26届高三备考核心微专题 三角恒等变换备考中务必熟练的十大类型

29.三角恒等变换备考中务必熟练的十大类型一．同角三角函数的基本关系1.同角三角函数的基本关系（1）平方关系:.（2）商数关系:.（3）（4）2.同角三角函数的三大应用2.1正弦，余弦，正切知二求一，与切弦互化2.2已知正切求齐次式的值2.3应用1.正弦，余弦，正切知二求一，与切弦互化例1．若，且为第三象限角，则（

）A． B． C． D．解析：∵，且为第三象限角，∴，∴．故选:D．应用2.例2．已知，，则（

）A． B． C． D．解析：，，，，.故选：D.应用3.已知正切求齐次式的值例3．已知方程，则（

）A． B． C． D．解析：因为方程，所以，即，则或（舍去），所以，所以，，故选：B小结：已知，我们可计算如下齐次式：（约定分母不为0）（1）（2）（3）二．万能公式：（齐次式切弦互化）作为齐次切弦互换的一个应用典例，推导出的万能公式及应用也是非常常见常考的问题.，，例4．已知，且，则（

）A． B． C． D．或解析：由，所以，则，由，则.故选：A例5．已知第二象限角满足，则（

）A． B． C． D．解析：∵，∴，解得或（舍去），所以.故选：D例6．已知为锐角，且，，则（

）A． B． C． D．分析：显然，解出参数的值是关键，这自然想到了万能公式.解析：∵，解得，∴，∵，∴，∴，∴，故选：B．三．诱导公式诱导公式记不住，就利用两角和差公式现场推导即可，例如例7．已知.（1）求的值；（2）求的值.解析：（1）由可得，即；（2）.四.两角和与差与二倍角公式1.两角和差公式（1）;（2）;（3）;（4）;（5）.（6）.2.二倍角的正弦、余弦、正切公式（1）;（2）;（3）.3.常见角的拆分与组合:例8．（

）A． B． C． D．解析：．故选：B．下面讨论常见的三类应用（1）“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但非特殊角与特殊角总有一定关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数．（2）“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．（3）“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围．例9．（给值求值）已知，则的值为（

）A． B． C． D．解析：，因为，所以，则在第二或第三象限，因为，当在第三象限时，由于，又在上递增，且，所以当在第三象限时，，与矛盾，所以在第二象限，因为，所以．因为，所以，则．因为，所以．所以，即．故选：A．例10．（给值求角）若，，且，，则（

）A． B． C． D．解析：，符号相同，又，，，由可得，又，，，所以，，，由，，得，，故选：A．例11．（给值求角）已知，且，，则的值___________解析：，，，，，.故答案为：.例12．已知，，，则___________解析：因为，所以，若，则，所以，因为，所以，若，则，所有，故.故答案为：.注：在给值求角过程中，一定要注意“缩角”，即已知正、余弦函数值，则选正弦或余弦函数，若角的范围是，则选正、余弦函数皆可；若角的范围是，则选余弦函数较好；若角的范围为，则选正弦函数较好．五．辅助角公式辅助角公式:形如的式子可做如下变换:--------(1)令(1)式=,其中.例13．已知函数.（1）当时，求的取值范围；（2）若锐角，满足，，求.【详解】（1）,因为，则，所以，所以.（2）由第（1）问知，所以，因为，所以，因为，为锐角，所以，因为，所以，所以.例14．已知函数在处取得最大值，则（

）A． B． C． D．【详解】因为，其中，当时，取得最大值，即，所以，所以故选：A六．和差化积与积化和差公式和差化积与积化和差，例14．已知，，则_________【详解】因为，所以.①因为，所以.②因为，，所以由得，即.故答案为：.例15.（2022新高考2卷）已知函数的定义域为，且，则A.B.C.D.解析：由余弦函数积化和差公式可得，考虑函数，则满足题意.于是，周期为6，且，进一步，故选A.七．二次函数型（1）把形如或的三角函数最值问题看成与或有关的二次函数解析式，再将其解析式变形转化为或，最后根据已知变量的范围求最值.（2）或.对于,由二倍角公式,得,令,则问题转化为关于的二次函数问题.类似地,对于,用二倍角公式,使其转化为二次函数问题.例16．函数的定义域为，值域为，则α的取值范围是（）A． B．C． D．解析：由，令，得：，二次函数开口向下，对称轴为，因为，所以函数为递增函数，因为当时，，当时，，所以，即时，，使函数的值域为，所以由余弦函数图象与性质可知，，所以的取值范围是：．故选：A八.和差与乘积结合型函数如求三角函数的最值，可将看作，则原函数可变形为，该函数是我们熟悉的二次函数，可求它的最值.例17．已知函数，则的最大值为（

）．A． B． C． D．解析：，令，即，由，则.故选：A.九．三倍角公式：例18．函数的值域为____________．解析：，设，，则，，令，解得，所以函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，又，，，，所以值域为.其他例19..【详解】.例20.（1）；（2）.【详解】（1）.（2）.习题演练1．若，则（

）A． B． C． D．【详解】将式子进行齐次化处理得：．故选：C．2．若，则（

）A． B． C． D．【详解】，，，，解得，，.故选：A.3．已知，则（

）．A． B． C． D．【详解】因为，而，因此，则，所以.故选：B4．已知，且，则（

）A． B．C． D．【详解】，得，即，解得或（舍去），又.故选：A.5．若函数在上为增函数，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【详解】，令，得，∴函数在，单调递增，由题知在上单调递增，∵，∴，解得.故选：B.6．已知.求的单调递增区间.【详解】化简得，令，，解得，所以单调递增区间为，.7．当时，函数取得最小值，则．【详解】由函数，其中，且为锐角，当时，函数取得最小值，所以，即，所以，令，即，故.8．当时，函数取得最大值，则.【详解】利用辅助角公式，其中当时，函数取得最大值，则，所以，所以又，所以故答案为：.9．已知函数．（1）求函数的单调增区间；（2）函数在区间上的最大值和最小值．【详解】（1），则由，得，所以函数的单调递增区间为（2）因为，所以，所以，所以，所以当，即时，取的最小值，当，即时，取的最大值；习题演练1．（2024年新课标全国Ⅰ卷）已知，则（

）A． B． C． D．【详解】因为，所以，而，所以，故即，从而，故，故选：A.2．（2024年新课标全国Ⅱ卷）已知为第一象限角，为第三象限角，，，则.【详解】法一：由题意得，因为，，则，，又因为，则，，则，则，联立，解得.法二：因为为第一象限角，为第三象限角，则,，，则故答案为：.3．已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（

）A．0 B． C． D．【详解】因为，即，即角的终边经过点，所以，，所以.故选：D4．已知，则（

）A． B． C． D．【详解】展开得，两边同平方有，即，解得，故选：B.5．已知非零向量，，若，则（