26届高三备考核心微专题二面角计算的八种方法

62.二面角的计算八种常见方法及应用本节介绍二面角的计算及应用，首先介绍二面角计算的几何方法，其次介绍课本上两个二面角计算模型，最后再介绍向量法计算二面角，最终形成一个完整的理论体系.一．基本原理★1.定义法（1）定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面；直线叫做二面角的棱，半平面和叫做二面角的面．记法：.（2）二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，如图所示，以点为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱的射线，则射线和构成的叫做二面角的平面角．★2.垂面法由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角。如图，过二面角内一点作于，作于，面ABC交棱于点，则就是二面角的平面角。★3.三垂线法（1）方法：自二面角的一个面上一点向另外一个面作垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即斜足），斜足和面上一点的连线与斜足和垂足的连线所夹的角，即为二面角的平面角（2）具体演示：在平面内选一点向另一个平面作垂线，垂足为，再过点向棱作垂线，垂足为，连接，则就是二面角的平面角。★4.射影面积法（1）方法：已知平面内一个多边形的面积为，它在平面内的射影图形的面积为，平面和平面所成的二面角的大小为，则.这个方法对于无棱二面角的求解很简便.★5.“模型法”如下图，所示为四面体，已知二面角大小为，其外接球问题的步骤如下：（1）找出和的外接圆圆心，分别记为和．（2）分别过和作平面和平面的垂线，其交点为球心，记为．（3）过作的垂线，垂足记为，连接，则．（4）在四棱锥中，垂直于平面，如图所示，底面四边形的四个顶点共圆且为该圆的直径．如图，设、为面与面的外接圆圆心，其半径分别为、，两相交面的二面角记为，公共弦为的弦长为，四面体球的半径.两圆、的弦心距:；两圆、的圆心距:，由于四边形的四个顶点共圆且为该圆的直径，而，则由正弦定理：，于是外接球的半径可得，进一步整理： ①特别地，当时，代入可得：②★6.向量法（1）如图①，，是二面角的两个面内与棱垂直的直线，则二面角的大小．（2）如图②③，，分别是二面角的两个半平面的法向量，则二面角的大小满足：①；②若二面角为锐二面角（取正），则；若二面角为顿二面角（取负），则.★7.三面角定理由空间一点出发不共面的三条射线，，及相邻两射线所在平面构成的几何图形叫三面角，记为．其中叫做三面角的顶点，面，，叫做三面角的面，，，叫做三面角的三个面角，分别记为，，，二面角、、叫做三面角的二面角，设二面角的平面角大小为，则.证明：如图，，，在上取一点，过在平面内作，交于，过在平面内作，交于，连接，则是二面角的平面角，即.设，在直角三角形中，，在直角三角形中，，，在中，，在中，，即为，所以.★8.水坝模型如图，甲站在水库底面上的点处，乙站在水坝斜面上的点处.从到直线（库底与水坝的交钱）的距离和分别为和,的长为，的长为，则库底与水坝所成二面角的余弦值为：二．典例分析1.定义法例1（2024年新高考1卷）．如图，四棱锥中，底面ABCD，，．(1)若，证明：平面；(2)若，且二面角的正弦值为，求．解析：（2）如图所示，过点D作于，再过点作于，连接，因为平面，所以平面平面，而平面平面，所以平面，又，所以平面，根据二面角的定义可知，即为二面角的平面角，即，即．因为，设，则，由等面积法可得，，又，而为等腰直角三角形，所以，故，解得，即．2.三垂线法例2.如图，在底面为直角梯形的四棱锥中，，平面．．（1）求证：平面；（2）求二面角的大小．解析：（1）平面，平面．．又，．，，，即．又．平面．（2）过作，垂足为，连接．平面，是在平面上的射影，由三垂线定理知，为二面角的平面角．又，，，又，，．AEDPCBAEDPCBF在中，，．二面角的大小为．3.垂面法例3．已知二面角等于，二面角内一点满足，，，，．，．则点到棱的距离为．解析：如图所示，与确定平面，与交于点，则，，即为二面角的平面角，，从而，又，．．，则点到棱的距离是．故答案为：．例3图例4图4射影法例4.如图，已知四棱锥的底面是边长为的正方形，面，.求面与面所成的二面角的大小。解析：面，面，.又四边形是正方形，.而，面.又，面.在面的射影是，设它们的面积分别为和，所成的二面角为..故.所以面与面所成的二面角的大小为.5.模型法例5．在边长为的菱形中，，将菱形沿对角线折起，使折起后，则二面角的余弦值为A． B． C． D．解析：取中点，连接，，则，；便是二面角的平面角；在中，，，；，同样，又；由余弦定理得：．故选：A.例5图例6图例6．如图，的二面角的棱上有两点，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于．已知，，，则的长为A． B． C． D．解析：由模型2可知：C.例7.已知是半径为的球体表面上的四点，，，，则平面与平面的夹角的余弦值为（

）A． B． C． D．解析：解法1.（几何推导）设球心为，分别取，的外接圆圆心为，连接，

∵，∴点为中点，则，由为外心，故，则，由题意可得平面，故平面与平面的夹角，即为的余角.在中，，，则由正弦定理可得，由球的半径为，故，,由平面，平面，可得，则中，,即，故平面与平面的夹角为，故其余弦值为.故选:B.（解法2.二级结论）由于设分别为面，面的外接圆半径，则，代入：，可得：，故平面与平面的夹角为，故其余弦值为.向量法例8.（2024年新高考1卷）．如图，四棱锥中，底面ABCD，，．(1)若，证明：平面；(2)若，且二面角的正弦值为，求．解析：（2）设，，则①，因，如图，过点作的平行线，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系.此时有因设平面的法向量为，则，故可取；又设平面的法向量为，则，故可取；则，由题意，，即②，联立①②，解得故例9.（25届高三八省联考）在平面四边形中，，，将沿AC翻折至，其中P为动点.（1）设，三棱锥的各个顶点都在球O的球面上．（i）证明：平面平面；（ii）求球O的半径（2）求二面角的余弦值的最小值.解析：（1）在中，由，得，所以，且，即，（2）在平面中，过P作于G，在平面中，过G作，因平面,则平面.则由（1），设，以G为原点，分别为x轴和y轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则点在平面内，则，所以，设平面一个法向量分别为，则，即，取，则得；平面的一个法向量为，则，即，取，则得，所以，令，则由得，则，于是，当且仅当即时等号成立，所以二面角的余弦值的最小值为.7.三面角定理例10.（25届高三八省联考）在平面四边形中，，，将沿AC翻折至，其中P为动点.（1）设，三棱锥的各个顶点都在球O的球面上．（i）证明：平面平面；（ii）求球O的半径（2）求二面角的余弦值的最小值.解析：（1）在中，由，得，所以，且，即，（2）设二面角的大小为，根据三面角定理：，设，考虑函数，所以二面角的余弦值的最小值为.例11.（2024年新高考1卷）如图，四棱锥中，底面ABCD，，．（1）若，证明：平面；（2）若，且二面角的正弦值为，求．解析：（2）由于，故面，则，假设，那么，，.由三面角定理可得：，故.三．习题演练1.如图，四棱柱的底面是菱形，平面，，，，点为的中点.(1)求证：直线平面；(2)求证：；(3)求二面角的余弦值.解析：（1）设和交于点，连接，如图，由于，分别是，的中点，故，∵平面，平面，所以直线平面.（2）在四棱柱中，底面是菱形，则，又平面，且平面，则，∵平面，平面，∴平面.平面，∴.（3）连接，，因为，是中点，所以，因为平面，平面，所以，∴为二面角的平面角，，，，由余弦定理可知，∴二面角的余弦值为.2.如图，直三棱柱的体积为，的面积为．（1）求到平面的距离；（2）设为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值．解析：（1）设到平面的距离为，，，所以，所