2024北京北师大实验中学高二（上）开学考数学试题及答案

试题试题2024北京北师大实验中学高二（上）开学考数学2024年8月本试卷共4页，共150分．考试时长90分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题，共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知角的终边经过点，则（）A. B. C. D.2.若复数满足，则复平面内表示的点在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.的值为（）A. B. C. D.14.在中，，则（）A. B. C. D.5.已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A.若，，则 B.若，l//m，则C.若，，则 D.若，α//β，则6.下列函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递增的是（）A. B. C. D.7.将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象关于点对称，则的最小值为（）A. B. C. D.8.在中，已知，则下列说法正确的是（）A.当时，是锐角三角形B.当时，是直角三角形C.当时，是钝角三角形D.当时，是等腰三角形9.已知是非零向量，则“”是“对于任意的，都有成立”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件10.海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐.一般早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节某天的时间与水深值（单位：）的部分记录表.时间0:003:006:009:0012:00水深值5.07.55.02.55.0据分析，这个港口的水深值与时间的关系可近似的用三角函数来描述.试估计13：00的水深值为（）A.3.75 B.5.83 C.6.25 D.6.67第一部分（非选择题，共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11.若，则________．12.在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称.若角的终边与单位圆交于点，则_____________.13.已知菱形的边长为，，，则_________________.14.陀螺是中国民间的娱乐工具之一，早期陀螺的形状由同底的一个圆柱和一个圆锥组合而成（如图）．已知一木制陀螺模型内接于一表面积为的球，其中圆柱的两个底面为球的两个截面，圆锥的顶点在该球的球面上，若圆柱的高为2cm，则该圆柱的侧面积为__________，该陀螺的体积为__________．15.在棱长为1的正方体中，，，分别为棱，，的中点，动点在平面内，且.给出下列四个结论：①平面；②点轨迹的长度为；③存在点，使得直线平面；④平面截正方体所得的截面面积为.其中所有正确结论的序号是_________________.三、解答题共6小题，共85分．解答题应写出文字说明，验算步骤或证明过程．16.已知函数．（1）求的值和的零点；（2）求的单调递增区间．17.如图，在长方体中，，，为的中点．（1）求证：平面；（2）求证：平面平面；（3）求点到平面的距离．18.已知．（1）求；（2）若，求的最小值．19.在中，．（1）求；（2）若的面积是，求的最小值．20.如图1，在中，，，，，分别为，的中点．将沿折起到的位置，得到四棱锥，如图2．（1）求证：；（2）若M是线段上的点，平面与线段交于点N．再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知．使点M唯一确定，并解答问题．（ⅰ）求证：为的中点；（ⅱ）求证：平面．条件①；条件②；条件③．注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分，如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．21.已知n维向量，给定，定义变换；选取，再选取一个实数x，对的坐标进行如下改变：若此时，则将同时加上x．其余坐标不变；若此时，则将及同时加上x，其余坐标不变．若a经过有限次变换（每次变换所取的i，x的值可能不同）后，最终得到的向量满足，则称a为k阶可等向量．例如，向量经过两次变换可得：，所以是2阶可等向量．（1）判断是否是2阶可等向量？说明理由；（2）若取1，2，3，4的一个排序得到的向量是2阶可等向量，求；（3）若任取的一个排序得到的n维向量均为k阶可等向量．则称为k阶强可等向量．求证：向量是5阶强可等向量．

参考答案第一部分（选择题，共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.【答案】C【分析】根据条件，利用三角函数的定义，即可求出结果.【详解】因为角的终边经过点，所以，故选：C.2.【答案】C【分析】根据除法运算求得，再根据复数的几何意义分析判断.【详解】因为，则，所以平面内表示的点为，位于第三象限.故选：C.3.【答案】B【分析】逆用和、差角的余弦公式化简、求值.【详解】故选：B4.【答案】B【分析】利用正弦定理将边化角，即可求出，从而得解.【详解】因为，由正弦定理可得，即，又，所以.故选：B5.【答案】D【分析】根据线线，线面及面面位置关系判断各个选项即可.【详解】对于A:若,则可能，A错误；对于B:若,则可能,B错误；对于C:若则可能不垂直，C错误；对于D:若,则,D正确.故选：D.6.【答案】B【分析】对于A，在单调递增，在单调递增，故A错误；对于B，作出函数的大致图象，由图可知，B正确；对于C，函数在单调递减，故C错误；对于D，函数最小正周期为，故D错误.【详解】对于A，函数的最小正周期为，当时，，所以在单调递增，在单调递减，故A错误；对于B，作出函数的大致图象如图所示，函数的最小正周期为，且在区间单调递增，故B正确；对于C，函数最小正周期为，由，得，当时，在单调递减，故C错误；对于D，函数最小正周期为，故D错误.故选：B.7.【答案】A【分析】由三角函数平移变换可得函数解析式，令，，可得对称中心，进而得到的最小值.【详解】将函数的图象向右平移个单位得：，令，，得，所以图象的对称中心为，，当时，取得最小值.故选：A.8.【答案】B【分析】根据正弦定理逐项判断即可.【详解】因为，由正弦定理得，对于，当时，，由且可知，，可得，所以为钝角三角形,错误；对于，当时，，即为直角，正确；对于，当时，，可知不存在，三角形不存在，错误；对于，当时，，又，所以，所以，显然不可能是等腰三角形，D错误.故选：B.9.【答案】C【分析】根据充分条件、必要条件的定义及数量积的运算律判断即可.【详解】因为是非零向量，若，则，所以，所以对于任意的，都有成立，故充分性成立；若对于任意的，都有成立，则，即，所以，所以，所以，故必要性成立；所以“”是“对于任意的，都有成立”的充要条件.故选：C10.【答案】C【分析】观察表中数据求出周期和最大最小值，然后可得，将表中最大值点坐标代入解析式可得，然后可得所求.【详解】记时间为，水深值为，设时间与水深值的函数关系式为，由表中数据可知，，所以，，所以，又时，，所以，所以，即，所以，，即13:00的水深值大约为.故选：C第一部分（非选择题，共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11.【答案】【分析】将变形为计算即可．【详解】解：，，故答案为【点睛】本题考查复数的除法，及模的计算，是基础题．12.【答案】【分析】先根据角与角的终边关于轴对称，且角的终边与单位圆交于点，得到角的终边与单位圆的交点，然后利用正弦函数的定义求解.【详解】因为角与角的终边关于轴对称，且角的终边与单位圆交于点，所以，解得，当时，即角的终边与单位圆的交点，所以.当时，即角的终边与单位圆的交点，所以.综上所述，.故答案为：13.【答案】【分析】利用向量的线性运算得到，，再利用数量积的定义及运算，即可求出结果.【详解】因为，所以，又，所以，又菱形的边长为，，所以，故答案为：.14.【答案】①.②.【分析】先求出陀螺的外接球的半径，再利用勾殿定理求出圆柱的底面半径，以及圆维的母线长和高，从而求出结果.【详解】设圆柱的底面半径为，高为，圆锥的高为、陀螺的外接球的半径为,由题意可知，，,,圆柱的侧面积为，圆柱体积为；圆锥的高为,所以圆锥的体积为；该陀螺的体积为故答案为:；.15.【答案】①②④【分析】根据都是棱的中点，可以做出过的截面，再根据正方体的棱长和的长度，可确定点的轨迹，从而可判断各个结论的正确性.【详解】如图：因为，分别为，中点，所以，又，所以，又平面，平面，所以平面，故①成立；连接，交EG于点，易证平面，，，所以，故点轨迹是平面内以为圆心，以为半径的圆，所以点轨迹长度为：，故②成立；由②可知，不可能与平面垂直，故③不成立；做出截面，可知截面是正六边形，且边长为，其面积为：，故④成立.故答案为：①②④【点睛】方法点睛：根据线面平行的判定和性质，可以确定过点三点的截面.三、解答题共6小题，共85分．解答题应写出文字说明，验算步骤或证明过程．16.【答案】（1），的零点为；（2）的单调递增区间为.【分析】（1）先应用诱导公式及两角和差化简，再根据正弦函数的对称中心求出零点即可；（2）应用正弦函数的单调区间求解即可.【小问1详解】令，所以．所以的零点为【小问2详解】因为的单调递增区间为所以．所以所以函数的单调递增区间为17.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.【分析】（1）令，由三角形中位线性质，线面平行的判定推理即得.（2）利用线面垂直、面面垂直的判定推理即得.（3）过作于，由（2）的结论，结合面面垂直的性质推理计算即得.【小问1详解】在长方体中，令，则为中点，连接，由为的中点，得，而平面，平面，所以平面.【小问2详解】由平面，平面，得，矩形中，，则矩形为正方形，，而平面，则平面，又平面，所以平面平面.【小问3详解】在中，过作于，由平面平面，平面平面，平面，因此平面，显然，，在中，，所以点到平面的距离为.18.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）先求，然后直接求的平方即可得解；（2）利用向量的运算律，将转化为关于的二次函数，然后求出最值即可.【小问1详解】因为，，因为所以，【小问2详解】由（1）知，，因为所以当时，的最小值为19.【答案】（1）（2）【分析】（1）用余弦定理进行边角互化可解；（2）由面积公式得到，再用余弦定理和基本不等式可解.【小问1详解】，用余弦定理得到，，化简得到，则，,则.【小问2详解】由于,．由余弦定理可得，当且仅当时等号成立，所以的最小值为.20.【答案】（1）证明见解析；（2）选择条件，答案见解析.【分析】（1）利用线面垂直的判定、性质推理即得.（2）选择条件①③，利用线面平行的判定、性质推理得（ⅰ）；利用线面垂直的判定推理得（ⅱ）.【小问1详解】在中，由，得，由，分别为，的中点，得，则，因此，而平面，则平面，又平面，所以.【小问2详解】选条件①：，（i）由，平面平面，得平面，又平面，平面平面，因此，则，而，所以，即为的中点.（ii）因为，由（i）得，则，由（1）得，又平面，所以平面.选条件③：，由，得，（i）由，平面平面，得平面，又平面，平面平面，因此，则，而，所以，即为的中点.（ii）因为，由（i）得，则，由（1）得，又平面，所以平面.条件②，，由（1）可得平面，则过直线的平面与平面相交，所得交线均与平行，给定条件为上述交线，因此这样的点M不唯一确定.21.【答案】（1）是2阶可等向量，理由见解析；（2）5；（3）证明见解析.【分析】（1）根据的定义即可求解，（2）根据的定义即可求解，，即可结合是2阶可等向量求解，（3）根据是阶可等向量，等价于是阶可等向量，即可根据变换求证.【小问1详解】是2阶可等向量．例如经过两次变换可得：【小问2详解】设进行一次变换后得，当时，当时，当时，当时，综上，我们得