2024-2025学年下学期初中数学人教新版九年级期末必刷常考题之相似

第22页（共22页）2024-2025学年下学期初中数学人教新版九年级期末必刷常考题之相似一．选择题（共8小题）1．（2025•海伦市模拟）如图，△ABC与△A′B′C′位似，位似中心为O．△ABC与△A′B′C′的面积之比为9：1，若OA′＝4，则OA的长度为（）A．6 B．12 C．18 D．202．（2024秋•海港区期末）如图，在△ABC中，CE⊥AB边交AB的延长线于E点，BD⊥AC边于D点，下列结论不一定成立的是（）A．AB×CE＝AC×BD B．∠ABD＝∠ACB+∠BCE C．AD+DC＞AB+BE D．∠ABC﹣∠CBE＝90°3．（2025春•大足区期中）如图，△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OD＝3：2，则△ABC与△DEF的周长比是（）A．2：1 B．3：2 C．9：4 D．4：14．（2025•汕头一模）已知xyA．5x＝3y B．3x＝5 C．5y=3x5．（2025•高州市模拟）一个油画架如图所示，已知AB∥CD∥EF，OC＝100cm，CE＝20cm，CD＝30cm，则EF＝（）A．30cm B．35cm C．36cm D．40cm6．（2025•濠江区一模）如图，四边形ABCD为平行四边形，CE：EF：FD＝1：2：1，AE，BF相交于点G．设△EFG和△ABG的面积分别为S△EFG，S△ABG，则S△EFG：S△ABG＝（）A．1：2 B．1：3 C．4：9 D．1：47．（2025•新兴县一模）如图，在▱ABCD中，BE是∠ABC的平分线，延长BE交CD的延长线于点F．若DF＝6，AB＝12，则BC的长为（）A．12 B．15 C．18 D．218．（2025•西山区校级模拟）如图，为测量学校旗杆高度，小明同学在地面水平放置一平面镜，他站在能刚好从镜子中看到旗杆的顶端的地方．已知小明的眼睛离地面高度为1.5m，量得小明与镜子的水平距离为2m，小明与旗杆的水平距离为14m，则旗杆高度为（）A．7.5m B．8m C．9m D．10.5m二．填空题（共4小题）9．（2025•宝应县二模）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E为OC的中点，EF∥AB交BC于点F．若AB＝6，则EF的长为．10．（2025•台江区校级模拟）如图所示是凸透镜成像的原理示意图，且AD∥l∥BC，光屏上显示的缩小的实像高8cm．若物体AH到焦点F1的距离与焦点F1到凸透镜中心线DB的距离OF1之比为5：4，则物体的高为．11．（2025•深圳二模）如图，△ABC和△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，点A在线段OA′上，若OA：AA′＝1：2，则△ABC与△A′B′C′的周长之比为．12．（2025•南山区校级一模）数学家定义：若点C把线段AB分成两部分，满足BCAC=22(AC＞BC)，则点C为线段AB的白银分割点．已知点C是线段AB的白银分割点（AC＞BC），且BC＝4三．解答题（共3小题）13．（2024秋•埇桥区期末）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中：（1）将△ABC先向右平移4个单位，再向上平移1个单位，得到△A1B1C1；（2）以图中的O为位似中心，将△A1B1C1作位似变换且放大到原来的两倍，得到△A2B2C2．14．（2025•合肥校级二模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1）、B（4，2）、C（3，5）．（1）以O为位似中心，在第三象限内画出△ABC的位似图形△A1B1C1，且位似比为1；（2）借助网格，利用无刻度直尺在图中找一格点E，使得S△ABC＝S△ABE，并写出E点坐标．15．（2025•罗湖区校级模拟）如图，O为线段PB上一点，以点O为圆心，OB长为半径的⊙O交PB于点A，点C在⊙O上，连接PC，满足PC2＝PA•PB．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若AB＝2PA，求ACBC

2024-2025学年下学期初中数学人教新版九年级期末必刷常考题之相似参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）题号12345678答案BDBBCDCD一．选择题（共8小题）1．（2025•海伦市模拟）如图，△ABC与△A′B′C′位似，位似中心为O．△ABC与△A′B′C′的面积之比为9：1，若OA′＝4，则OA的长度为（）A．6 B．12 C．18 D．20【考点】位似变换；相似三角形的性质．【专题】三角形；图形的相似．【答案】B【分析】根据位似变换的概念得到△ABC∽△A′B′C′，A′B′∥AB，得到△ABO∽△A′B′O，根据相似三角形的性质得到OAOA【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′位似，∴△ABC∽△A′B′C′，A′B′∥AB，∴△ABO∽△A′B′O，∴OAOA∵△ABC与△A′B′C′的面积之比为9：1，∴ABA∴OAOA∵OA′＝4，∴OA＝12，故选：B．【点评】本题考查的是位似变换、相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．2．（2024秋•海港区期末）如图，在△ABC中，CE⊥AB边交AB的延长线于E点，BD⊥AC边于D点，下列结论不一定成立的是（）A．AB×CE＝AC×BD B．∠ABD＝∠ACB+∠BCE C．AD+DC＞AB+BE D．∠ABC﹣∠CBE＝90°【考点】相似三角形的判定与性质；三角形三边关系．【专题】三角形；图形的相似；推理能力．【答案】D【分析】由题意易证△ABD∽△ACE，根据相似三角形的性质即可判断A，B，由外角的性质可判断D，由三角形三边的关系可判断C．【解答】解：∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠ADB＝∠AEC＝90°，∵∠A＝∠A，∴△ABD∽△ACE，∴AC：AB＝BD：CE，∠ABD＝∠ACE，∴AC×BE＝AB×CD，故A正确；∴∠ABD＝∠ABE＝∠ABC+∠BCE，故B正确；∵∠ABC＝∠BCE+∠E＝90°+∠BCE，∴∠ACB﹣∠BCE＝90°，∵∠BCE≠∠CBE，故D错误；∵AD+DC＝AC＞AC+BC，BC＞CE，∴AB＞AC+CE，即AD+DB＝AB＞AB+BE＝AE，故C正确；故选：D．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，三角形外角的性质，三角形三边的关系，熟练掌握以上知识是解题关键．3．（2025春•大足区期中）如图，△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OD＝3：2，则△ABC与△DEF的周长比是（）A．2：1 B．3：2 C．9：4 D．4：1【考点】位似变换．【专题】图形的相似；运算能力．【答案】B【分析】先根据位似的性质得到△ABC与△DEF的位似比为OA：OD＝3：2，然后利用相似三角形的性质即可求出答案．【解答】解：∵△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，∴△ABC∽△DEF，∵OA：OD＝3：2，∴DFAC∴△ABC与△DEF的周长比是3：2，故选：B．【点评】本题考查了位似变换，熟知位似图形一定是相似图形是解题的关键．4．（2025•汕头一模）已知xyA．5x＝3y B．3x＝5 C．5y=3x【考点】比例的性质．【专题】计算题；运算能力．【答案】B【分析】根据比例的性质分别判断即可．【解答】解：∵xy∴5x＝3y，或者5y=3x，或者yx=53，得不到3x＝5，故故选：B．【点评】本题考查了比例的性质，熟练根据比例的性质进行变形是解题的关键．5．（2025•高州市模拟）一个油画架如图所示，已知AB∥CD∥EF，OC＝100cm，CE＝20cm，CD＝30cm，则EF＝（）A．30cm B．35cm C．36cm D．40cm【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】图形的相似；推理能力．【答案】C【分析】证明△COD∽△EOF，根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算即可．【解答】解：∵CD∥EF，∴△COD∽△EOF，∴OCOE=CD解得：EF＝36，故选：C．【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，熟记相似三角形的判定定理是解题的关键．6．（2025•濠江区一模）如图，四边形ABCD为平行四边形，CE：EF：FD＝1：2：1，AE，BF相交于点G．设△EFG和△ABG的面积分别为S△EFG，S△ABG，则S△EFG：S△ABG＝（）A．1：2 B．1：3 C．4：9 D．1：4【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【专题】图形的相似；推理能力．【答案】D【分析】设CE＝x，EF＝2x，FD＝x，则CD＝4x，先根据平行四边形的性质得到AB＝CD＝4x，AB∥CD，再证明△EFG∽△ABG，然后利用相似三角形的性质得到得到S△【解答】解：∵CE：EF：FD＝1：2：1，∴设CE＝x，EF＝2x，FD＝x，∴CD＝4x，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝CD＝4x，AB∥CD，∵EF∥AB，∴△EFG∽△ABG，∴S△EFGS△ABG=（EFAB）故选：D．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；灵活运用相似三角形的性质是解决问题的关键．也考查了平行四边形的性质．7．（2025•新兴县一模）如图，在▱ABCD中，BE是∠ABC的平分线，延长BE交CD的延长线于点F．若DF＝6，AB＝12，则BC的长为（）A．12 B．15 C．18 D．21【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【专题】图形的相似；推理能力．【答案】C【分析】先根据平行四边形的性质得到CD∥AB，AD∥BC，则∠AEB＝∠ABE，再证明∠ABE＝∠AEB得到AE＝AB＝12，接着证明△DEF∽△AEB，利用相似比求出DE＝6，然后计算出AD的长，从而得到BC的长．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴CD∥AB，AD∥BC，∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠ABE，∵BE是∠ABC的平分线，∴∠ABE＝∠CBE，∴∠ABE＝∠AEB，∴AE＝AB＝12，∵DF∥AB，∴△DEF∽△AEB，∴DE：AE＝DF：AB，即DE：12＝6：12，解得DE＝6，∴AD＝AE+DE＝12+6＝18，∴BC＝18．故选：C．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；灵活运用相似三角形的性质计算相应线段的长或表示线段之间的关系是解决问题的关键．也考查了平行四边形的性质．8．（2025•西山区校级模拟）如图，为测量学校旗杆高度，小明同学在地面水平放置一平面镜，他站在能刚好从镜子中看到旗杆的顶端的地方．已知小明的眼睛离地面高度为1.5m，量得小明与镜子的水平距离为2m，小明与旗杆的水平距离为14m，则旗杆高度为（）A．7.5m B．8m C．9m D．10.5m【考点】相似三角形的应用．【专题】图形的相似；应用意识．【答案】D【分析】根据镜面反射性质，可求出∠ACB＝∠ECD，再利用垂直求∠ABC＝∠EDC＝90°，得出△ACB∽△ECD，最后根据三角形相似的性质，即可求出答案．【解答】解：如图，由题意得，AB＝1.5m，BC＝2m，CD＝14m，根据镜面反射可知：∠ACB＝∠ECD，∵AB⊥BD，DE⊥BD，∴∠ABC＝∠EDC＝90°，∴△ACB∽△ECD，∴ABED=CB∴ED＝10.5，答：旗杆高度为10.5米，故选：D．【点评】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键在于熟练掌握镜面反射的基本性质和相似三角形的性质．二．填空题（共4小题）9．（2025•宝应县二模）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E为OC的中点，EF∥AB交BC于点F．若AB＝6，则EF的长为32【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【专题】多边形与平行四边形；图形的相似；推理能力．【答案】32【分析】结合平行四边形的性质以及点E为OC的中点求出CE=14AC，再证明△CEF∽△【解答】解：∵平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∴OA＝OC，∵点E为OC的中点，∴CE=12OC=∵EF∥AB，∴∠CEF＝∠CAB，∠CFE＝∠CBA，∴△CEF∽△CAB，∴EFAB∴EF=14AB=1即EF的长为32故答案为：32【点评】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．10．（2025•台江区校级模拟）如图所示是凸透镜成像的原理示意图，且AD∥l∥BC，光屏上显示的缩小的实像高8cm．若物体AH到焦点F1的距离与焦点F1到凸透镜中心线DB的距离OF1之比为5：4，则物体的高为10cm．【考点】相似三角形的应用．【专题】图形的相似；运算能力．【答案】10cm．【分析】如图，证明△AHF1∽△BOF1，则利用相似三角形的性质得到AHBO=HF1OF1，然后利用【解答】解：由题意可得：AH∥BO，∴△AHF1∽△BOF1，∴AHBO由题意可得，CG＝OB＝8cm，∴AH=故答案为：10cm．【点评】本题考查了相似三角形的应用，正确进行计算是解题关键．11．（2025•深圳二模）如图，△ABC和△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，点A在线段OA′上，若OA：AA′＝1：2，则△ABC与△A′B′C′的周长之比为1：3．【考点】位似变换．【专题】图形的相似；推理能力．【答案】1：3．【分析】根据位似图形的概念得到△ABC∽△A′B′C′，AB∥A′B′，得到△AOB∽△A′OB′，根据相似三角形的性质求出ABA【解答】解：∵OA：AA′＝1：2，∴OA：OA′＝1：3，∵△ABC和△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，∴△ABC∽△A′B′C′，AB∥A′B′，∴△AOB∽△A′OB′，∴ABA∴△ABC与△A′B′C′的周长之比为1：3，故答案为：1：3．【点评】本题考查的是位似变换，掌握位似图形的概念、相似三角形的性质是解题的关键．12．（2025•南山区校级一模）数学家定义：若点C把线段AB分成两部分，满足BCAC=22(AC＞BC)，则点C为线段AB的白银分割点．已知点C是线段AB的白银分割点（AC＞BC），且BC＝4【考点】比例线段．【专题】线段、角、相交线与平行线．【答案】42【分析】根据白银分割点的定义得到BCAC=2【解答】解：∵点C是线段AB的白银分割点（AC＞BC），∴BCAC∵BC＝4，∴AC=4故答案为：42【点评】本题考查了成比例线段，理解白银分割点的定义是解题关键．三．解答题（共3小题）13．（2024秋•埇桥区期末）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中：（1）将△ABC先向右平移4个单位，再向上平移1个单位，得到△A1B1C1；（2）以图中的O为位似中心，将△A1B1C1作位似变换且放大到原来的两倍，得到△A2B2C2．【考点】作图﹣位似变换；作图﹣平移变换．【专题】作图题．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【分析】（1）把A、B、C三点先向右平移4个单位，再向上平移1个单位得到A1，B1，C1，顺次连接得到的各点即可；（2）延长OA1到A2，使OA2＝2OA1，同法得到其余各点，顺次连接即可．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；（2）如图，△A2B2C2即为所求；【点评】此题考查了作图﹣位似变换与平移变换，熟练掌握以上知识是解题的关键．14．（2025•合肥校级二模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1）、B（4，2）、C（3，5）．（1）以O为位似中心，在第三象限内画出△ABC的位似图形△A1B1C1，且位似比为1；（2）借助网格，利用无刻度直尺在图中找一格点E，使得S△ABC＝S△ABE，并写出E点坐标．【考点】作图﹣位似变换．【专题】作图题；图形的相似；几何直观．【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析，E（0，4）．【分析】（1）根据位似的性质，得到A1，B1，C1的位置，作图即可；（2）利用平移思想，作CE∥AB即可．【解答】解：（1）以O为位似中心，在第三象限内画出△ABC的位似图形△A1B1C1，如图1即为所求；（2）如图2，点E即为所求（答案不唯一）．由图可知：E（0，4）．【点评】本题考查作图﹣位似变换，熟练掌握位似的性质，平移的性质是解题的关键．15．（2025•罗湖区校级模拟）如图，O为线段PB上一点，以点O为圆心，OB长为半径的⊙O交PB于点A，点C在⊙O上，连接PC，满足PC2＝PA•PB．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若AB＝2PA，求ACBC【考点】相似三角形的判定与性质；圆周角定理；点与圆的位置关系；切线的判定与性质．【专题】与圆有关的位置关系；图形的相似；推理能力．【答案】见试题解答内容【分析】（1）由PC2＝PA•PB得PAPC=PCPB，可证得△PAC∽△PCB，根据相似三角形的性质得∠PCA＝∠B，根据圆周角定理得∠ACB＝90°，则∠CAB+∠B＝90°，由OA＝OC得∠CAB＝∠OCA，等量代换可得∠PCA+∠OCA＝90°，即（2）由AB＝2PA可得PB＝3PA，OA＝OC＝PA，根据勾股定理求出PC=3PA，根据相似三角形的性质即可得出AC【解答】（1）证明：连接OC，∵PC2＝PA•PB，∴PAPC∵∠P＝∠P，∴△PAC∽△PCB，∴∠PCA＝∠B，∵∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠B＝90°，∵OA＝OC，∴∠CAB＝∠OCA，∴∠PCA+∠OCA＝90°，∴OC⊥PC，∴PC是⊙O的切线；（2）解：∵AB＝2PA，∴PB＝3PA，OA＝OC＝PA，PO＝2PA，∵OC⊥PC，OC是圆的半径，∴PC=PO∵△PAC∽△PCB，∴ACBC【点评】本题考查三角形相似的判定与性质，考查切线的判定，圆周角定理，解题的关键是熟练掌握圆周角定理及相似三角形的判定等知识点的综合运用．

考点卡片1．三角形三边关系（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．（3）三角形的两边差小于第三边．（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略．2．平行四边形的性质（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．（2）平行四边形的性质：①边：平行四边形的对边相等．②角：平行四边形的对角相等．③对角线：平行四边形的对角线互相平分．（3）平行线间的距离处处相等．（4）平行四边形的面积：①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．3．圆周角定理（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．4．点与圆的位置关系（1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：①点P在圆外⇔d＞r②点P在圆上⇔d＝r①点P在圆内⇔d＜r（2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．（3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端．5．切线的判定与性质（1）切线的性质①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．（2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．（3）常见的辅助线的：①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．6．作图-平移变换（1）确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．（2）作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．7．比例的性质（1）比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项．（2）常用的性质有：①内项之积等于外项之积．若ab=cd，则②合比性质．若ab=c③分比性质．若ab=c④合分比性质．若ab=c⑤等比性质．若ab=cd=⋯=mn（b+d+…8．比例线段（1）对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如ab＝cd（即ad＝bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．（2）判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系．9．相似三角形的性质相似三角形的定义：如果两个三角形的对应边的比相等，对应角相等，那么这两个三角形相似．（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．（2）相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比．（3）相似三角形的面积的比等于相似比的平方．由三角形的面积公式和相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方．10．相似三角形的判定与性质（1）相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边