三角形的外角-八年级数学上册课件（沪科版）

13.2.4三角形的外角1、在△ABC中，∠A=80°,∠B=52°,则∠C=

.3、什么是三角形的内角？其内角和等于多少？48°三角形中，相邻两边所夹的角叫作三角形的内角.三角形的内角和是180°2、如图，在△ABC中，∠A=70°,∠B=60°,

则∠ACB=

，∠ACD=

.ABCD50°130°课前热身

转化为一个平角或同旁内角互补等，思路总结CBAED21CBADECBADABCDFE这种转化思想是数学中的常用方法.为了证明三个角的和为180°,作辅助线在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线.

在平面几何里，辅助线通常画成虚线.思考：多种方法证明的核心是什么？

借助平行线的“移角”的功能，将三个角转化成一个平角或同旁内角互补.知识回顾

把

△ABC的一边BC延长至点D，三角形的外角的概念叫做在三角形内角和定理的证明中，得到∠ACD.我们曾经像这样，由三角形的一边与另一边的延长线组成的角，三角形的外角.CBAD∠ACD是

△ABC的一个外角三角形的外角应具备的条件：①

外角的顶点是三角形的一个顶点；②

外角的一条边是三角形的一边；③

另一条边是三角形某条边的延长线.

在三角形的每个顶点处有多少个外角？问题1

如图，延长AC到E，∠DCE是不是△ABC的一个外角？ECBAD∠BCE是不是△ABC的一个外角？∠BCE是△ABC的一个外角，∠DCE不是△ABC的一个外角.问题2

如图，∠ACD与∠BCE有什么关系？在三角形每个顶点处都有两个外角.∠ACD与∠BCE为对顶角，∠ACD=∠BCE；ABC画一画

画出

△ABC的所有外角，共有几个呢?三角形每一个顶点处都有两个外角，它们是对顶角，因此三角形共有6个外角.FABCDE

如图，∠BEC是哪个三角形的外角？∠AEC是哪个三角形的外角？∠EFD是哪个三角形的外角？∠BEC

是

△AEC

的外角;∠AEC是

△BEC和

△BEF

的外角;∠EFD是△BEF和

△DCF的外角.练一练三角形的外角的性质三角形的外角ACBD相邻的内角

问题1

如图，△ABC的外角∠BCD与其相邻的内角∠ACB有什么关系？即

∠BCD+∠ACB=180°三角形的外角与它相邻的内角互为邻补角.外角与相邻内角的大小不能确定。问题2

如图，△ABC的外角∠BCD与其不相邻的两内角(∠A，∠B)有什么关系？三角形的外角ACBD不相邻的内角∴

∠BCD=∠A+∠B.∵

∠A+∠B=180°-∠ACB，∠BCD=180°-∠ACB你能用作平行线的方法证明此结论吗？三角形的外角与它不相邻的两个内角的和.

等于推论3：D过点C作CE∥ABABC12∴

∠1=∠B∠2=∠A∵

∠ACD=∠1+∠2E已知：如图，△ABC，求证：∠ACD=∠A+∠B.验证结论∴∠ACD=∠A+∠B

（两直线平行，内错角相等）（两直线平行，同位角相等）证明：（等量代换）如图，试比较∠2和∠1、∠2和∠B的大小；∴∠2＞∠1探究新知解：∴∠2=∠1+∠B

∠2＞∠B

推论4：大于与它不相邻的任何一个内角.三角形的外角∵∠2是△ABC的外角推论3：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.

推论4：三角形的外角大于与它不相邻任何一个内角.ABCD∠CAD=∠B+∠C∠CAD>∠B，∠CAD>∠C三角形内角和定理的推论归纳总结

160°110°1、求下列各图中

∠1和∠2的度数.

35°

120°

1ABC21130°32°∠1=18°,∠2=50°(1)(2)(3)∠1=85°∠1=130°

对于一个外角及与它不相邻的两个内角，若已知其中任意两个角的度数，则可以求出第三个角度数.知识拓展：

2、如图、∠A=42°,∠ABD=28°,∠ACE=18°,求∠BFC的度数.FACDEB对应练习∵∠A=42°，∠ACE=18°

∴

∠BEC=∠A+∠ACE=60°∵∠ABD=28°，∠BEC=60°

∴

∠BFC=∠ABD+∠BEF

=88°解：(三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和)(三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和)3、如图，∠A=60°，∠B=20°，∠C=30°，求∠BDC的度数.ABCD解法一：延长BD交AC于点E.E∵

∠A=60°，∠B=20°∴∠DEC=80°=∠A+∠B

∵

∠DEC=80°，∠C=30°∴∠BDC=110°=∠DEC+∠C解法二：延长CD交AB于点F（解题过程同解法一）.巩固练习思路点拨：添加适当的辅助线将四边形问题转化为三角形问题.3、如图，∠A=60°，∠B=20°，∠C=30°，求

∠BDC的度数.ABCD解法三：连接AD，并延长到点E.E

1234∠4=∠2+∠C∴∠3=∠1+∠B，∴∠BDC=∠3+∠4=∠1+∠B+∠2+∠C=∠BAC+∠B+∠C又∵∠A=60°，∠B=20°，∠C=30°∴∠BDC==110°60°+20°+30°（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）巩固练习(等量代换)解题的关键是正确的构造三角形，利用三角形外角的性质及转化的思想，把未知角与已知角联系起来求解.总结4、如图，P为△ABC内一点，∠BPC＝150°，∠ABP＝20°，∠ACP＝30°，求∠A的度数．E对应练习E解析：延长BP交AC于E

或连接AP并延长，构造三角形的外角，再利用外角的性质即可求出∠A的度数．对应练习5、如图，试比较

∠3、∠2、∠1的大小.∴

∠3＞∠2

解：∵∠2是

△ABC的外角∴∠2＞∠1

又∵∠3是

△DCE的外角∴∠3＞∠2＞∠1

(三角形的外角大于与它不相邻任何一个内角）(三角形的外角大于与它不相邻任何一个内角）6、已知：如图，D是

△ABC内的一点.

求证：∠BDC>∠A对应练习ABCDE例5

如图，∠1,∠2,∠3是△ABC的三个外角.

求证：∠1+∠2+∠3=360°ABC123证明：∵

∠1=∠ABC+∠ACB∠2=∠BAC+∠BCA∠3=∠BAC+∠ABC（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）∠ABC+∠ACB+∠BAC+∠BCA+∠BAC+∠ABC∴∠1+∠2+∠3=360°=2（∠ABC+∠ACB+∠BAC）∵

∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°∴∠1+∠2+∠3=你还有其他解法吗？（三角形内角和定理）（等式的性质）（等量代换）例5

如图，∠1,∠2,∠3是△ABC的三个外角.

求证：∠1+∠2+∠3=360°ABC123证明：∵

∠1+∠BAC=180°∠2+∠ABC=180°∠3+∠BCA=180°（平角的定义）∴∠1+∠2+∠3=360°∵

∠BAC+∠ABC+∠BCA=180°∴∠1+∠2+∠3+∠BAC+∠ABC+∠BCA=540°方法二：（等式的性质）（三角形内角和定理）（等式的性质）例5

如图，∠1,∠2,∠3是△ABC的三个外角.

求证：∠1+∠2+∠3=360°ABC123证明：过点A作AD∥BC∴∠2=∠4

∠3=∠DAC（两直线平行，同位角相等）∴∠1+∠2+∠3=360°∵∠1+∠4+∠DAC=360°方法三：（周角的定义）（等量代换）D4

思考你能总结出三角形三个外角(三个顶点处各取一个)和的数量关系吗？三角形的三个外角(三个顶点处各取一个)的和等于360°.即：三角形的外角和等于360°.ABCDE1、如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数.解法一：连接CDF∵∠B+∠E=180°-∠BFE∠ECD+∠BDC=180°-∠CFD又∵

∠BFE=∠CFD∴

∠B+∠E=∠ECD+∠BDC∵∠A+∠ACE+∠ECD+∠BDC+∠ADB=180°∴∠A+∠ACE+∠B+∠E+∠ADB=180°G巩固练习

把分散的角集中到同一个三角形中，最后利用三角形的内角和定理去解决问题.

即利用“8”字型图形的性质

总结ABCDE1、如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数.FG解法二：

∵∠BFC=∠B+∠E

∠CGD=∠A+∠D又∵

∠C+∠BFC+∠CGD=180°∴∠C+∠B+∠E+∠A+∠D=180°

即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°本题的两种解法都体现了化分散为集中的转化思想，或运用外角的性质，巩固练习ＡＢＣＤＥＦ2、如图，求

∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数.解法一：连接CB∵∠E+∠F+∠EDF=180°∠DBC+∠DCB+∠BDC=180°又∵

∠EDF=∠BDC∴

∠E+∠F=∠DBC+∠DCB∵∠A+∠ABF+∠FBC+∠DCB+∠ACD=180°∴∠A+∠ABE+∠E+∠F+∠ACB=180°巩固练习2、如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数.解法二：