能力提升：勾股定理的逆定理的应用（解析版）

勾股定理的逆定理的应用能力提升篇一、单选题：1．甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是，甲客轮沿着北偏东的方向航行，后到达小岛，乙客轮到达小岛．若，两岛的直线距离为，则乙客轮离开港口时航行的方向是（

）A．北偏西 B．南偏西C．南偏东或北偏西 D．南偏东或北偏西【答案】C【分析】根据题意可得OA=30海里，OB=40海里，再利用勾股定理的逆定理证明△AOB是直角三角形，从而求出∠AOB=90°，然后分两种情况，画出图形，进行计算即可解答．【详解】解：由题意得，海里，海里，OA2+OB2=302+402=2500，AB2=502=2500，OA2+OB2=AB2，∠AOB=90°，分两种情况：如图1，=180°-30°-90°=60°，乙客轮离开港口时航行的方向是：南偏东60°，如图2，∠BON=∠AOB-∠AON=90°-30°=60°，乙客轮离开港口时航行的方向是：北偏西60°，综上所述：乙客轮离开港口时航行的方向是：南偏东60或北偏西60°，故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，方向角，根据题目的已知条件画出图形进行分析是解题的关键．2．点A（2，m），B（2，m-5）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点．若△ABO是直角三角形，则m的值不可能是（

）A．4 B．2 C．1 D．0【答案】B【分析】分∠OAB＝90°，∠OBA＝90°，∠AOB＝90°三种情况考虑：当∠OAB＝90°时，点A在x轴上，进而可得出m＝0；当∠OBA＝90°时，点B在x轴上，进而可得出m＝5；当∠AOB＝90°时，利用勾股定理可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值．综上，对照四个选项即可得出结论．【详解】解：分三种情况考虑（如图所示）：当∠OAB＝90°时，m＝0；当∠OBA＝90°时，m−5＝0，解得：m＝5；当∠AOB＝90°时，AB2＝OA2＋OB2，即25＝4＋m2＋4＋m2−10m＋25，解得：m1＝1，m2＝4．综上所述：m的值可以为0，5，1，4．故选B．【点睛】本题考查了坐标与图形性质以及勾股定理，分∠OAB＝90°，∠OBA＝90°，∠AOB＝90°三种情况求出m的值是解题的关键．3．已知在等腰三角形ABC中，D为BC的中点AD=12，BD=5，AB=13，点P为AD边上的动点，点E为AB边上的动点，则PE+PB的最小值是（

）A．10 B．12 C． D．【答案】D【分析】根据勾股定理的逆定理得到∠ADB=90°，得到点B，点C关于直线AD对称，过C作CE⊥AB交AD于P，则此时PE+PB=CE的值最小，根据三角形的面积公式即可得到结论．【详解】解：∵AD=12，BD=5，AB=13，∴AB2=AD2+BD2，∴∠ADB=90°，∵D为BC的中点，BD=CD，∴AD垂直平分BC，∴点B，点C关于直线AD对称，过C作CE⊥AB交AD于P，则此时PE+PB=CE的值最小，∵S△ABC=AB•CE=BC•AD，∴13•CE=10×12，∴CE=，∴PE+PB的最小值为，故选：D．【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，勾股定理的逆定理，两点这间线段最短，线段垂直平分线的性质，三角形的面积公式，利用两点之间线段最短来解答本题．二、填空题：4．如图，点P是等边△ABC内的一点，PA＝6，PB＝8，PC＝10，若点P′是△ABC外的一点，且△P′AB≌△PAC，则∠APB的度数为___．【答案】150°【分析】如图：连接PP′，由△PAC≌△P′AB可得PA＝P′A、∠P′AB＝∠PAC，进而可得△APP′为等边三角形易得PP′＝AP＝AP′＝6；然后再利用勾股定理逆定理可得△BPP′为直角三角形，且∠BPP′＝90°，最后根据角的和差即可解答．【详解】解：连接PP′，∵△PAC≌△P′AB，∴PA＝P′A，∠P′AB＝∠PAC，∴∠P′AP＝∠BAC＝60°，∴△APP′为等边三角形，∴PP′＝AP＝AP′＝6；∵PP′2+BP2＝BP′2，∴△BPP′为直角三角形，且∠BPP′＝90°，∴∠APB＝90°+60°＝150°．故答案为：150°．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理逆定理的应用等知识点，灵活应用相关知识点成为解答本题的关键．5．如图是一台雷达探测相关目标得到的结果，若记图中目标A的位置为(2，)，目标B的位置为(4，)，现有一个目标C的位置为(3，)，且与目标B的距离为5，则目标C的位置为______．【答案】(3，300°)或(3，120°)【分析】设中心点为点O，，由勾股定理逆定理可知，且C有两个方向，即可确定C．【详解】解：如图：设中心点为点O，在中，，，是直角三角形，且∴C的位置为：(3，)或(3，)．【点睛】本题主要考查了用方向角和距离表示点的位置，勾股定理逆定理，注意分类是解决问题的关键．6．如图，在中，，点在线段上以每秒个单位的速度从向移动，连接，当点移动_____秒时，与的边垂直．【答案】或或．【分析】设运动时间为然后分当、和三种情况运用勾股定理解答即可．【详解】解：设运动时间为则，当时，如图1所示，过点作于点，中有，，中，，中，，，，解得：；当时，如图2所示，由可知，又；当时，如图3所示，过点作于点由知，中有，中有，，又当点移动秒或秒或秒时，与边垂直．故答案为：或或．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，灵活运用勾股定理列方程以及分类讨论思想是解答本题的关键．三、解答题：7．沙尘暴是指强风将地面尘沙吹起使空气很混浊，水平能见度很低的一种天气现象．人类在发展经济过程中大肆破坏植被，导致沙尘暴爆发频数增加．如图，某气象局监测到一个沙尘暴中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一城镇，且点C与直线AB上的两点A，B的距离分别为：，，，以沙尘暴中心为圆心周围25km以内为受影响区域．(1)请通过计算说明城镇C会受到沙尘暴影响的原因；(2)若沙尘暴中心的移动速度为20km/h，则沙尘暴影响该城镇持续的时间有多长？【答案】(1)理由见解析；(2)沙尘暴影响该城镇持续的时间为．【分析】（1）过点C作，根据勾股定理逆定理可得为直角三角形，利用等面积法得出，根据题意以沙尘暴中心为圆心周围25km以内为受影响区域，即可证明；（2）在AB边上找E、F两点，连接CE、CF，当，时，沙尘暴正好影响城镇C，根据勾股定理可得，利用直角三角形全等的判定及性质可得，EF=14km，由速度与时间、路程的关系即可得出影响的时间．（1）解：如图所示：过点C作，∵AC=30km，，，∴，∴为直角三角形，∴，即30×40=50×CD，∴，∵以沙尘暴中心为圆心周围25km以内为受影响区域，，∴城镇C会受到沙尘暴影响；（2）解：如图所示：在AB边上找E、