高一升高二数学暑假提升6.3.1 平面向量的基本定理（含答案或解析）

6.3.1平面向量的基本定理导学案编写：廖云波初审：孙锐终审：孙锐廖云波【学习目标】1.理解平面向量基本定理的内容，了解向量的一组基底的含义.2.在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量.3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题．【自主学习】知识点1平面向量基本定理(1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个向量，那么对于这一平面内的向量a，实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.(2)基底：把的向量e1，e2叫做表示这一平面内向量的一组基底．知识点2两向量的夹角与垂直(1)夹角：已知两个向量a和b，如图，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角．①范围：向量a与b的夹角的范围是[0°，180°]．②当θ＝0°时，a与b．③当θ＝180°时，a与b．(2)垂直：如果a与b的夹角是90°，则称a与b垂直，记作a⊥b.

【合作探究】探究一基底的概念【例1】下面说法中，正确的是()①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；②一个平面内有无数多对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；③零向量不可作为基底中的向量；④对于平面内的任一向量a和一组基底e1，e2，使a＝λe1＋μe2成立的实数对一定是唯一的．A．②④B．②③④C．①③D．①③④归纳总结：【练习1】设{e1，e2}是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是()A．e1＋e2和e1－e2 B．3e1－4e2和6e1－8e2C．e1＋2e2和2e1＋e2 D．e1和e1＋e2探究二用基底表示向量【例2】如图所示，在△OAB中，eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，M、N分别是边OA、OB上的点，且eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)a，eq\o(ON,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)b，设eq\o(AN,\s\up6(→))与eq\o(BM,\s\up6(→))交于点P，用向量a、b表示eq\o(OP,\s\up6(→)).归纳总结：【练习2】如图所示，已知在平行四边形ABCD中，E、F分别是BC、DC边上的中点，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，试以{a，b}为基底表示eq\o(DE,\s\up6(→))、eq\o(BF,\s\up6(→)).探究三平面向量基本定理的应用【例3】如图所示，在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，M为AD的中点，若eq\o(AM,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(BC,\s\up6(→))，则λ＋μ的值为()A.eq\f(5,3) B.－eq\f(1,2)C.eq\f(1,2) D.eq\f(2,3)归纳总结：【练习3】如图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP:PM与BP:PN的值．

课后作业A组基础题一、选择题1．等边△ABC中，eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(BC,\s\up6(→))的夹角是()A．30°B．45°C．60°D．120°2．若e1，e2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是()A．e1－e2，e2－e1B．2e1＋e2，e1＋eq\f(1,2)e2C．2e2－3e1,6e1－4e2D．e1＋e2，e1－e23．下面三种说法中，正确的是()①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底；②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底；③零向量不可作为基底中的向量．A．①②B．②③C．①③D．①②③4．若a、b不共线，且λa＋μb＝0(λ，μ∈R)，则()A．a＝0，b＝0B．λ＝μ＝0C．λ＝0，b＝0D．a＝0，μ＝05.如图所示，平面内的两条直线OP1和OP2将平面分割成四个部分Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ(不包括边界)，若eq\o(OP,\s\up6(→))＝aeq\o(OP1,\s\up6(→))＋beq\o(OP2,\s\up6(→))，且点P落在第Ⅰ部分，则实数a，b满足()A．a>0，b>0B．a>0，b<0C．a<0，b>0D．a<0，b<06．下列说法中，正确说法的个数是()①在△ABC中，{eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))}可以作为基底；②能够表示一个平面内所有向量的基底是唯一的；③零向量不能作为基底．A．0B．1C．2D．37．如图，设O是▱ABCD两对角线的交点，有下列向量组：①eq\o(AD,\s\up6(→))与eq\o(AB,\s\up6(→))；②eq\o(DA,\s\up6(→))与eq\o(BC,\s\up6(→))；③eq\o(CA,\s\up6(→))与eq\o(DC,\s\up6(→))；④eq\o(OD,\s\up6(→))与eq\o(OB,\s\up6(→)).其中可作为该平面内所有向量基底的是()A．①②B．①③C．①④D．③④8．M为△ABC的重心，点D，E，F分别为三边BC，AB，AC的中点，则eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))等于()A．6eq\o(ME,\s\up6(→))B．－6eq\o(MF,\s\up6(→))C．0D．6eq\o(MD,\s\up6(→))二、填空题9.设e1、e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e1与e1＋e2；②e1－2e2与e2－2e1；③e1－2e2与4e2－2e1；④e1＋e2与e1－e2.其中能作为平面内所有向量的一组基底的序号是______．(写出所有满足条件的序号)10.如图，已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，eq\o(BD,\s\up6(→))＝3eq\o(DC,\s\up6(→))，用a，b表示eq\o(AD,\s\up6(→))，则eq\o(AD,\s\up6(→))＝________.11．设向量m＝2a－3b，n＝4a－2b，p＝3a＋2b，若用m，n表示p，则p＝________.12．在△ABC中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝c，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b.若点D满足eq\o(BD,\s\up6(→))＝2eq\o(DC,\s\up6(→))，则eq\o(AD,\s\up6(→))＝____________.(用b、c表示)13．已知向量e1、e2不共线，实数x、y满足(3x－4y)e1＋(2x－3y)e2＝6e1＋3e2，则x－y＝3.

14.如图，平面内有三个向量eq\o(OA,\s\up6(→))、eq\o(OB,\s\up6(→))、eq\o(OC,\s\up6(→)).其中eq\o(OA,\s\up6(→))与eq\o(OB,\s\up6(→))的夹角为120°，eq\o(OA,\s\up6(→))与eq\o(OC,\s\up6(→))的夹角为30°，且|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝1，|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝2eq\r(3)，若eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为________．15．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝eq\f(1,2)AB，BE＝eq\f(2,3)BC，若eq\o(DE,\s\up6(→))＝λ1eq\o(AB,\s\up6(→))＋λ2eq\o(AC,\s\up6(→))(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．三、解答题16.如图所示，在△ABC中，点M为AB的中点，且AN＝eq\f(1,2)NC，BN与CM相交于点E，设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，试以a，b为基底表示eq\o(AE,\s\up6(→)).17.如图所示，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在边AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求证：AP∶PM＝4∶1.

18．在平行四边形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，(1)如图1，如果E，F分别是BC，DC的中点，试用a，b分别表示eq\o(BF,\s\up6(→))，eq\o(DE,\s\up6(→)).(2)如图2，如果O是AC与BD的交点，G是DO的中点，试用a，b表示eq\o(AG,\s\up6(→)).

B组能力提升一、选择题1.如图，在梯形ABCD中，AB//CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2DC，E是BC的中点，F是AE上一点，2，则（）A． B．C． D．2.在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若，，则（）A． B． C． D．3.中，、分别是、上的点，且，，与交于点，则下列式子正确的是（）A． B．C． D．4.如图，在直角梯形ABCD中，AB=2AD=2DC，E为BC边上一点，BC =3 EC ，FA．13AB C．−13AB5.如图，正方形中，是的中点，若，则（）A． B． C． D．6.如图四边形ABCD为平行四边形，，若，则的值为（）A． B． C． D．17.如图，在平行四边形中，为的中点，为的中点，若，则()A． B． C． D．

二、填空题8.如图，在中，，点在线段上移动（不含端点），若，则的取值范围是_____．9.在中，D为线段上一点，且，若，则.10.在中，为上一点，，为上任一点，若，则的最小值是.三、解答题11.如图，△ABC中，AD为三角形BC边上的中线且AE＝2EC，BE交AD于G，求eq\f(AG,GD)及eq\f(BG,GE)的值．6.3.1平面向量的基本定理导学案编写：廖云波初审：孙锐终审：孙锐廖云波【学习目标】1.理解平面向量基本定理的内容，了解向量的一组基底的含义.2.在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量.3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题．【自主学习】知识点1平面向量基本定理(1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.(2)基底：把不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．知识点2两向量的夹角与垂直(1)夹角：已知两个非零向量a和b，如图，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角．①范围：向量a与b的夹角的范围是[0°，180°]．②当θ＝0°时，a与b同向．③当θ＝180°时，a与b反向．(2)垂直：如果a与b的夹角是90°，则称a与b垂直，记作a⊥b.

【合作探究】探究一基底的概念【例1】下面说法中，正确的是()①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；②一个平面内有无数多对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；③零向量不可作为基底中的向量；④对于平面内的任一向量a和一组基底e1，e2，使a＝λe1＋μe2成立的实数对一定是唯一的．A．②④B．②③④C．①③D．①③④[答案]B[解析]因为不共线的任意两个向量均可作为平面的一组基底，故②③正确，①不正确；由平面向量基本定理知④正确．综上可得②③④正确．归纳总结：根据平面向量基底的定义知，判断能否作为基底问题可转化为判断两个向量是否共线的问题，若不共线，则它们可以作为一组基底；若共线，则它们不能作为一组基底.【练习1】设{e1，e2}是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是()A．e1＋e2和e1－e2 B．3e1－4e2和6e1－8e2C．e1＋2e2和2e1＋e2 D．e1和e1＋e2[答案]B解析：在B中，因为6e1－8e2＝2(3e1－4e2)，所以(3e1－4e2)∥(6e1－8e2)．所以3e1－4e2和6e1－8e2不能作为基底，其他三个选项中的两组向量都不平行，故都可以作为一组基底．探究二用基底表示向量【例2】如图所示，在△OAB中，eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，M、N分别是边OA、OB上的点，且eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)a，eq\o(ON,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)b，设eq\o(AN,\s\up6(→))与eq\o(BM,\s\up6(→))交于点P，用向量a、b表示eq\o(OP,\s\up6(→)).[答案]eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,5)a＋eq\f(2,5)b.[分析]利用“表示方法的唯一性”确定参数，进而确定λ1，λ2.[解]∵eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\o(MP,\s\up6(→))，eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(ON,\s\up6(→))＋eq\o(NP,\s\up6(→))，设eq\o(MP,\s\up6(→))＝meq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(NP,\s\up6(→))＝neq\o(NA,\s\up6(→))，则eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))＋meq\o(MB,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)a＋m(b－eq\f(1,3)a)＝eq\f(1,3)(1－m)a＋mb，eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(ON,\s\up6(→))＋neq\o(NA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(1－n)b＋na.∵a与b不共线，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)1－m＝n，,\f(1,2)1－n＝m，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(2,5)，,n＝\f(1,5).))∴eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,5)a＋eq\f(2,5)b.归纳总结：将两个不共线的向量作为基底表示其他向量，基本方法有两种：一种是运用向量的线性运算法则对待求向量不断转化，直至用基底表示为止；另一种是列向量方程组，利用基底表示向量的唯一性求解.【练习2】如图所示，已知在平行四边形ABCD中，E、F分别是BC、DC边上的中点，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，试以{a，b}为基底表示eq\o(DE,\s\up6(→))、eq\o(BF,\s\up6(→)).[答案]eq\o(DE,\s\up6(→))=a－eq\f(1,2)b;eq\o(BF,\s\up6(→))＝b－eq\f(1,2)a解：∵四边形ABCD是平行四边形，E、F分别是BC、DC边上的中点，∴eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＝2eq\o(BE,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＝2eq\o(CF,\s\up6(→))，∴eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)b，eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a.∴eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＝－eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＝－b＋a＋eq\f(1,2)b＝a－eq\f(1,2)b.eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝b－eq\f(1,2)a.探究三平面向量基本定理的应用【例3】如图所示，在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，M为AD的中点，若eq\o(AM,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(BC,\s\up6(→))，则λ＋μ的值为()A.eq\f(5,3) B.－eq\f(1,2)C.eq\f(1,2) D.eq\f(2,3)[答案]D[解析]∵在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，∴在△ABD中，BD＝eq\f(1,2)AB＝1.又BC＝3，∴BD＝eq\f(1,3)BC，∴eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→)).∵M为AD的中点，∴eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(BC,\s\up6(→)).∵eq\o(AM,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(BC,\s\up6(→))，∴λ＝eq\f(1,2)，μ＝eq\f(1,6)，∴λ＋μ＝eq\f(2,3).归纳总结：应用平面向量基本定理解题时，关键在于选取合适的基底，要注意与已知条件的联系.【练习3】如图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP:PM与BP:PN的值．[答案]AP:PM＝4:1，BP:PN＝3:2解：设eq\o(BM,\s\up6(→))＝e1，eq\o(CN,\s\up6(→))＝e2，则eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CM,\s\up6(→))＝－3e2－e1，eq\o(BN,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CN,\s\up6(→))＝2e1＋e2.因为点A，P，M和点B，P，N分别共线，所以存在实数λ，μ使得eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AM,\s\up6(→))＝－λe1－3λe2，eq\o(BP,\s\up6(→))＝μeq\o(BN,\s\up6(→))＝2μe1＋μe2.故eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(BP,\s\up6(→))＋eq\o(PA,\s\up6(→))＝eq\o(BP,\s\up6(→))－eq\o(AP,\s\up6(→))＝(λ＋2μ)e1＋(3λ＋μ)e2.又eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＝2e1＋3e2，由平面向量基本定理，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＋2μ＝2，,3λ＋μ＝3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(4,5)，,μ＝\f(3,5)，))所以eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(4,5)eq\o(AM,\s\up6(→))，eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\f(3,5)eq\o(BN,\s\up6(→))，所以AP:PM＝4:1，BP:PN＝3:2.

课后作业A组基础题一、选择题1．等边△ABC中，eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(BC,\s\up6(→))的夹角是()A．30°B．45°C．60°D．120°答案D2．若e1，e2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是()A．e1－e2，e2－e1B．2e1＋e2，e1＋eq\f(1,2)e2C．2e2－3e1,6e1－4e2D．e1＋e2，e1－e2答案D3．下面三种说法中，正确的是()①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底；②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底；③零向量不可作为基底中的向量．A．①②B．②③C．①③D．①②③答案B4．若a、b不共线，且λa＋μb＝0(λ，μ∈R)，则()A．a＝0，b＝0B．λ＝μ＝0C．λ＝0，b＝0D．a＝0，μ＝0答案B5.如图所示，平面内的两条直线OP1和OP2将平面分割成四个部分Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ(不包括边界)，若eq\o(OP,\s\up6(→))＝aeq\o(OP1,\s\up6(→))＋beq\o(OP2,\s\up6(→))，且点P落在第Ⅰ部分，则实数a，b满足()A．a>0，b>0B．a>0，b<0C．a<0，b>0D．a<0，b<0答案C解析当点P落在第Ⅰ部分时，eq\o(OP,\s\up6(→))按向量eq\o(OP1,\s\up6(→))与eq\o(OP2,\s\up6(→))分解时，一个与eq\o(OP1,\s\up6(→))反向，一个与eq\o(OP2,\s\up6(→))同向，故a<0，b>0.6．下列说法中，正确说法的个数是()①在△ABC中，{eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))}可以作为基底；②能够表示一个平面内所有向量的基底是唯一的；③零向量不能作为基底．A．0B．1C．2D．3[答案]C解析：①③正确，②错误．7．如图，设O是▱ABCD两对角线的交点，有下列向量组：①eq\o(AD,\s\up6(→))与eq\o(AB,\s\up6(→))；②eq\o(DA,\s\up6(→))与eq\o(BC,\s\up6(→))；③eq\o(CA,\s\up6(→))与eq\o(DC,\s\up6(→))；④eq\o(OD,\s\up6(→))与eq\o(OB,\s\up6(→)).其中可作为该平面内所有向量基底的是()A．①②B．①③C．①④D．③④[答案]B解析：eq\o(AD,\s\up6(→))与eq\o(AB,\s\up6(→))不共线，eq\o(DA,\s\up6(→))∥eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(CA,\s\up6(→))与eq\o(DC,\s\up6(→))不共线，eq\o(OD,\s\up6(→))∥eq\o(OB,\s\up6(→))，则①③可以作为该平面内所有向量的基底．8．M为△ABC的重心，点D，E，F分别为三边BC，AB，AC的中点，则eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))等于()A．6eq\o(ME,\s\up6(→))B．－6eq\o(MF,\s\up6(→))C．0D．6eq\o(MD,\s\up6(→))答案C解析eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))＝eq\o(MA,\s\up6(→))＋2eq\o(MD,\s\up6(→))＝eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(AM,\s\up6(→))＝0.二、填空题9.设e1、e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e1与e1＋e2；②e1－2e2与e2－2e1；③e1－2e2与4e2－2e1；④e1＋e2与e1－e2.其中能作为平面内所有向量的一组基底的序号是______．(写出所有满足条件的序号)答案①②④解析对于③4e2－2e1＝－2e1＋4e2＝－2(e1－2e2)，∴e1－2e2与4e2－2e1共线，不能作为基底．10.如图，已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，eq\o(BD,\s\up6(→))＝3eq\o(DC,\s\up6(→))，用a，b表示eq\o(AD,\s\up6(→))，则eq\o(AD,\s\up6(→))＝________.答案eq\f(1,4)a＋eq\f(3,4)b解析eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)a＋eq\f(3,4)b.11．设向量m＝2a－3b，n＝4a－2b，p＝3a＋2b，若用m，n表示p，则p＝________.答案－eq\f(7,4)m＋eq\f(13,8)n解析设p＝xm＋yn，则3a＋2b＝x(2a－3b)＋y(4a－2b)＝(2x＋4y)a＋(－3x－2y)b，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋4y＝3,－3x－2y＝2))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(7,4)，,y＝\f(13,8).))12．在△ABC中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝c，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b.若点D满足eq\o(BD,\s\up6(→))＝2eq\o(DC,\s\up6(→))，则eq\o(AD,\s\up6(→))＝____________.(用b、c表示)答案eq\f(2,3)b＋eq\f(1,3)c解析eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)b＋eq\f(1,3)c.13．已知向量e1、e2不共线，实数x、y满足(3x－4y)e1＋(2x－3y)e2＝6e1＋3e2，则x－y＝3.[答案]3解析：∵e1、e2不共线，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－4y＝6，,2x－3y＝3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝6，,y＝3，))∴x－y＝3.14.如图，平面内有三个向量eq\o(OA,\s\up6(→))、eq\o(OB,\s\up6(→))、eq\o(OC,\s\up6(→)).其中eq\o(OA,\s\up6(→))与eq\o(OB,\s\up6(→))的夹角为120°，eq\o(OA,\s\up6(→))与eq\o(OC,\s\up6(→))的夹角为30°，且|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝1，|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝2eq\r(3)，若eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为________．答案6解析如图，以OA、OB所在射线为邻边，OC为对角线作平行四边形ODCE，则eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\o(OE,\s\up6(→)).在Rt△OCD中，∵|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝2eq\r(3)，∠COD＝30°，∠OCD＝90°，∴|eq\o(OD,\s\up6(→))|＝4，|eq\o(CD,\s\up6(→))|＝2，故eq\o(OD,\s\up6(→))＝4eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OE,\s\up6(→))＝2eq\o(OB,\s\up6(→))，即λ＝4，μ＝2，∴λ＋μ＝6.15．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝eq\f(1,2)AB，BE＝eq\f(2,3)BC，若eq\o(DE,\s\up6(→))＝λ1eq\o(AB,\s\up6(→))＋λ2eq\o(AC,\s\up6(→))(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．答案eq\f(1,2)解析易知eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝－eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→)).所以λ1＋λ2＝eq\f(1,2).三、解答题16.如图所示，在△ABC中，点M为AB的中点，且AN＝eq\f(1,2)NC，BN与CM相交于点E，设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，试以a，b为基底表示eq\o(AE,\s\up6(→)).解∵eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)b，eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a，由N，E，B三点共线知存在实数λ满足eq\o(AE,\s\up6(→))＝λeq\o(AN,\s\up6(→))＋(1－λ)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)λb＋(1－λ)a.由C，E，M三点共线知存在实数μ满足eq\o(AE,\s\up6(→))＝μeq\o(AM,\s\up6(→))＋(1－μ)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(μ,2)a＋(1－μ)b.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－λ＝\f(μ,2)，,1－μ＝\f(λ,3)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(3,5)，,μ＝\f(4,5).))∴eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)a＋eq\f(1,5)b.17.如图所示，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在边AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求证：AP∶PM＝4∶1.证明设eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，eq\o(AC,\s\up6(→))＝c，则eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c，eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(BN,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)c－b.∵eq\o(AP,\s\up6(→))∥eq\o(AM,\s\up6(→))，eq\o(BP,\s\up6(→))∥eq\o(BN,\s\up6(→))，∴存在λ，μ∈R，使得eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AM,\s\up6(→))，eq\o(BP,\s\up6(→))＝μeq\o(BN,\s\up6(→))，又∵eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))，∴λeq\o(AM,\s\up6(→))－μeq\o(BN,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))，∴由λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)b＋\f(1,2)c))－μeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)c－b))＝b得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)λ＋μ))b＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)λ－\f(2,3)μ))c＝b.又∵b与c不共线．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)λ＋μ＝1，,\f(1,2)λ－\f(2,3)μ＝0.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(4,5)，,μ＝\f(3,5).))故eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(4,5)eq\o(AM,\s\up6(→))，即AP∶PM＝4∶1.18．在平行四边形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，(1)如图1，如果E，F分别是BC，DC的中点，试用a，b分别表示eq\o(BF,\s\up6(→))，eq\o(DE,\s\up6(→)).(2)如图2，如果O是AC与BD的交点，G是DO的中点，试用a，b表示eq\o(AG,\s\up6(→)).解(1)eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a＋b.eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝a－eq\f(1,2)b.(2)eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝b－a，∵O是BD的中点，G是DO的中点，∴eq\o(BG,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)(b－a)，∴eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BG,\s\up6(→))＝a＋eq\f(3,4)(b－a)＝eq\f(1,4)a＋eq\f(3,4)b.

B组能力提升一、选择题1.如图，在梯形ABCD中，AB//CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2DC，E是BC的中点，F是AE上一点，2，则（）A． B．C． D．【答案】C【解析】由梯形ABCD中，ABCD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2DC，E是BC的中点，F是AE上一点，2，则；故选：C2.在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若，，则（）A． B． C． D．【答案】B【解析】如图，可知=，选B.3.中，、分别是、上的点，且，，与交于点，则下列式子正确的是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】如下图所示：连接，则，，，，因此，.故选：