2024-2025学年下学期初中数学人教新版八年级期末必刷常考题之二次根式

第16页（共16页）2024-2025学年下学期初中数学人教新版八年级期末必刷常考题之二次根式一．选择题（共7小题）1．（2025•海伦市模拟）要使式子2x+6xA．x＞﹣3 B．x≥﹣3 C．x＞﹣3且x≠1 D．x≥﹣3且x≠12．（2025•奉贤区三模）下列与2aA．2 B．2a2 C．2a33．（2025•北京校级二模）下列算式中正确的有（）（1）9=±3；（2）±9=3；（3）3(-3)3A．0个 B．1个 C．2个 D．3个4．（2024秋•薛城区期末）下列运算正确的是（）A．2×6=12 BC．(-3)25．（2024秋•埇桥区期末）下列计算正确的是（）A．3+3=6 B．22-2=6．（2025春•和县期中）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简(aA．0 B．﹣2a C．﹣2b D．2a﹣2b7．（2025春•和县期中）已知实数x，y满足y=x-2+2-xA．﹣1 B．1 C．﹣2025 D．2025二．填空题（共5小题）8．（2025春•江津区期中）若最简二次根式3a+1和4a-3可以合并，则a＝9．（2024秋•临澧县期末）化简二次根式(-3)2的结果等于10．（2025•红桥区二模）计算(17+4)(17-4)的结果等于11．（2025春•福州期中）若13的整数部分为a，小数部分为b，则2a2+b-13的值为12．（2024秋•象州县期末）计算(48+3)÷3=三．解答题（共3小题）13．（2024秋•广平县期末）计算：（1）12÷（2）(314．（2024秋•醴陵市期末）阅读下列分母有理化的过程：（Ⅰ）15（Ⅱ）16请完成下列问题：（1）仿照上述解题过程计算：116+15=（2）观察上面解题过程，请直接写出1n+1+n的结果为（3）通过完成问题（1）（2），你得到的结论是：；（4）试利用上面所提供的思路，解方程：2x15．（2025春•蜀山区期中）在学习二次根式后，数学兴趣小组探究发现，一些含有根号的特殊式子可以化成另一个式子的平方，例如：5+26=(2+3)+22×3【类比】（1）仿照上述方法将7+26【拓展】（2）运用上述方法化简：9-【变式】（3）若a+215=(m+n)2，且

2024-2025学年下学期初中数学人教新版八年级期末必刷常考题之二次根式参考答案与试题解析一．选择题（共7小题）题号1234567答案DCBDBCA一．选择题（共7小题）1．（2025•海伦市模拟）要使式子2x+6xA．x＞﹣3 B．x≥﹣3 C．x＞﹣3且x≠1 D．x≥﹣3且x≠1【考点】二次根式有意义的条件；分式有意义的条件．【专题】分式；二次根式；运算能力．【答案】D【分析】根据分母不为零的条件和二次根式被开方数不小于零的条件进行解题即可．【解答】解：要使式子2x则：2x+6≥0且x﹣1≠0，解得：x≥﹣3且x≠1．故选：D．【点评】本题考查二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件，解题的关键是掌握：分式有意义，则分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．2．（2025•奉贤区三模）下列与2aA．2 B．2a2 C．2a3【考点】同类二次根式；二次根式的性质与化简．【专题】二次根式；运算能力．【答案】C【分析】利用二次根式的性质进行化简，根据同类二次根式的定义逐项判断即可．【解答】解：A、2与2a不是同类二次根式，故AB、2a2=|a|2，与2C、2a3=a2D、a与2a不是同类二次根式，故D故选：C．【点评】本题考查了同类二次根式，二次根式的性质与化简，熟练掌握相关定义是解题的关键．3．（2025•北京校级二模）下列算式中正确的有（）（1）9=±3；（2）±9=3；（3）3(-3)3A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【考点】二次根式的性质与化简；平方根；立方根．【专题】二次根式；运算能力．【答案】B【分析】根据立方根与平方根定义和二次根式的性质，计算各个算式，然后判断即可．【解答】解：∵（1）9=3∴计算正确的是：（3），共1个，故选：B．【点评】本题主要考查了二次根式的性质与化简，解题关键是熟练掌握立方根与平方根定义和二次根式的性质．4．（2024秋•薛城区期末）下列运算正确的是（）A．2×6=12 BC．(-3)2【考点】二次根式的乘除法；二次根式的性质与化简．【专题】二次根式；运算能力．【答案】D【分析】直接利用二次根式的乘法或除法运算法则依次计算进行判断即可．【解答】解：直接利用二次根式的乘法或除法运算法则依次计算进行判断如下：A、2×B、82C、-3D、12÷故选：D．【点评】本题考查了二次根式的乘法或除法运算法则，解题的关键是掌握相关的运算法则．5．（2024秋•埇桥区期末）下列计算正确的是（）A．3+3=6 B．22-2=【考点】二次根式的混合运算．【专题】二次根式；运算能力．【答案】B【分析】利用二次根式的加减法的法则，二次根式的乘法与除法的法则对各项进行运算即可．【解答】解：A、3+3=2B、22-2C、4÷2=D、6×3=3故选：B．【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．6．（2025春•和县期中）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简(aA．0 B．﹣2a C．﹣2b D．2a﹣2b【考点】二次根式的性质与化简；实数与数轴．【专题】实数；二次根式；运算能力．【答案】C【分析】由数轴得a＜﹣1，0＜b＜1，进一步得出a+b＜0，a﹣b＜0，再根据二次根式的性质化简即可．【解答】解：由数轴得a＜﹣1，0＜b＜1，∴a+b＜0，a﹣b＜0，∴(＝|a+b|﹣|a﹣b|＝﹣a﹣b﹣（b﹣a）＝﹣a﹣b﹣b+a＝﹣2b，故选：C．【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，实数与数轴，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．7．（2025春•和县期中）已知实数x，y满足y=x-2+2-xA．﹣1 B．1 C．﹣2025 D．2025【考点】二次根式有意义的条件；实数的运算．【专题】实数；二次根式；运算能力．【答案】A【分析】根据二次根式的被开方数不小于零的条件求出x与y的值，再代入进行求值即可．【解答】解：由题可知，x-解得x＝2，把x＝2代入y=解得y＝﹣3．则（x+y）2025＝（﹣1）2025＝﹣1．故选：A．【点评】本题考查二次根式有意义的条件、实数的运算，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．二．填空题（共5小题）8．（2025春•江津区期中）若最简二次根式3a+1和4a-3可以合并，则a＝【考点】同类二次根式；最简二次根式．【专题】二次根式；运算能力．【答案】4．【分析】根据两个最简二次根式能合并，得到两式为同类二次根式，确定出a的值即可．【解答】解：∵最简二次根式3a+1与∴3a+1＝4a﹣3，解得：a＝4，故答案为：4【点评】此题考查了同类二次根式，熟练掌握同类二次根式定义是解本题的关键．9．（2024秋•临澧县期末）化简二次根式(-3)2的结果等于3【考点】二次根式的性质与化简．【答案】见试题解答内容【分析】根据二次根式的性质：a2=|a【解答】解：(-3)2=|﹣【点评】此题主要考查二次根式的性质：a2=|a10．（2025•红桥区二模）计算(17+4)(17-4)的结果等于【考点】二次根式的混合运算；平方差公式．【专题】二次根式；运算能力．【答案】1．【分析】利用平方差公式计算即可求解．【解答】解：利用平方差公式计算可得：(17故答案为：1．【点评】本题考查了二次根式的混合运算，掌握平方差公式的运用是解题的关键．11．（2025春•福州期中）若13的整数部分为a，小数部分为b，则2a2+b-13的值为【考点】二次根式的化简求值；估算无理数的大小．【专题】二次根式；运算能力．【答案】15．【分析】求出a、b的值，代入计算即可．【解答】解：∵9＜∴3＜∴13的整数部分为：a＝3，小数部分为：b=∴2a故答案为：15．【点评】本题考查了估计无理数的大小，代数式求值等知识点的应用，解题的关键是求出无理数的取值范围．12．（2024秋•象州县期末）计算(48+3)÷3=【考点】二次根式的混合运算．【专题】二次根式；运算能力．【答案】5．【分析】先根据二次根式性质化简再进行计算即可．【解答】解：原式＝（43+3＝53＝5，故答案为：5．【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键．三．解答题（共3小题）13．（2024秋•广平县期末）计算：（1）12÷（2）(3【考点】二次根式的混合运算；完全平方公式；平方差公式．【专题】二次根式；运算能力．【答案】（1）1；（2）42【分析】（1）运用二次根式的混合运算法则计算即可；（2）运用乘法公式，二次根式的混合法则计算即可．【解答】解：（1）原式==4＝2+4﹣5＝1；（2）原式==3-=1-=42【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，平方差公式及完全平方公式，掌握其运算法则是解题的关键．14．（2024秋•醴陵市期末）阅读下列分母有理化的过程：（Ⅰ）15（Ⅱ）16请完成下列问题：（1）仿照上述解题过程计算：116+15=（2）观察上面解题过程，请直接写出1n+1+n的结果为（3）通过完成问题（1）（2），你得到的结论是：可以利用平方差公式进行分母有理化（答案不唯一）；（4）试利用上面所提供的思路，解方程：2x【考点】分母有理化；二次根式的混合运算；解一元一次方程；平方差公式．【专题】二次根式；运算能力．【答案】（1）4-15，（2）n+1（3）可以利用平方差公式进行分母有理化（答案不唯一）；（4）x=【分析】（1）根据平方差公式，进行分母有理化即可；（2）根据平方差公式，进行分母有理化即可；（3）根据分母有理化的方法即可求解；（4）根据平方差公式，分母有理化，根据实数的运算化简方程，解方程可得答案．【解答】解：（1）116故答案为：4-（2）1n故答案为：n+1（3）①可以利用平方差公式进行分母有理化；②相邻两个自然数的算术平方根的和（或差）等于这两个自然数的算术平方根的差（或和）的倒数；③，(n故答案为：可以利用平方差公式进行分母有理化（答案不唯一）．（4）2x2x2xx(5x-2x=【点评】本题考查了分母有理化，利用平方差公式进行分母有理化是解题关键．15．（2025春•蜀山区期中）在学习二次根式后，数学兴趣小组探究发现，一些含有根号的特殊式子可以化成另一个式子的平方，例如：5+26=(2+3)+22×3【类比】（1）仿照上述方法将7+26【拓展】（2）运用上述方法化简：9-【变式】（3）若a+215=(m+n)2，且【考点】二次根式的性质与化简；完全平方式．【专题】二次根式；运算能力．【答案】（1）(6+1)2；（2）5-2；（3【分析】（1）仿照所给的方法求解即可；（2）将9-45（3）利用所给的方法进行分析，即可求解．【解答】解：（1）原式＝（6+1）+26＝（6）2+(1=(（2）∵9-∴9-（3）①当a+2a＝15+1＝16，②当a+2a＝5+3＝8．综上所述，a＝8或16．【点评】本题主要考查二次根式的性质与化简，完全平方公式，掌握相应的运算法则是关键．

考点卡片1．平方根（1）定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．（2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．一个正数a的正的平方根表示为“a”，负的平方根表示为“-a正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作a．零的算术平方根仍旧是零．平方根和立方根的性质1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．2．立方根（1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：3a（2）正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根．（3）求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数．注意：符号3a中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个【规律方法】平方根和立方根的性质1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．3．实数与数轴（1）实数与数轴上的点是一一对应关系．任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数．（2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离．（3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．4．估算无理数的大小估算无理数大小要用逼近法．思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．5．实数的运算（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．【规律方法】实数运算的“三个关键”1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．6．完全平方公式（1）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．（2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同．（3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式．7．完全平方式完全平方式的定义：对于一个具有若干个简单变元的整式A，如果存在另一个实系数整式B，使A＝B2，则称A是完全平方式．a2±2ab+b2＝（a±b）2完全平方式分两种，一种是完全平方和公式，就是两个整式的和括号外的平方．另一种是完全平方差公式，就是两个整式的差括号外的平方．算时有一个口诀“首末两项算平方，首末项乘积的2倍中间放，符号随中央．（就是把两项的乘方分别算出来，再算出两项的乘积，再乘以2，然后把这个数放在两数的乘方的中间，这个数以前一个数间的符号随原式中间的符号，完全平方和公式就用+，完全平方差公式就用﹣，后边的符号都用+）”8．平方差公式（1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2（2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；②右边是相同项的平方减去相反项的平方；③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式；④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便．9．分式有意义的条件（1）分式有意义的条件是分母不等于零．（2）分式无意义的条件是分母等于零．（3）分式的值为正数的条件是分子、分母同号．（4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号．10．二次根式有意义的条件判断二次根式有意义的条件：（1）二次根式的概念．形如a（a≥0）的式子叫做二次根式．（2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．（3）二次根式具有非负性．a（a≥0）是一个非负数．学习要求：能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根式的非负性解决相关问题．【规律方法】二次根式有无意义的条件1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．11．二次根式的性质与化简（1）二次根式的基本性质：①a≥0；a≥②（a）2＝a（a≥0③a2=|a（2）二次根式的化简：①利用二次根式的基本性质进行化简；②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．ab=a•b（a≥0，b≥0）ab=ab（a≥（3）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．【规律方法】二次根式的化简求值的常见题型及方法1．常见题型：与分式的化简求值相结合．2．解题方法：（1）化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简．（2）代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果．（3）检验结果：所得结果为最简二次根式或整式．12．最简二次根式最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、3、a（a≥0）、x+y等；含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a2、（x+y）2、x2+2xy+y2等．13．二次根式的乘除法（1）积的算术平方根性质：a⋅b=a•b（a≥0，（2）二次根式的乘法法则：a•b=a⋅b（a≥0，（3）商的算术平方根的性质：ab=ab（a≥0，（4）二次根式的除法法则：ab=ab（a≥0，规律方法总结：在使用性质a•b=a⋅b（a≥0，b≥0）时一定要注意a≥0，b≥0的条件限制，如果a＜0，b＜0，使用该性质会使二次根式无意义，如（-4）×（-14．分母有理化（1）分母有理化是指把分母中的根号化去．分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．例如：①1a=aa（2）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．一个二次根式的有理化因式不止一个．例如：2-3的有理化因式可以是2+3，也可以是a（15．同类二次根式同类二次根式的定义：一