2024-2025学年下学期初中数学北师大新版九年级期末必刷常考题之弧长及扇形的面积

第23页（共23页）2024-2025学年下学期初中数学北师大新版九年级期末必刷常考题之弧长及扇形的面积一．选择题（共7小题）1．（2025•海勃湾区模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝23，BC＝4，以点D为圆心，DA的长为半径画弧，交BC于点E，交DC的延长线于点F，则图中阴影部分的面积为（）A．4π3-43 B．4π3-23 C．22．（2025•彭水县模拟）如图，在正方形ABCD中，AB＝1，以B为圆心，BA为半径作圆弧，交CB的延长线于点E，连结DE．则图中阴影部分的面积为（）A．π4+12 B．π2 C．3．（2025春•徐闻县期中）折扇最早出现于我国南北朝时期，《南齐书》中说：“司徒褚渊入朝，以腰扇障日．”这里的“腰扇”在《通鉴注》中的解释为折叠扇．如图，一折扇的骨柄长为21cm，折扇张开后为扇形，圆心角∠AOB为120°，则弧AB的长为（）A．7πcm B．14πcm C．21πcm D．42πcm4．（2025春•宝山区校级期中）如图，已知∠ABC＝90°，AB＝πr，AB＝2BC，半径为r的⊙O从点A出发，沿A→B→C方向滚动到点C时停止．则在此运动过程中，⊙O扫过的面积是（）A．32π2 B．3π2 C．52πr25．（2025•韶关模拟）制作弯管时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料．图中弯管（不计厚度）有一段圆弧AB，点O是这段圆弧所在圆的圆心，半径OA＝90cm，圆心角∠AOB＝100°，则这段弯管中AB的长为（）A．50π B．60π C．90π D．100π6．（2025•淄川区一模）如图，在每个小正方形的边长均为1的网格图中，一段圆弧经过格点A，B，C，格点C，D的连线交BC于点E，则EC的长为（）A．134π B．138π C．137．（2025•达州模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O与AB，BC分别交于点D，E，连接AE，DE，若AB＝3，∠BED＝45°，则阴影部分的面积为（）A．9π16 B．3π4 C．3二．填空题（共5小题）8．（2025•金凤区校级一模）“莱洛三角形”（图1）是一种特殊的三角形，它是分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段弧组成的曲边三角形．如图2是小明画出的一个“莱洛三角形”．若该等边△ABC的边长为6，则这个“菜洛三角形”的面积是．（结果保留根号和π）9．（2025•韶关一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝3，将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转得到矩形GBEF，点A恰好落在CD边上的点G处．则图中阴影部分的面积等于．10．（2025•建邺区一模）如图，两条道路的宽分别为10m，8m，夹角∠A＝∠B＝120°．现修建圆弧形道路，其内侧CD与边界相切于点C，D，外侧EF与边界相切于点E，F，两弧的圆心均在直线CE上．CD，EF的长度m，n满足的数量关系为．11．（2025•苏州一模）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，点D是BC的中点，且∠BCD＝25°，连接BC，CD．若AB＝6，则AC的长为．（结果保留π）12．（2025•南昌二模）在△ABC中，AB＝AC，∠A＝45°，BC＝4，以点B为圆心，BC的长为半径画弧，交AC于点D，连接BD，则图中阴影部分的面积为．三．解答题（共3小题）13．（2024秋•灵宝市期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC＝2．（1）若∠ADC＝60°，求扇形OAC（图中阴影部分）的面积；（2）若BE＝1，求弦CD的长．14．（2025•安次区一模）（中华优秀传统文化）瓷板画（图1）是我国非物质文化遗产，可装裱或嵌入到屏风中，作观赏用．图2为其平面示意图，A，C为⊙O上的两点，连接OA、AC，AC∥BD（桌面），AB，CD分别垂直直线l于B，D两点，过点O作OE⊥BD于点E，交AC于点F．已知AB=CD=43cm，AC＝（1）求⊙O半径OA的长；（2）求图2中阴影部分的面积．15．（2025春•杨浦区期中）如图所示，大正方形ABCD的边长为4cm，小正方形ECGF的边长为2cm，扇形BCD、扇形EFG的圆心分别为点C和点F，半径分别为4cm和2cm，点E、点G分别在边BC和CD上，求阴影部分的面积．

2024-2025学年下学期初中数学北师大新版九年级期末必刷常考题之弧长及扇形的面积参考答案与试题解析一．选择题（共7小题）题号1234567答案BDBDAAA一．选择题（共7小题）1．（2025•海勃湾区模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝23，BC＝4，以点D为圆心，DA的长为半径画弧，交BC于点E，交DC的延长线于点F，则图中阴影部分的面积为（）A．4π3-43 B．4π3-23 C．2【考点】扇形面积的计算；矩形的性质．【专题】与圆有关的计算；运算能力；推理能力．【答案】B【分析】连接DE，利用矩形的性质以及勾股定理求出CE的长以及∠CDE的度数，进而利用图中阴影部分的面积＝S扇形DEF﹣S△DEC，求出答案．【解答】解：连接DE，在矩形ABCD中，AB＝23，BC＝4，∴CD＝AB＝23，AD＝BC＝4，∠BCD＝90°，∴DE＝AD＝4，∴CE=DE∴CE=12∴∠EDC＝30°，∴图中阴影部分的面积＝S扇形DEF﹣S△DEC=30π×42=4π3故选：B．【点评】此题主要考查了扇形面积求法以及矩形的性质等知识，正确得出CE的长以及∠CDE的度数是解题关键．2．（2025•彭水县模拟）如图，在正方形ABCD中，AB＝1，以B为圆心，BA为半径作圆弧，交CB的延长线于点E，连结DE．则图中阴影部分的面积为（）A．π4+12 B．π2 C．【考点】扇形面积的计算；正方形的性质．【专题】与圆有关的计算；运算能力．【答案】D【分析】根据S阴影＝S扇形ABE+S正方形ABCD﹣S△DCE，进行计算即可得出答案，不规则图形的面积通常转化为规则图形的面积的和差．【解答】解：在正方形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝1，∴BE＝1，∠ABE＝90°，BC＝CD＝1，∴BE+BC＝CE＝2，∴S阴影＝S扇形ABE+S正方形ABCD﹣S△DCE=90=π故选：D．【点评】本题主要考查了扇形的面积计算方法，掌握其公式是解决此题的关键．3．（2025春•徐闻县期中）折扇最早出现于我国南北朝时期，《南齐书》中说：“司徒褚渊入朝，以腰扇障日．”这里的“腰扇”在《通鉴注》中的解释为折叠扇．如图，一折扇的骨柄长为21cm，折扇张开后为扇形，圆心角∠AOB为120°，则弧AB的长为（）A．7πcm B．14πcm C．21πcm D．42πcm【考点】弧长的计算．【专题】与圆有关的计算；运算能力．【答案】B【分析】直接根据扇形弧长的求解公式，求解即可．【解答】解：∵折扇的骨柄长为21cm，折扇张开的角度为120°，∴弧AB的长=120故选：B．【点评】此题考查了扇形弧长的计算，解题的关键是掌握弧长公式．4．（2025春•宝山区校级期中）如图，已知∠ABC＝90°，AB＝πr，AB＝2BC，半径为r的⊙O从点A出发，沿A→B→C方向滚动到点C时停止．则在此运动过程中，⊙O扫过的面积是（）A．32π2 B．3π2 C．52πr2【考点】扇形面积的计算．【专题】平移、旋转与对称；与圆有关的计算；运算能力．【答案】D【分析】根据圆面积、扇形面积以及矩形面积的计算方法进行计算即可．【解答】解：如图，⊙O扫过的面积S＝S圆O+S矩形ABED+S扇形BEF+S矩形BCGF＝πr2+πr×2r+90π×(2r)＝πr2+2πr2+πr2+πr2＝5πr2；故选：D．【点评】本题考查扇形面积的计算，掌握圆面积、扇形面积以及矩形面积的计算方法是正确解答的关键．5．（2025•韶关模拟）制作弯管时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料．图中弯管（不计厚度）有一段圆弧AB，点O是这段圆弧所在圆的圆心，半径OA＝90cm，圆心角∠AOB＝100°，则这段弯管中AB的长为（）A．50π B．60π C．90π D．100π【考点】弧长的计算．【专题】与圆有关的计算；运算能力．【答案】A【分析】直接利用弧长公式求解即可．【解答】解：有弧长公式可得：这段弯管中AB的长为100π故选：A．【点评】本题考查了弧长公式的应用，解答本题的关键是明确弧长计算公式l=6．（2025•淄川区一模）如图，在每个小正方形的边长均为1的网格图中，一段圆弧经过格点A，B，C，格点C，D的连线交BC于点E，则EC的长为（）A．134π B．138π C．13【考点】弧长的计算；勾股定理的逆定理；圆周角定理．【专题】圆的有关概念及性质；与圆有关的计算；运算能力．【答案】A【分析】连接AE、AC、AD，由∠ABC＝90°，可知AC是直径且值为13，可知∠AEC＝90°，根据勾股定理逆定理可判断出△ACD是等腰直角三角形，求出∠ACE＝∠CAE＝45°，利用弧长公式求解即可．【解答】解：如图所示：连接AE、AC、AD，∵∠ABC＝90°，∴AC是直径，∴∠ABC＝∠AEC＝90°，根据网格图形可知：AC＝AD=13，CD=∴AC2+AD2＝CD2＝26，∴△ACD是等腰直角三角形，∴∠CAD＝90°，∠ACE＝45°，∴∠EAC＝45°，∴EC所对的圆心角是90°，∴EC的长为90π故选：A．【点评】本题考查了勾股定理逆定理、圆周角定理及其推论、弧长的计算公式、利用网格求线段长等知识，准确地作出辅助线构造出直角三角形和正确的计算是解决本题的关键．7．（2025•达州模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O与AB，BC分别交于点D，E，连接AE，DE，若AB＝3，∠BED＝45°，则阴影部分的面积为（）A．9π16 B．3π4 C．3【考点】扇形面积的计算；等腰三角形的性质；圆周角定理．【专题】与圆有关的计算；运算能力．【答案】A【分析】连接OE，OD，证明S△AOD＝S△AED，可得S阴影＝S扇形OAD，求解∠AOD＝90°，再利用扇形的面积公式计算即可．【解答】解：连接OE，OD，由条件可知∠AEC＝90°，BE＝CE，即点E是BC的中点，∵点O是AC的中点，∴OE是△ABC的中位线，∴OE∥AB，∴S△AOD＝S△AED，∴S阴影＝S扇形OAD，∵∠AEC＝90°，∴∠AEB＝90°，∵∠BED＝45°，∴∠AED＝45°，∴∠AOD＝90°，又∵AC＝AB＝3，∴AO=∴S扇形∴S阴影故选：A．【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，圆周角定理的应用，扇形面积的计算．熟练掌握以上知识点是关键．二．填空题（共5小题）8．（2025•金凤区校级一模）“莱洛三角形”（图1）是一种特殊的三角形，它是分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段弧组成的曲边三角形．如图2是小明画出的一个“莱洛三角形”．若该等边△ABC的边长为6，则这个“菜洛三角形”的面积是18π-183【考点】扇形面积的计算；等边三角形的性质．【专题】与圆有关的计算；运算能力．【答案】18π【分析】先根据等边三角形的性质得∠A＝∠B＝∠C＝60°，AB＝BC＝AC＝6，再运用勾股定理算得BH=BA2-AH2=33，S△【解答】解：由条件可知∠A＝∠B＝∠C＝60°，AB＝BC＝AC＝6，过点B作BH⊥AC，如图所示：∴AH=由勾股定理得BH=36-9=3∴S△∴这个“菜洛三角形”的面积是：3S故答案为：18π【点评】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，扇形面积，发现这个“菜洛三角形”的面积是3S扇形BAC﹣2S△BAC是关键．9．（2025•韶关一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝3，将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转得到矩形GBEF，点A恰好落在CD边上的点G处．则图中阴影部分的面积等于9．【考点】扇形面积的计算；旋转的性质；矩形的性质．【专题】与圆有关的计算；运算能力．【答案】9．【分析】旋转得到BG＝AB＝5，勾股定理求出CG的长，利用矩形的面积减去直角三角形的面积求出阴影部分的面积即可．【解答】解：由条件可知BG＝AB＝5，BE＝BC＝3，∠BCG＝90°，在Rt△BCG中，CG=∴S阴影=S故答案为：9．【点评】本题考查旋转的性质，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点是关键．10．（2025•建邺区一模）如图，两条道路的宽分别为10m，8m，夹角∠A＝∠B＝120°．现修建圆弧形道路，其内侧CD与边界相切于点C，D，外侧EF与边界相切于点E，F，两弧的圆心均在直线CE上．CD，EF的长度m，n满足的数量关系为n＝m+6π．【考点】弧长的计算．【专题】与圆有关的计算；运算能力．【答案】n＝m+6π．【分析】根据题意表示两条弧所对应的半径，圆心角，然后利用弧长公式计算即可．【解答】解：设内侧弧CD所在圆的半径为rm，∵两条道路的宽分别为10m，8m，∴外侧弧EF所在圆的半径为r+10+8＝（r+18）m，∵∠A＝∠B＝120°，∴两弧所对的圆心角n＝180°﹣120°＝60°，∴内侧弧CD的长度m=60πr180外侧弧EF的长度n=60π(r+18)∴n＝m+6π．故答案为：n＝m+6π．【点评】本题考查了弧长的计算，熟练掌握计算公式是解题的关键．11．（2025•苏州一模）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，点D是BC的中点，且∠BCD＝25°，连接BC，CD．若AB＝6，则AC的长为43π．（结果保留π【考点】弧长的计算；圆周角定理．【专题】圆的有关概念及性质；与圆有关的计算；运算能力．【答案】43π【分析】连接OC，OD，根据圆周角定理得∠BOD＝2∠BCD＝50°，所以∠BOC＝2∠BOD＝100°，即可得∠AOC＝80°，再根据弧长公式计算即可．【解答】解：连接OC，OD，∵∠BCD＝25°，∴∠BOD＝2∠BCD＝50°，∵点D是BC的中点，∴∠BOC＝2∠BOD＝100°，∴∠AOC＝80°，∴AC的长为80π×故答案为：43π【点评】本题考查了弧长的计算和圆周角定理，熟练掌握圆周角定理和弧长公式是解题的关键．12．（2025•南昌二模）在△ABC中，AB＝AC，∠A＝45°，BC＝4，以点B为圆心，BC的长为半径画弧，交AC于点D，连接BD，则图中阴影部分的面积为2π-4【考点】扇形面积的计算；等腰三角形的性质．【专题】运算能力．【答案】2π【分析】过点D作DM⊥BC于点M，先根据等腰三角形的性质求出∠DBC的度数，再用扇形BDC的面积减去三角形BDC的面积即可解决问题．【解答】解：过点D作DM⊥BC于点M，∵AB＝AC，∠A＝45°，∴∠ABC＝∠BCD＝67.5°．又∵BC＝BD，∴∠BDC＝∠BCD＝67.5°，∴∠CBD＝45°．∵DM⊥BC，BD＝BC＝4，∴DM=2∴S△又∵S扇形∴阴影部分的面积为2π故答案为：2π【点评】本题主要考查了扇形面积的计算及等腰三角形的性质，熟知扇形的面积公式及等腰三角形的性质是解题的关键．三．解答题（共3小题）13．（2024秋•灵宝市期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC＝2．（1）若∠ADC＝60°，求扇形OAC（图中阴影部分）的面积；（2）若BE＝1，求弦CD的长．【考点】扇形面积的计算；勾股定理；垂径定理；圆周角定理．【专题】与圆有关的计算；运算能力．【答案】（1）43（2）23【分析】（1）先根据圆周角定理求出∠AOC的度数，再根据扇形面积公式求解即可；（2）根据勾股定理和垂径定理求解即可．【解答】解：（1）∵∠ADC＝60°，∴∠AOC＝2∠ADC＝2×60°＝120°，∴S扇形（2）OB＝OC＝2，BE＝1，∴OE＝OB﹣BE＝2﹣1＝1，又∵AB⊥CD，在Rt△OCE中，利用勾股定理，可得CE=∴CD=2【点评】本题考查了圆的综合，熟练运用圆周角定理，勾股定理和垂径定理是解题的关键．14．（2025•安次区一模）（中华优秀传统文化）瓷板画（图1）是我国非物质文化遗产，可装裱或嵌入到屏风中，作观赏用．图2为其平面示意图，A，C为⊙O上的两点，连接OA、AC，AC∥BD（桌面），AB，CD分别垂直直线l于B，D两点，过点O作OE⊥BD于点E，交AC于点F．已知AB=CD=43cm，AC＝（1）求⊙O半径OA的长；（2）求图2中阴影部分的面积．【考点】扇形面积的计算；勾股定理；垂径定理．【专题】与圆有关的计算；推理能力．【答案】（1）30；（2）(3453【分析】（1）先根据AC∥l，OE⊥l，可得OF⊥AC，AB=EF=CD=43cm（2）根据S阴＝S四边形ABDC+S△AOC﹣S扇形AOC，即可求解．【解答】解：（1）由条件可知OF⊥AC，∵AC＝30cm，∴AF=∵OE=193，由题意得∴OF=在Rt△OAF中，由勾股定理可得：OA=即⊙O的半径OA的长为30cm．（2）连接OC，S四边形S△由条件可知△OAC为等边三角形，∠AOC＝60°，S扇形OAC=60S阴【点评】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，平行线间的距离，熟练掌握以上知识点是关键．15．（2025春•杨浦区期中）如图所示，大正方形ABCD的边长为4cm，小正方形ECGF的边长为2cm，扇形BCD、扇形EFG的圆心分别为点C和点F，半径分别为4cm和2cm，点E、点G分别在边BC和CD上，求阴影部分的面积．【考点】扇形面积的计算；正方形的性质．【专题】运算能力．【答案】（5π﹣4）cm2．【分析】先求出小正方形的面积，进一步得出右下角空白部分的面积，最后用大扇形的面积减去空白部分的面积即可解决问题．【解答】解：由题知，小正方形EFGC的面积为：22＝4（cm2）．又因为S扇形FEG=90⋅所以右下角空白部分的面积为（4﹣π）cm2．又因为S扇形CDB=90⋅所以阴影部分的面积为：4π﹣（4﹣π）＝5π﹣4（cm2）．【点评】本题主要考查了扇形面积的计算及正方形的性质，熟知扇形的面积公式及正方形的性质是解题的关键．

考点卡片1．等腰三角形的性质（1）等腰三角形的概念有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性质①等腰三角形的两腰相等②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．2．等边三角形的性质（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．3．勾股定理（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的变形有：a=c2-b2，b（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．4．勾股定理的逆定理（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．说明：①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．5．矩形的性质（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．（2）矩形的性质①平行四边形的性质矩形都具有；②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等；⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．6．正方形的性质（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．（2）正方形的性质①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．7．垂径定理（1）垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）垂径定理的推论推论1：平分弦