高中数学 1 4 5 用向量方法解决综合问题 课时教学设计

空间向量的综合应用课时教学设计（一）教学内容运用空间向量研究立体几何中有关直线、平面的位置关系和度量问题，运用空间向量解决实际问题。（二）教学目标1.能利用空间向量解决立体几何问题中的平行、垂直等位置关系问题．2.能利用空间向量解决立体几何问题中的距离、夹角等度量问题．3.根据具体情境，将实际问题转化成数学模型，利用空间向量解决实际问题，并体会向量的工具作用。4.掌握用向量法解决立体几何问题的思路和一般步骤，能归纳总结利用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”，提升学生的直观想象、逻辑推理、数学运算、数学抽象和数学建模核心素养.（三）教学重点和难点重点：运用空间向量解决立体几何中有关直线、平面的位置关系和度量问题难点：将立体几何问题转化为向量问题（四）教学过程设计前面我们学习了用空间向量及其运算研究立体几何中点、直线、平面这些几何元素的平行、垂直的位置关系，以及这些几何元素之间产生的距离与夹角等问题．现在，我们仍然通过空间向量及其运算进一步研究并体会向量法解决立体几何中的综合性较强的问题。1.典型例题，实践应用例1：如图为某种礼物降落伞的示意图,其中有8根绳子和伞面连接,每根绳子和水平面的法向量的夹角均为.已知礼物的质量为1kg,每根绳子的拉力大小相同.求降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小（重力加速度g取9.8m/s2,精确到0.01N）.问题1：“降落伞在匀速下落”是什么意思？学生回答：礼物所受绳子的拉力的合力与其自身重力平衡，合力的大小等于重力的大小。【设计意图】让学生区分力是一个矢量，根据问题研究的对象以及物理学中力的平衡关系，学生构建一个等量关系，即礼物所受绳子的拉力的合力的大小等于其自身重力的大小。追问1:“有8根绳子和伞面连接，每根绳子的拉力大小相同，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为”，我们可以得到哪些信息？学生回答：问题描述的立体图形结构对称，研究清楚一根绳子的情况就可以了。研究拉力的合力，就是看作每个向量在竖直方向上的投影向量，其大小就是投影向量的模长。追问2:如何用向量方法解决这个问题?学生回答：构建一个等量关系：拉力的合力=礼物的重力，根据等量关系求解。【设计意图】通过问题串，能让学生更好的理解题干信息，通过分析题干信息获得解决问题的思路。追问3:你能根据上述思路计算出每根绳子拉力的大小吗?解：设水平面的单位法向量为,其中每一根绳子的拉力均为,因为=,所以向量在向量上的投影向量为：，所以八根绳子拉力的合力合=8*=4，有因为降落伞匀速下降，所以|合|=|礼物|=19.8=9.8（N），所以，所以即：降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小是.【设计意图】从实际问题出发构建数学模型再到利用数学知识解决问题，体会向量在解决问题中的工具作用，关注规范解题，作好学生的示范，特别强调先设向量，再把实际问题转化为向量问题来求解，最后回答实际问题。追问4：回顾一下，我们是如何解决这个实际问题的？学生回答：我们将实际问题抽象成数学问题，在此过程中需要对物体进行受力分析，即8根绳子所受拉力的合力与物体自身的重力相等，构造等量关系，利用向量的线性运算求解数学模型，通过数学问题的解来解释实际问题。【设计意图】从实际问题出发构建数学模型再到利用数学知识解决问题，体会向量在解决问题中的工具作用，培养学生数学抽象，逻辑推理，数学运算，数学建模素养，提升学生归纳和总结的能力。例2：如图,在四棱锥中,底面ABCD是正方形,侧棱PD底面ABCD,PD＝DC,E是PC的中点,作EFPB交PB于点F.求证：PA平面EDB;（2）求证：PB平面EFD;（3）求平面CPB与平面PBD的夹角的大小.问题2:如何用几何法证明线面平行？学生回答：通过作辅助线，利用三角形中位线来证明：PAEG追问1:如何用向量法证明线面平行呢？对比两种方法选择你认为合适的方法进行证明。学生回答：利用向量知识，先建立空间坐标系，找到直线的的方向向量和平面内一条直线的方向向量，证明两向量也可以直接证明与平面EDB的法向量垂直，从而得到线面平行.证明：（1）连接AC交BD于点G，再连接EG，由正方形ABCD可得：AG=GC又因为E是PC的中点，所以PAEG，又因为PA，EG所以PA平面EDB【设计意图】通过梳理两种方法的解题思路，对比两种方法，在解决立体几何中的位置关系证明问题时，优先利用掌握的空间关系来试证明，若能完成，则用几何法解决问题，若不能完成，则考虑向量法来补充证明。本题第一问采用几何法证明比较简单，没必要转化为向量法来证明，所以只设计了几何法证明的答案，向量法只了解一下思路。体现数学的简洁美。问题3:如何用几何法证明线面垂直?学生回答：要证明PB平面EFD,由于PBEF,所以只需要证明PBDE或PBDF.追问1:用几何法证明线线垂直好证吗?学生回答：不好证。追问2:那我们是否有更简单的方法解决这个问题，如何解决?学生回答：可以发现利用向量知识，用向量法很容易证明这个问题：只需证明PBDE，即证明。【设计意图】通过梳理两种方法的解题思路，再次对比两种方法，在解决立体几何中的位置关系证明问题时，优先利用掌握的空间关系来试证明，若某个环节处理起来很困难或者不能完成证明的时候，就要考虑使用向量法来证明。问题4:如何用几何法求二面角的大小呢?学生回答：在图中直接找到或通过做辅助线找到二面角的平面角，利用解三角形的知识求解二面角。在本题中如图，由于PB平面EFD,所以追问1:用几何法求二面角的大小好求吗?学生回答：二面角的平面角容易找到，但是用几何法求出这个角度有一定难度。追问2:那我们是否有更简单的方法解决这个问题，如何解决?学生回答：用几何法解决这个问题有难度，可以利用向量知识,利用用向量夹角来求的大小．追问3：用向量法来求向量夹角，但是如何求出点F的空间坐标呢?同学们尝试解决这个问题。学生回答：如图,要研究点的坐标,可以用设未知数的方法,来找到点满足的相关条件,然后求出这个点的坐标,从而利用向量方法解决二面角问题.【设计意图】通过梳理两种方法的解题思路，再次对比两种方法，在解决立体几何中的度量问题时，还是优先考虑利用掌握的空间关系来求解，若某个环节处理起来很困难或者不能解决的时候，那就考虑使用向量法。在这个问题中学生需要掌握利用待定系数法求出直线上点的坐标，再用向量的坐标运算解决几何问题。2.单元小结问题5:向量法解决立体几何问题的基本步骤是什么？回顾本单元的学习，同学们有什么新的感悟?学生回答：运用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”：1.用向量或坐标或方程表示几何问题中的几何元素，如点、直线、平面、等，把几何问题转化为代数问题；2.通过代数运算，解决代数问题；3.把代数运算的结果“翻译”成相应的几何结论。运用空间向量解决立体几何中的位置关系问题时优先考虑几何法，当几何法中的某个环节处理起来很困难或者不能完成的时候，就要考虑使用向量法。运用空间向量解决立体几何中的距离、夹角等度量问题时，一般采用向量法，利用向量知识将几何问题代数化。【设计意图】既是本节课的小结也是本单元的小结，从宏观的思想方法和微观的具体步骤方面进行总结，突出教学重点，使学生掌握用利用空间向量解决立体几何问题的三步曲，通过过对几何法、向量法的比较，认识各自特点，进一步加深对向量法的认识；培养学生的归纳总结和概括能力。（五）课堂检测与评价教科书第41页练习1-3，教科书第44页第16题【设计意图】巩固所学用空间向量解决立体几何问题知识，提高学生的综合应用能力。（六）教学反思在教学过程中要关注学生能否把握知识之间的联系，如学生能否真正理解平面向量与空间向量、空间向量与立体几何的联系，空间同一平面内的问题可由平面知识解决，不在同一平面内的问题则需要立体知识来解决，并且立体问题常常转化为平面问题来解决，其中直线的方向向量和平面的法向量