2025年中考数学真题考点过关练-第25关 尺规作图（含答案）

第25关尺规作图基础练1.[2024河北]观察图中尺规作图的痕迹，可得线段BD一定是△ABC的()A.角平分线B.高线C.中位线D.中线2.[2024山东烟台]某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，其中射线OP为∠AOB的平分线的有()A.1个B.2个C.3个D.4个3.[2024北京]下面是“作一个角使其等于∠AOB”的尺规作图方法.(1)如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA,OB于点C,D;(2)作射线O'A',以点O'为圆心,OC长为半径画弧,交O'A'于点C'；以点C'为圆心，CD长为半径画弧，两弧交于点D'；(3)过点D'作射线O'B'.则∠A'O'B'=∠AOB.上述方法通过判定△C'O'D'≌△COD得到∠AA.三边分别相等的两个三角形全等B.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等C.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等D.两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等4.[2024湖南]如图,在锐角三角形ABC中,AD是边BC上的高,在BA,BC上分别截取线段BE,BF,使BE=BF;分别以点E,F为圆心,大于12EF的长为半径画弧，在∠ABC内，两弧交于点P,作射线BP,交AD于点M,过点M作MN⊥AB于点N.若MN=2,AD=4MD,则AM=5.[2024陕西]如图，已知直线l和l外一点A.请用尺规作图法，求作一个等腰直角△ABC，使得顶点B和顶点C都在直线l上.(作出符合题意的一个等腰直角三角形即可，保留作图痕迹，不写作法)6.[2024四川成都]如图,在▱ABCD中,按以下步骤作图：①以点B为圆心，以适当长为半径作弧,分别交BA,BC于点M,N;②分别以M,N为圆心，以大于12A.∠ABE=∠CBEB.BC=5C.DE=DFD.7.[2024湖北]如图,AB是半圆O的直径,C为半圆O上一点，以点B为圆心，适当长为半径画弧,交BA于点M,交BC于点N,分别以点M,N为圆心，大于12A.30°B.25°C.20°D.15°8.[2024重庆A卷]在学习了矩形与菱形的相关知识后，智慧小组进行了更深入的研究，他们发现，过矩形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与矩形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形，可利用证明三角形全等得到此结论.根据他们的想法与思路，完成以下作图和填空：(1)如图,在矩形ABCD中,点O是对角线AC的中点.用尺规过点O作AC的垂线，分别交AB,CD于点E,F,连接AF,CE(不写作法,保留作图痕迹).(2)已知:矩形ABCD,点E,F分别在AB,CD上,EF经过对角线AC的中点O,且EF⊥AC.求证：四边形AECF是菱形.证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD.∴①,∠FCO=∠EAO.∵点O是AC的中点,∴②.∴△CFO≌△AEO(AAS).∴③.又∵OA=OC,∴四边形AECF是平行四边形.∵EF⊥AC,∴四边形AECF是菱形.进一步思考，如果四边形ABCD是平行四边形呢?请你模仿题中表述，写出你猜想的结论：④9.[2024河南]如图,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的中线,BE∥DC交AC的延长线于点E.(1)请用无刻度的直尺和圆规作∠ECM，使∠ECM=∠A,且射线CM交BE于点F(保留作图痕迹，不写作法)；(2)证明(1)中得到的四边形CDBF是菱形.10.[2024江苏扬州]如图,已知∠PAQ及AP边上一点C.(1)用无刻度直尺和圆规在射线AQ上求作点O,使得∠COQ=2∠CAQ;(保留作图痕迹,不写作法)(2)在(1)的条件下,以点O为圆心,以OA为半径的圆交射线AQ于点B，用无刻度直尺和圆规在射线CP上求作点M，使点M到点C的距离与点M到射线AQ的距离相等；(保留作图痕迹，不写作法)(3)在(1)(2)的条件下,若sinA=11.[2024江西]如图,AC为菱形ABCD的对角线，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图(保留作图痕迹).(1)如图1,过点B作AC的垂线;(2)如图2,点E为线段AB的中点,过点B作AC的平行线.12.[2024湖北武汉]如图是由小正方形组成的3×4网格，每个小正方形的顶点叫做格点.△ABC三个顶点都是格点.仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务的画线不得超过三条.(1)在图(1)中,画射线AD交BC于点D,使AD平分△ABC的面积;(2)在(1)的基础上,在射线AD上画点E,使∠ECB=∠ACB;(3)在图(2)中,先画点F,使点A绕点F顺时针旋转90°到点C,再画射线AF交BC于点G;(4)在(3)的基础上,将线段AB绕点G旋转180°,画对应线段MN(点A与点M对应,点B与点N对应).第25关尺规作图1.B2.D3.A4.65.如图，△ABC即为所求(作法不唯一)6.D解析：由尺规作图可得BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠CBE,故选项A中结论正确;在▱ABCD中,AB∥CD,∴∠ABE=∠F,∴∠CBE=∠F,∴BC=CF,在▱ABCD中,AD∥CB,∴∠DEF=∠CBE,∴∠DEF=∠F,∴DE=DF=2,∴CF=CD+DF=5=BC,故选项B、C中结论正确;∵AB∥CD,∴△ABE∽△DFE、∴ABDF=BE7.C解析:∵AB为半圆O的直径.∴∠ACB=90°,∵∠CAB=50°,∴∠ABC=40°,由作图知，BD是∠ABC的平分线，∴∠CBD=8.(1)如图(2)①∠CFO=∠AEO;②OC=OA;③OF=OE;④过平行四边形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与平行四边形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形9.(1)如图.(2)证明:由(1),得∠ECF=∠A.∴CF∥AB.∵BE∥DC,∴四边形CDBF是平行四边形.∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线,∴CD=BD.∴▱CDBF是菱形.10.(1)见解析(2)见解析(3)65解析：(1)如图，点O即为所求.(2)如图，点M即为所求.(3)由(1)作图可知OA=OC=OB,∴易得∠ACB=90°,∴设BC=3k,则AB=5k,∴AC=4k,过M作MH⊥AQ于点H,由(2)作图可知BM平分∠CBQ,又MC⊥CB,∴∠MBC=∠MBH,∠MCB=∠BHM=90°,CM=MH、∴△MBC≌△MBH,∴BC=BH=3k.∴AH=AB+BH=8k.∵sinA=MH∴MH=6k,∴CM=12=MH=6k,∴k=2,∴BH=6,∴BM=11.(1)如图所示(2)如图所示(作图不唯一)12.(1)如图所示(答案不唯一)(2)如图所示，点E即为所求(答案不唯一)(3)如图所示(4)如图所示(答案不唯一)微专题11最短路径问题C解析:如图,作点N关于BD的对称点N',连接MN',NN',PN',MN,∵四边形ABCD为菱形,：点N'在CD上，由对称可得BD垂直平分NN',∴PN=PN',∴PM+PN=PM+PN',:当M、P,N'三点共线时,PM+PN的值最小、为MN'的长，∵AM=1∴AB=BC=3,AC⊥BD.在Rt△BCO中,BO=BC·sin∠OCB=3×32=∴BD=2BO=3∵AM=AN=∴∵∠MAN=∠BAD,∴△AMN∽△ABD,∴∠AMN=∠ABD,AMB=M/D=13即MN3∴MN∥BD,MN=3∵AC⊥BD,NN'⊥BD,∴NN'∥AC,∴△DNN'∽△DAC,∴DNAD=∵MN∥BD,NN'⊥BD,∴MN⊥NN',即∠MNN'=90°,∴在Rt△MNN'中,MN'∴PM+PN的最小值为7,即(a=1A解析:如图,作点D关于OB的对称点D',连接AD',CD',OD',则CD=CD',OD=OD',∠DOB=∠BOD',∵AC+CD=AC+CD∵OD平分∠AOB,∠AOB=60°,∴∠AOD=∠DOB=∴∠BOD'=30°,∴∠AOD'=90°,在Rt△OAD'中,OD'=OD=OA=1,∴AD'=2,又AD的长=30π×13.80°解析：作点P关于OA的对称点E，连接OP,EP,EO,EM,如图,∴EM=MP,∠MPO=∠OEM,∠EOM=∠MOP,作P点关于OB的对称点F,连接NF,PF,OF,EF,∴PN=FN,∠OPN=∠OFN,∠PON=∠NOF,∴PM+PN+MN=EM+NF+MN≥EF,∴当E,M,N,F共线时,△PMN周长最小,此时∠OEM=∠OEF,∠OFN=∠OFE,又∵∠EOF=∠EOM+∠MOP+∠PON+∠NOF,∠AOB=∠MOP+∠PON=50°,∴∠EOF=2∠AOB=100°,∴在△EOF中,∠OEM+∠OFN+∠EOF=180°,∴∠OEM+∠OFN=180°-100°=80°,∵∠MPO=∠OEM,∠OPN=∠OFN,∴∠MPO+∠OPN=80°,∴∠MPN=∠MPO+∠OPN=80°.4.6解析：连接CH，∵A(-2,0),B(0,2),∴OB=2,OA=2,∵C是OB的中点,∴BC=OC=1,∵∠PHO=∠COH=∠DCO=90°,∴四边形PHOC是矩形,∴PH=OC=BC=1,∵PH⊥OA,BO⊥OA,∴PH∥BC,∴四边形PBCH是平行四边形，∴BP=CH,∴BP+PH+HQ=CH+HQ+1,要使CH+HQ的值最小,只需C,H,Q三点共线即可，∵点Q是点B关于点A的对称点，∴Q(-4,-2),又∵点C(0,1),∴根据勾股定理可得CQ=0+42即BP+PH+HQ的最小值为6.5.(1)4或6(2)12.53解析:(1)由题易得∠CBM=∠CMH=∠HEM=90°,∴∠CMB+∠BCM=∠CMB+∠HME=90°,∴∠BCM=∠HME,∴△MCB∽△HME,∴∵BC=AB=2,EH=EF=12,BE=10,∴2∴点M与点B之间的距离是4或6.(2)由(1)知BC设EH=y,BM=x,∵BE=10,∴EM=10-x,∴∴y=−∵−∴当x=5时,,y最大值=12.5,即HE的最大值为12.5.(3)∵∠CMH=90°,O是CH的中点,∴CH=2OM,∴2OM+HB=CH