三角形全等几何模型-角平分线模型

2/2三角形全等几何模型-角平分线模型（专项练习）与角平分线相关的三角形全等的常见几个几何模型：【模型1】：如图一，角平分线+对称型BBＢＮＭ图一利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等。利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧。【理论依据】：三边对应相等的三角戏是全等三角形ＣＯＢ（SSS）、全等三角形对应角相等ＣＯＢ【模型2】：如图二，角平分线+垂直两边型角平分线性质定理：角的平分线上的点作角两边垂直段构成的两个RT三角形全等．如图二【几何语言】：∵OC为∠AOB的角平分线，D为OC上一点DE⊥OA，DF⊥OB∴，∴DE=DF【模型3】如图三，角平分线+垂直角平分线型如图三【说明】：构造此模型可以利用等腰三角形的“三线合一”，也可以得到两个全等的直角三角形，进而得到对应边、对应角相等。这个模型巧妙地把角平分线和三线合一联系了起来。【模型四】角平分线+平行线型如图四【说明】：有角平分线时，常过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形，为证明结论提供更多的条件，体现了角平分线与等腰三角形之间的密切关系。

一、填空题1．如图，在中，、的角平分线相交于点，①若，则__________，②若，，则___________.2．已知，△ABC中，∠BAC＝120°，AD平分∠BAC，∠BDC＝60°，AB＝2，AC＝3，则AD的长是________．3．如图，BP平分∠ABC，，E、F分别是角两边上点，现有四个结论知其一定能得其余结论的有①；②；③；④，_____.4．如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BPC＝50，∠CAP＝______．5．如图所示，的外角的平分线CP与的平分线相交于点P，若，则_______．二、解答题6．已知：如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，∠A+∠C＝180°，BC＞BA．求证：点D在线段AC的垂直平分线上．7．如图，ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点B作BE⊥AD，交AD延长线于点E，F为AB的中点，连接CF，交AD于点G，连接BG．（1）线段BE与线段AD有何数量关系？并说明理由；（2）判断BEG的形状，并说明理由．8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分线，交BC于点D，过D作DE⊥BA于点E，点F在AC上，且BD＝DF．（1）求证：AC＝AE；（2）若AB＝7.4，AF＝1.4，求线段BE的长．9．已知：如图，，，分别平分和，点E在上．用等式表示线段、、三者之间的数量关系，并证明．10．如图，ABC的外角∠DAC的平分线交BC边的垂直平分线于P点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E．（1）求证：BD＝CE；（2）若AB＝6cm，AC＝10cm，求AD的长．11．已知△ABC中，AB＝AC，∠A＝108°，BD平分∠ABC，求证：BC＝AC+CD．12．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，AD+AB=2AE，求证：∠ADC+∠B=180º13．如图所示，在中，，是的角平分线，交于点，求证：．14．如图，在四边形中，于，，.求证：；.15．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，M为边BC上的点，连结AM.如果将△ABM沿直线AM翻折后，点B恰好落在边AC的中点处，求点M到AC的距离.16．如图，在中，，平分，交于，于，求证：.17．如图，已知在四边形ABCD中，BD是的平分线，．2求证：．18．如图，在中，，，平分，于，交于.求证：（1）；（2）.19．已知：是的角平分线，且．（1）如图1，求证：；（2）如图2，，点E在上，连接并延长交于点，交CA的延长线于点，且，连接．①求证：；②若，且，求的长．20．在中，BE，CD为的角平分线，BE，CD交于点F．（1）求证：；（2）已知．①如图1，若，，求CE的长；②如图2，若，求的大小．21．（1）如图1，射线OP平分∠MON，在射线OM，ON上分别截取线段OA，OB，使OA＝OB，在射线OP上任取一点D，连接AD，BD．求证：AD＝BD．（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD平分∠ACB，求证：BC＝AC+AD．（3）如图3，在四边形ABDE中，AB＝9，DE＝1，BD＝6，C为BD边中点，若AC平分∠BAE，EC平分∠AED，∠ACE＝120°，求AE的值．22．已知点C是∠MAN平分线上一点，∠BCD的两边CB、CD分别与射线AM、AN相交于B，D两点，且∠ABC+∠ADC＝180°．过点C作CE⊥AB，垂足为E．（1）如图1，当点E在线段AB上时，求证：BC＝DC；（2）如图2，当点E在线段AB的延长线上时，探究线段AB、AD与BE之间的等量关系；（3）如图3，在（2）的条件下，若∠MAN＝60°，连接BD，作∠ABD的平分线BF交AD于点F，交AC于点O，连接DO并延长交AB于点G．若BG＝1，DF＝2，求线段DB的长．参考答案1．

110°

70°【分析】①先根据三角形内角和求出∠BAC+∠BCA=140°，再根据角平分线的定义求出∠IAC+∠ICA的值，然后利用三角形内角和即可求解；②在BC上取CD=AC，连接BI、DI，利用SAS证明△ACI与△DCI全等，可得AI=DI，∠CAI=∠CDI，再根据BC=AI+AC求出AI=BD，从而可得BD=DI，由三角形外角的性质可得∠CDI=2∠DBI，再根据角平分线的定义即可求出∠CDI=∠ABC，又∠BAC=2∠CAI，代入数据进行计算即可求解；解：①∵，∴∠BAC+∠BCA=140°，∵AI、CI分别是、的角平分线，∴∠IAC+∠ICA=(∠BAC+∠BCA)=70°，∴∠AIC=180°-70°=110°；②如图1，在BC上取CD=AC，连接BI、DI，∵CI平分∠ACB，∴∠ACI=∠BCI，在△ACI与△DCI中，，∴△ACI≌△DCI（SAS），∴AI=DI，∠CAI=∠CDI，∵BC=AI+AC，∴BD=AI，∴BD=DI，∴∠IBD=∠BID，∴∠CDI=∠IBD+∠BID=2∠IBD，又∵AI、CI分别是∠BAC、∠ACB的平分线，∴BI是∠ABC的平分线，∴∠ABC=2∠IBD，∠BAC=2∠CAI，∴∠CDI=∠ABC，∴∠BAC=2∠CAI=2∠CDI=2∠ABC，∵∠ABC=35°，∴∠BAC=35°×2=70°．【点拨】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，全等三角形的判定与性质，利用“截长补短法”作辅助线构造全等三角形以便于利用条件“BC=AI+AC”是解决本题的关键，也是难点．2．5【分析】过D作，，交延长线于F，然后根据全等三角形的性质和角直角三角形的性质即可求解．解：过D作，，交延长线于F，∵AD平分，，，∴，，∵，，∴，∵，∴，在和中，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵平分，∴，∴，∴．【点拨】此题考查了全等三角形和角平分线的性质，解题的关键是作出辅助线构造全等三角形．3．由(1)、（2）、（4）可以推出其它三个.【分析】根据角平分线的性质定理、HL证明直角三角形全等、AAS证明三角形全等、同角的补角相等即可解答.解：由(1)可以推出其它三个；由(4)可以推出其它三个；由(2)可以推出其它三个.如图：过点P作PM⊥AB于点M.（一）增加条件①时：∵，∠PFC+∠BFP=180°，∴∠BEP+∠BFP=180°，∠BEP=∠PFC，即②成立，∵∠BEP+∠PEM=180°，∴∠DFP=∠MEP，∵BP平分∠ABC，，PM⊥AB∴PD=PM，又∵∠PME=∠PDF=90°，∴Rt△PME≌Rt△PDF，∴ME=DF，，即③成立，∵BP=BP，∴Rt△PMB≌Rt△PDB(HL)，∴BM=BD，∵BD=BF-DF，BM=BE+EM，ME=DF，∴2BD=BD+BM=(BF-DF)+(BE+EM)=BF-DF+BE+EM=BF+BE，即，故④正确.（二）增加条件④时，∵BP平分∠ABC，，PM⊥AB∴PD=PM，又∵∠PMB=∠PDB=90°，BP=BP∴Rt△PMB≌Rt△PDB，∴BM=BD，∵BD=BF-DF，BM=BE+EM，2BD=BF+BE，∴BD+BM=2BD，即BF-DF+BE+EM=BF+BE∴ME=DF，同（一）方法即可证明Rt△PME≌Rt△PDF，从而证得①、②、③正确；(三)添加条件②时，方法同（一）中即可证明Rt△PME≌Rt△PDF，从而证得其它结论正确；（四）如果添加③，当点F在下图F′的位置时，其它三项不正确.【点拨】本题重点考查角平分线的性质和三角形全等的证明，解题关键是熟练掌握三角形全等的证明方法.4．40°【分析】过点P作PF⊥AB于F，PM⊥AC于M，PN⊥CD于N，根据三角形的外角性质和内角和定理，得到∠BAC度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP=∠FAP，即可得到答案．解：过点P作PF⊥AB于F，PM⊥AC于M，PN⊥CD于N，如图：设∠PCD=x，∵CP平分∠ACD，∴∠ACP=∠PCD=x，PM=PN，∴∠ACD=2x，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP=∠PBC，PF=PM=PN，∵∠BPC＝50°，∴∠ABP=∠PBC=，∴,∴，∴，在Rt△APF和Rt△APM中，∵PF=PM，AP为公共边，∴Rt△APF≌Rt△APM（HL），∴∠FAP=∠CAP，∴；故答案为：40°；【点拨】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的外角性质，角平分线的性质，以及全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识进行解题，正确求出是关键．5．【分析】如图（见分析），设，从而可得，先根据三角形的外角性质可求出，再根据角平分线的性质可得，从而可得，然后根据直角三角形全等的判定定理与性质可得，最后根据平角的定义即可得．解：如图，过点P分别作于点M，于点N，于点E，设，则，，，是的平分线，，，是的平分线，，，，同理可得：，，在和中，，，，即，又，，解得，故答案为：．【点拨】本题考查了角平分线的定义与性质、三角形的外角性质、直角三角形全等的判定定理与性质等知识点，通过作辅助线，利用角平分线的性质是解题关键．6．见分析【分析】在BC上截取BE＝BA，连接DE，证明△ABD≌△BED，可得出∠C＝∠DEC，则DE＝DC，从而得出AD＝CD即可证明．解：如图，在BC上截取BE＝BA，连接DE，∵BD＝BD，∠ABD＝∠CBD，∴△BAD≌△BED，∴∠A＝∠DEB，AD＝DE，∵∠A+∠C＝180°，∠BED+∠DEC＝180°，∴∠C＝∠DEC，∴DE＝DC，∴AD＝CD，∴点D在线段AC的垂直平分线上．【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，以及垂直平分线的判定等，学会做辅助线找出全等三角形是解题的关键．7．（1）BE＝AD，见分析；（2）BEG是等腰直角三角形，见分析【分析】（1）延长BE、AC交于点H，先证明△BAE≌△HAE，得BE＝HE＝BH，再证明△BCH≌△ACD，得BH＝AD，则BE＝AD；（2）先证明CF垂直平分AB，则AG＝BG，再证明∠CAB＝∠CBA＝45°，则∠GAB＝∠GBA＝22.5°，于是∠EGB＝∠GAB+∠GBA＝45°，可证明△BEG是等腰直角三角形．解：证：（1）BE＝AD，理由如下：如图，延长BE、AC交于点H，∵BE⊥AD，∴∠AEB＝∠AEH＝90°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAE＝∠HAE，在△BAE和△HAE中，，∴△BAE≌△HAE（ASA），∴BE＝HE＝BH，∵∠ACB＝90°，∴∠BCH＝180°﹣∠ACB＝90°＝∠ACD，∴∠CBH＝90°﹣∠H＝∠CAD，在△BCH和△ACD中，，∴△BCH≌△ACD（ASA），∴BH＝AD，∴BE＝AD．（2）△BEG是等腰直角三角形，理由如下：∵AC＝BC，AF＝BF，∴CF⊥AB，∴AG＝BG，∴∠GAB＝∠GBA，∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠CAB＝∠CBA＝45°，∴∠GAB＝∠CAB＝22.5°，∴∠GAB＝∠GBA＝22.5°，∴∠EGB＝∠GAB+∠GBA＝45°，∵∠BEG＝90°，∴∠EBG＝∠EGB＝45°，∴EG＝EB，∴△BEG是等腰直角三角形．【点拨】本题考查等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等，理解等腰直角三角形的基本性质，并且掌握全等三角形中常见辅助线的作法是解题关键．8．（1）见分析；（2）3【分析】（1）证明△ACD≌△AED（AAS），即可得出结论；（2）在AB上截取AM=AF，连接MD，证△FAD≌△MAD（SAS），得FD=MD，∠ADF=∠ADM，再证Rt△MDE≌Rt△BDE（HL），得ME=BE，求出MB=AB-AM=6，即可求解．解：（1）证明：∵AD平分∠BAC，∴∠DAC=∠DAE，∵DE⊥BA，∴∠DEA=∠DEB=90°，∵∠C=90°，∴∠C=∠DEA=90°，在△ACD和△AED中，，∴△ACD≌△AED（AAS），∴AC=AE；（2）在AB上截取AM=AF，连接MD，在△FAD和△MAD中，，∴△FAD≌△MAD（SAS），∴FD=MD，∠ADF=∠ADM，∵BD=DF，∴BD=MD，在Rt△MDE和Rt△BDE中，，∴Rt△MDE≌Rt△BDE（HL），∴ME=BE，∵AF=AM，且AF=1.4，∴AM=1.4，∵AB=7.4，∴MB=AB-AM=7.4-1.4=6，∴BE＝BM＝3，即BE的长为3．【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线定义、直角三角形的性质、三角形的外角性质等知识；证明△FAD≌△MAD和Rt△MDE≌Rt△BDE是解题的关键．9．AB=AC+BD，证明见详解．【分析】延长AE，交BD的延长线于点F，先证明AB=BF，进而证明△ACE≌△FDE，得到AC=DF，问题得证．解：延长AE，交BD的延长线于点F，∵，∴∠F=∠CAF，∵平分，∴∠CAF=∠BAF，∴∠F=∠BAF，∴AB=BF，∵平分，∴AE=EF，∵∠F=∠CAF，∠AEC=∠FED，∴△ACE≌△FDE，∴AC=DF，∴AB=BF=BD+DF=BD+AC．【点拨】本题考查了等腰三角形的判断与性质，全等三角形的判定与性质，根据题意添加辅助线构造等腰三角形和全等三角形是解题关键．10．（1）证明见分析；（2）2【分析】（1）连接、，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，然后利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；（2）利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再根据、的长度表示出、，然后解方程即可．解：（1）证明：连接、，点在的垂直平分线上，，是的平分线，，在和中，，，；（2）解：在和中，，，，，，，即，解得．【点拨】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．11．见分析【分析】在线段BC上截取BE＝BA，连接DE．则只需证明CD＝CE即可．结合角度证明∠CDE＝∠CED．解：证明：在线段BC上截取BE＝BA，连接DE．∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠EBD∠ABC．在△ABD和△EBD中，，∴△ABD≌△EBD．（SAS）∴∠BED＝∠A＝108°，∠ADB＝∠EDB．又∵AB＝AC，∠A＝108°，∠ACB＝∠ABC（180°﹣108°）＝36°，∴∠ABD＝∠EBD＝18°．∴∠ADB＝∠EDB＝180°﹣18°﹣108°＝54°．∴∠CDE＝180°﹣∠ADB﹣∠EDB＝180°﹣54°﹣54°＝72°．∴∠DEC＝180°﹣∠DEB＝180°﹣108°＝72°．∴∠CDE＝∠DEC．∴CD＝CE．∴BC＝BE＋EC＝AB＋CD．【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，添加恰当辅助线是本题的关键．12．见分析.【分析】延长AD过C作CF垂直AD于F，由条件可证△AFC≌△AEC，得到CF＝CE．再由条件AD＋AB＝2AE可证BE＝DF，所以△CDF≌△CEB，由全等的性质可得∠B＝∠FDC，问题得证．解：证明：延长AD过C作CF垂直AD于F，∵AC平分∠BAD，∴∠FAC＝∠EAC，∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴∠AFC＝∠AEC＝90°，AC=AC，∴△AFC≌△AEC(AAS)，∴AF＝AE，CF＝CE，∵AD+AB=2AE，又∵AD＝AF−DF，AB＝AE＋BE，AF＝AE，∴2AE＝AE＋BE＋AE−DF，∴BE＝DF，在△CDF和△CBE中，，∴△CDF≌△CBE（SAS），∴∠B＝∠FDC，∵∠ADC＋∠FDC＝180°，∴∠ADC+∠B=180º．【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是牢记三角形全等的判定定理．13．详见分析【分析】在AB上截，连接FG，根据角平分线的性质、结合三角形内角和定理可得，证明，得GD=GF，=60°，可证得，即可得GF=GE=GD.解：证明：在AB上截，连接FG，∵AE平分∠BAC，∴∠EAC=∠EAB，又∵AG=AG，∴，，，∵，AE,BD是ΔABC的角平分线，∴，∴，∵，∴，∴GD=GE.【点拨】本题考查角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，作辅助线是解题的关键．14．详见分析【分析】过点向OA、OB作垂线，构建全等三角形，继而根据平角定义以及线段的和差即可证得结论.解：如图，过点作与点，则∠F=∠CEO=90°，，OC=OC，，，，，，，，，∵，，.【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，正确添加辅助线构建全等三角形是解题的关键.15．点M到AC的距离为2【分析】利用图形翻折前后图形不发生变化，从而得出AB=AB′=3，DM=MN，再利用三角形面积分割前后不发生变化，求出点M到AC的距离即可．解：∵△ABM沿直线AM翻折后，点B恰好落在边AC的中点处，假设这个点是B′，作MN⊥AC，MD⊥AB，垂足分别为N，D，又∵Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，∴AB=AB′=3，DM=MN，AB′=B′C=3，S△BAC=S△BAM+S△MAC，即×3×6=×MD×3+×6×MN，∴MD=2，所以点M到AC的距离是2．【点拨】本题考查了翻折变换(折叠问题)，发现DM=MN，以及AB=AB′=B′C=3，结合面积不变得出等式是解决问题的关键．16．详见分析【分析】延长BD至N，使DN=BD，易得AD垂直平分BN，继而证得AE=EN，则可证得结论．解：延长BD至N，使DN=BD，连接AN．∵AD⊥BE，∴AD垂直平分BN，∴AB=AN，∴∠N=∠ABN，又∵BE平分∠ABC，∠ABC=2∠C，∴∠ABN=∠NBC=∠C，∴∠NBC=∠C，∴AN∥BC，∴∠C=∠NAC，∴∠NAC=∠N，∴AE=EN，∵BE=EC，∴AC=BN=2BD．【点拨】本题考查了等腰三角形的性质与判定、线段垂直平分线的性质以及平行线的判定与性质．注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．17．见分析【分析】方法一，在BC上截取BE，使，连接DE，由角平分线的定义可得，根据全等三角形的判定可证和全等，再根据全等三角形的性质可得，，由AD=CD等量代换可得，继而可得，由于，可证；方法2，延长BA到点E，使，由角平分线的定义可得，根据全等三角形的判定可证和全等，继而可得，．由，可得，继而求得，由，继而可得；方法3，作于点E，交BA的延长线于点F，由角平分线的定义可得，由，，可得，根据全等三角形的判定可证和全等，继而可得，再根据HL定理可得可证．解：方法1截长如图，在BC上截取BE，使，连接DE，因为BD是的平分线，所以．在和中，因为所以，所以，．因为，所以，所以．因为，所以．方法2

补短如图，延长BA到点E，使．因为BD是的平分线，所以在和中，因为，所以，所以，．因为，所以，所以．因为，所以．方法3

构造直角三角形全等作于点E．交BA的延长线于点F因为BD是的平分线，所以．因为，，所以，在和中，因为，所以，所以．在和中，因为，所以，所以．因为，所以．18．（1）证明见分析；（2）证明见分析.【分析】(1)连接DF，证△FAE≌△OAE，推出AF=AO，∠AFO=∠AOF，求出OD=DF，求出BF=DF，即可得出答案；(2)在AD上截AG=OF，连接OG，证△AGO≌△OFB，推出GO=BF=OD，求出DE=GE，AD-OF=DG=2DE即可．解：(1)连接DF，∵OE⊥AD，∴∠AEF=∠AEO=90°，∵AD平分∠FAO，∴∠EAF=∠OAE，又∵AF=AF，∴△EAF≌△OAF(ASA)，∴AF=AO，∠AFO=∠AOF，∵AD⊥OF，∴EF=EO，∴DF=DO，∴∠DFO=∠DOF，∵∠AFO=∠AOF，∴∠AFD=∠AOB=90°，∵∠AOB=90°，AO=BO，∴∠B=45°，∴∠FDB=∠AFO-∠B=45°=∠B，∴BF=DF，∴OD=BF；(2)在AD上截AG=OF，连接OG，∵∠OAB=∠B=45°，AD平分∠OAB，∴∠OAG=22.5°，∵OD=DF，∴∠DFO=∠DOF，∵∠FDB=45°=∠DFO+∠DOF，∴∠FOB=22.5°=∠OAG，∴△AGO≌△OFB(SAS)，∴GO=BF=OD，∵OE⊥AD，∴DE=GE，∴AD-OF=DG=2DE．【点拨】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形性质，线段垂直平分线性质的应用，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.19．（1）见分析；（2）①见分析；②．【分析】（1）用证明，即得AB＝AC；（2）①证明可得，再用证明△FAG≌△FAE，即得；②过作于，由，可得，，而，故，即得，根据，可求．解：（1）证明：是的角平分线，，，，在和中，，，；（2）①，，，，，在和中，，，，在和中，，，；②过作于，如图：由①知：，，，，由①知：，，，，，∴．【点拨】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的相关知识.20．（1）证明见分析；（2）2.5；（3）100°．【分析】（1）由三角形内角和定理和角平分线得出的度数，再由三角形内角和定理可求出的度数，（2）在BC上取一点G使BG=BD，构造（SAS），再证明，即可得，由此求出答案；（3）延长BA到P，使AP=FC，构造（SAS），得PC=BC，，再由三角形内角和可求，，进而可得．解：（1）、分别是与的角平分线，，，，（2）如解（2）图，在BC上取一点G使BG=BD，由（1）得，，，∴，在与中，，∴（SAS）∴，∴，∴，∴在与中，，，，，；∵，，∴（3）如解（3）图，延长BA到P，使AP=FC，，∴，在与中，，∴（SAS）∴，，∴，又∵，∴，又∵，∴，∴，，∴，【点拨】本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键．21．（1）见详解；（2）见详解；（3）AE=13【分析】（1）由题意易得∠AOD=∠BOD，然后易证△AOD≌△BOD，进而问题可求证；（2）在BC上截取CE=CA，连接DE，由题意易得∠ACD=∠ECD，∠B=30°，则有△ACD≌△ECD，然后可得∠A=∠CED=60°，则根据三角形外角的性质可得∠EDB=∠B=30°，然后可得DE=BE，进而问题可求证；（3）在AE上分别截取AF=AB，EG=ED，连接CF、CG，同理（2）可证△ABC≌△AFC，△CDE≌△CGE，则有∠ACB=∠ACF，∠DCE=∠GCE，然后可得∠ACF+∠GCE=60°，进而可得△CFG是等边三角形，最后问题可求解．解：证明：（1）∵射线OP平分∠MON，∴∠AOD=∠BOD，∵OD=OD，OA＝OB，∴△AOD≌△BOD（SAS），∴AD＝BD．（2）在BC上截取CE=CA，连接DE，如图所示：∵∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠ECD，∠B=30°，∵CD=CD，∴△ACD≌△ECD（SAS），∴∠A=∠CED=60°，AD=DE，∵∠B+∠EDB=∠CED，∴∠EDB=∠B=30°，∴DE=BE，∴AD=BE，∵BC=CE+BE，∴BC＝AC+AD．（3）在AE上分别截取AF=AB=9，EG=ED=1，连接CF、CG，如图所示：同理（1）（2）可得：△ABC≌△AFC，△CDE≌△CGE，∴∠ACB=∠ACF，∠DCE=∠GCE，BC=CF，C