；②根据弧长公式计算出BC的长度lBC为60π×5180=53π，证明∠BCD＝∠【解答】解：（1）点D在半圆O所在的圆上．理由如下：如图，连接OD．∵DC＝AC，∠OCD＝∠OCA，OC＝OC，∴△OCD≌△OCA（SAS），∴OD＝OA，∴点D在半圆O所在的圆上；（2）①∵点D在半圆O所在的圆上，∴∠CDE＝∠CAB．由条件可知∠CDE＝∠OCD，∴OC∥DE，由条件可知∠OCE＝90°，∴∠E＝90°；②由题意，得∠CAB＝∠CDB＝∠OCA＝∠OCD＝30°，∴∠BOC＝60°，∴BC的长度lBC为60由条件可知∠ACB＝90°，∴BC=ABsin30°=10×12=5，∠BCD∴∠BCD＝∠CDB，∴BC＝BD＝5．∵53∴lBC【点评】本题主要考查了切线的性质、点与圆的位置关系、弧长、全等三角形的判定和锐角三角函数，熟练掌握切线的性质是解题的关键．

考点卡片1．坐标与图形性质1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．2．一次函数的性质一次函数的性质：k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．3．一次函数图象上点的坐标特征一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（-bk，0）；与y轴的交点坐标是（0，直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．4．平行线的性质1、平行线性质定理定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．2、两条平行线之间的距离处处相等．5．三角形三边关系（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．（3）三角形的两边差小于第三边．（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略．6．全等三角形的判定与性质（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．7．角平分线的性质角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE8．等腰三角形的性质（1）等腰三角形的概念有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性质①等腰三角形的两腰相等②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．9．等边三角形的性质（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．10．含30度角的直角三角形（1）含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．11．勾股定理（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的变形有：a=c2-b2，b（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．12．三角形中位线定理（1）三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．（2）几何语言：如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点∴DE∥BC，DE=1213．垂径定理（1）垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）垂径定理的推论推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．14．圆心角、弧、弦的关系（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．（4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分．15．圆周角定理（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等