北京市2025年第一次普通高中学业水平合格性考试仿真模拟数学试卷03（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1北京市2025年第一次普通高中学业水平合格性考试数学仿真模拟卷03一、选择题（本大题共20题，每小题3分，共计60分.每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的）1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】集合，，则，故选B.2．函数的零点是（

）A． B．1，2 C． D．【答案】D【解析】令，得，函数的零点是.故选D.3．已知向量，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】已知向量，则.故选：D.4．在复平面内，复数对应的点的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，所以对应的点的坐标为，故选：D.5．（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】.故选：C.6．已知角的终边过点，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意，.故选：C.7．的值为（

）A． B． C． D．1【答案】D【解析】.故选：D.8．不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】不等式化为，解得，故选B9．若直线不垂直于平面，那么平面内（

）A．不存在与l垂直的直线 B．只存在一条与l垂直的直线C．存在无数条直线与l垂直 D．以上都不对【答案】C【解析】平面内与在内的射影垂直的直线，垂直于直线，这样的直线有无数条，故C正确，则A，B、D错误.故选：C.10．若函数是定义在上的奇函数，则（

）A．0 B．1 C． D．【答案】A【解析】因为函数是定义在上的奇函数，所以，所以，故选：A.11．设a，b是实数，则""是""的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】充分性，不妨令，此时满足，但，充分性不成立，必要性，不妨令，此时满足，但，必要性不成立，故是的既不充分也不必要条件.故选：D.12．从甲、乙、丙3名学生中任选2名参加一项活动，其中1名学生参加上午的活动，另1名学生参加下午的活动，则甲参加上午活动的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】从甲、乙、丙3名学生中任选2名参加一项活动，其中1名学生参加上午的活动，另1名学生参加下午的活动，可能的结果为{(甲乙)(甲丙)(乙丙)(乙甲)(丙甲)(丙乙)}共有6种不同的方法，而甲参加上午活动，则甲被选中，还需从乙、丙二人中任选1人参加下午的活动，共有2种不同的方法，则甲参加上午活动的概率为，故选：C.13．已知函数，若，则的值为（

）A． B．2 C． D．【答案】C【解析】由已知得：当时，，解得：，或（舍），当时，，解得：，综上：的值为或,故选：C.14．在中，，则（

）A． B． C． D．3【答案】A【解析】由，所以.故选：A.15．下列函数中，在区间上存在最小值的是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】对A，在单调递减，在单调递增，所以函数在取得最小值，故A正确；对BCD，，，在单调递增，且在不能取到，所以不存在最小值，故BCD错误.故选：A.16．函数的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意得，即，解得．故选：C.17．已知圆锥的底面半径为3，母线长为4，则该圆锥的体积为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如图所示：由题意得，，，

，故选：D.18．“杂交水稻之父”袁隆平培育的超级杂交稻在全世界推广种植.某种植户为了考察所种植的杂交水稻苗的长势，从稻田中随机抽取7株水稻苗，测得苗高（单位：）分别是23，24，23，25，26，23，25.则这组数据的众数和中位数分别是（

）A．24，25 B．23，23C．23，24 D．24，24【答案】C【解析】苗高由小到大排列为：，所以这组数据的众数和中位数分别是23，24，故选C.19．某校组织全校1850名学生赴山东曲阜、陕西西安和河南洛阳三地开展研究性学习活动，每位学生选择其中一个研学地点，且每地最少有100名学生前往，则研学人数最多的地点（

）A．最多有1651名学生 B．最多有1649名学生C．最少有618名学生 D．最少有617名学生【答案】D【解析】,，即研学人数最多的地点最少有617名学生，，即研学人数最多的地点最多有名学生.故选：D.20．已知，则下列不等式成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由可得，故A错误；由可得，故B错误；由可得，故C错误；，由可得，所以，故D正确；故选：D.二、填空题（本题共4小题，每小题3分，共计12分）21．已知幂函数的图象过点，则.【答案】【解析】设，因为经过点，所以，解得，所以，22．若实数，满足，则的取值范围是．【答案】【解析】依题意，，所以，所以，所以.23．已知平面直角坐标系中，向量，单位向量满足，则x的值可以是.（写出一个正确结果即可）【答案】（或）【解析】由，则，即，即，即有，又，则，则.24．已知的，给出下列三个结论：①的定义域为；②；③，使曲线与恰有两个交点.其中所有正确结论的序号是.【答案】①②【解析】对于①：由恒成立得的定义域为，①正确；对于②：，②正确；对于③：令，变形得，作出函数的图象如下图：根据图象可得在上单调递增，故与只有一个交点，即不存在，使曲线与恰有两个交点，③错误.三、解答题（本题共4小题，共28分）25．已知（，且），且．(1)求a的值及的定义域；(2)求在上的最小值．解：（1），即，则，由题意得，∴，的定义域为：.（2），令，则，，的对称轴：，∴在上单调递增，在上单调递减；∵，∴在单调递减，由复合函数可知：时，单调递减，时，单调递增，∴.26．某同学解答一道三角函数题：“已知函数，其最小正周期为．（1）求和的值；（2）求函数在区间上的最小值及相应x的值．”该同学解答过程如下：解：（1）；因为，且，所以．（2）画出函数在上的图象，由图象可知，当时，函数的最小值．下表列出了某些数学知识：任意角的概念任意角的正弦、余弦、正切的定义弧度制的概念的正弦、余弦、正切的诱导公式弧度与角度的互化函数的图象三角函数的周期性正弦函数、余弦函数在区间上的性质同角三角函数的基本关系式正切函数在区间上的性质两角差的余弦公式函数的实际意义两角差的正弦、正切公式参数A，ω，φ对函数图象变化的影响两角和的正弦、余弦、正切公式半角的正弦、余弦、正切公式二倍角的正弦、余弦、正切公式积化和差、和差化积公式请写出该同学在解答过程中用到了此表中的哪些数学知识．解：该同学在解答过程中用到了此表中的数学知识有：①弧度制的概念；②三角函数的周期性；③函数的图象；④正弦函数在区间上的性质；⑤参数A，ω，φ对函数图象变化的影响．27．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，分别为，的中点.(1)求证：平面；(2)若，平面，求证：平面.证明：（1）连接，∵四边形是平行四边形，且是的中点，∴是的中点，∵E为PC的中点，∴，∵平面，平面，∴平面.（2）∵平面，平面，∴，∵，，平面，∴面，∵，∴平面.28．已知和数表，其中.若数表满足如下两个性质，则称数表由生成.①任意中有三个，一个3；②存在，使中恰有三个数相等.(1)判断数表是否由生成；（结论无需证明）(2)是否存在数表由生成？说明理由；解：（1）数表是由生成；检验性质①：当时，，共三个，一个3；当时，，共三个，一个3；当时，，共三个，一个3；任意中有三个，一个3；检验性质②：当时，，恰有3个数相等.（2）不存在数表由生成,理由如下:若存在这样的数表A，由性质①任意中有三个，一个3，则或-1，总有与的奇偶性相反，类似的，与的奇偶性相反，与的奇偶性相反，与的奇偶性相反；因为中恰有2个奇数，2个偶数，所以对任意的，中均有2个奇数，2个偶数，此时中至多有2个数相等，不满足性质②；综上，不存在数表由生成；（3）的所有可能的值为3，7，11.一方面，当时，可以生成数表；当时，可以生成数表；当时，可以生成数表；另一方面，若存在数表A由生成，首先证明：除以4余3；证明：对任意的，令，则，分三种情况：（i）若，且，则；（ii）若，且，则；（iii）若，且，则；均有与除以4的余数相同.特别的，“存在，使得”的一个必要不充分条件为“除以4的余数相同”；类似的，“存在，使得”的一个必要不充分条件为“除以4的余数相同”；“存在，使得”的一个必要不充分条件为“除以4的余数相同”；“存在，使得”的一个必要不充分条件为“除以4的余数相同”；“存在，使得”的一个必要不充分条件为“除以4的余数相同”；“存在，使得”的一个必要不充分条件为“除以4的余数相同”；所以，存在，使得中恰有3个数相等的一个必要不充分条件是中至少有3个数除以4的余数相同.注意到与除以4余3，除以4余0，故除以4余3.其次证明：.北京市2025年第一次普通高中学业水平合格性考试数学仿真模拟卷03一、选择题（本大题共20题，每小题3分，共计60分.每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的）1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】集合，，则，故选B.2．函数的零点是（

）A． B．1，2 C． D．【答案】D【解析】令，得，函数的零点是.故选D.3．已知向量，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】已知向量，则.故选：D.4．在复平面内，复数对应的点的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，所以对应的点的坐标为，故选：D.5．（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】.故选：C.6．已知角的终边过点，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意，.故选：C.7．的值为（

）A． B． C． D．1【答案】D【解析】.故选：D.8．不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】不等式化为，解得，故选B9．若直线不垂直于平面，那么平面内（

）A．不存在与l垂直的直线 B．只存在一条与l垂直的直线C．存在无数条直线与l垂直 D．以上都不对【答案】C【解析】平面内与在内的射影垂直的直线，垂直于直线，这样的直线有无数条，故C正确，则A，B、D错误.故选：C.10．若函数是定义在上的奇函数，则（

）A．0 B．1 C． D．【答案】A【解析】因为函数是定义在上的奇函数，所以，所以，故选：A.11．设a，b是实数，则""是""的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】充分性，不妨令，此时满足，但，充分性不成立，必要性，不妨令，此时满足，但，必要性不成立，故是的既不充分也不必要条件.故选：D.12．从甲、乙、丙3名学生中任选2名参加一项活动，其中1名学生参加上午的活动，另1名学生参加下午的活动，则甲参加上午活动的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】从甲、乙、丙3名学生中任选2名参加一项活动，其中1名学生参加上午的活动，另1名学生参加下午的活动，可能的结果为{(甲乙)(甲丙)(乙丙)(乙甲)(丙甲)(丙乙)}共有6种不同的方法，而甲参加上午活动，则甲被选中，还需从乙、丙二人中任选1人参加下午的活动，共有2种不同的方法，则甲参加上午活动的概率为，故选：C.13．已知函数，若，则的值为（

）A． B．2 C． D．【答案】C【解析】由已知得：当时，，解得：，或（舍），当时，，解得：，综上：的值为或,故选：C.14．在中，，则（

）A． B． C． D．3【答案】A【解析】由，所以.故选：A.15．下列函数中，在区间上存在最小值的是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】对A，在单调递减，在单调递增，所以函数在取得最小值，故A正确；对BCD，，，在单调递增，且在不能取到，所以不存在最小值，故BCD错误.故选：A.16．函数的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意得，即，解得．故选：C.17．已知圆锥的底面半径为3，母线长为4，则该圆锥的体积为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如图所示：由题意得，，，

，故选：D.18．“杂交水稻之父”袁隆平培育的超级杂交稻在全世界推广种植.某种植户为了考察所种植的杂交水稻苗的长势，从稻田中随机抽取7株水稻苗，测得苗高（单位：）分别是23，24，23，25，26，23，25.则这组数据的众数和中位数分别是（

）A．24，25 B．23，23C．23，24 D．24，24【答案】C【解析】苗高由小到大排列为：，所以这组数据的众数和中位数分别是23，24，故选C.19．某校组织全校1850名学生赴山东曲阜、陕西西安和河南洛阳三地开展研究性学习活动，每位学生选择其中一个研学地点，且每地最少有100名学生前往，则研学人数最多的地点（

）A．最多有1651名学生 B．最多有1649名学生C．最少有618名学生 D．最少有617名学生【答案】D【解析】,，即研学人数最多的地点最少有617名学生，，即研学人数最多的地点最多有名学生.故选：D.20．已知，则下列不等式成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由可得，故A错误；由可得，故B错误；由可得，故C错误；，由可得，所以，故D正确；故选：D.二、填空题（本题共4小题，每小题3分，共计12分）21．已知幂函数的图象过点，则.【答案】【解析】设，因为经过点，所以，解得，所以，22．若实数，满足，则的取值范围是．【答案】【解析】依题意，，所以，所以，所以.23．已知平面直角坐标系中，向量，单位向量满足，则x的值可以是.（写出一个正确结果即可）【答案】（或）【解析】由，则，即，即，即有，又，则，则.24．已知的，给出下列三个结论：①的定义域为；②；③，使曲线与恰有两个交点.其中所有正确结论的序号是.【答案】①②【解析】对于①：由恒成立得的定义域为，①正确；对于②：，②正确；对于③：令，变形得，作出函数的图象如下图：根据图象可得在上单调递增，故与只有一个交点，即不存在，使曲线与恰有两个交点，③错误.三、解答题（本题共4小题，共28分）25．已知（，且），且．(1)求a的值及的定义域；(2)求在上的最小值．解：（1），即，则，由题意得，∴，的定义域为：.（2），令，则，，的对称轴：，∴在上单调递增，在上单调递减；∵，∴在单调递减，由复合函数可知：时，单调递减，时，单调递增，∴.26．某同学解答一道三角函数题：“已知函数，其最小正周期为．（1）求和的值；（2）求函数在区间上的最小值及相应x的值．”该同学解答过程如下：解：（1）；因为，且，所以．（2）画出函数在上的图象，由图象可知，当时，函数的最小值．下表列出了某些数学知识：任意角的概念任意角的正弦、余弦、正切的定义弧度制的概念的正弦、余弦、正切的诱导公式弧度与角度的互化函数的图象三角函数的周期性正弦函数、余弦函数在区间上的性质同角三角函数的基本关系式正切函数在区间上的性质两角差的余弦公式函数的实际意义两角差的正弦、正切公式参数A，ω，φ对函数图象变化的影响两角和的正弦、余弦、正切公式半角的正弦、余弦、正切公式二倍角的正弦、余弦、正切公式积化和差、和差化积公式请写出该同学在解答过程中用到了此表中的哪些数学知识．解：该同学在解答过程中用到了此表中的数学知识有：①弧度制的概念；②三角函数的周期性；③函数的图象；④正弦函数在区间上的性质；⑤参数A，ω，φ对函数图象变化的影响．27．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，分别为，的中点.(1)求证：平面；(2)若，平面，求证：平面.证明：（1）连接，∵四边形是平行四边形，且是的中点，∴是的中点，∵E为P