2024北京东直门中学高二10月月考数学试题及答案

试题试题2024北京东直门中学高二10月月考数学2024.10考试时间：120分钟总分150分第一部分一、选择题：（共12小题，每题4分）1.在如图所示的空间直角坐标系中，是单位正方体，其中点A的坐标是（） A. B. C. D.2.在空间直角坐标系中，与点关于平面对称的点为（）A. B. C. D.3.若，，且，则（）A.， B.，C.， D.，4.长方体中，，，则点到直线的距离为A. B. C. D.5.正方体的棱长为a，则棱到面的距离为（）A. B.a C. D.6.如图所示，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱的长度都为1，且两两夹角为，则与夹角的余弦值为（）A. B. C. D.7.为了调查老师对微课堂的了解程度，某市拟采用分层抽样的方法从，，三所中学抽取60名教师进行调查，已知，，三所学校中分别有180，270，90名教师，则从学校中应抽取的人数为（）A.10 B.12 C.18 D.248.“双减”政策实施后，学生的课外阅读增多.某班50名学生到图书馆借书数量统计如下：借书数量（单位：本）5678910频数（单位：人）58131194则这50名学生的借书数量的上四分位数（第75百分位数）是（）A.8 B.8.5 C.9 D.109.下列四个说法：①若向量是空间的一个基底，则也是空间的一个基底；②空间的任意两个向量都是共面向量；③若两条不同直线的方向向量分别是，则////；④若两个不同平面的法向量分别是且，则//．其中正确的说法的个数是（）A.1 B.2 C.3 D.410.已知点，，，，则向量在向量上的投影向量的模为（）A. B.1 C. D.11.冬末春初，乍暖还寒，人们容易感冒发热，若发生群体性发热，则会影响到人们的身体健康，干扰正常工作生产，某大型公司规定：若任意连续7天，每天不超过5人体温高于37.3℃，则称没有发生群体性发热，下列连续7天体温高于37.3℃人数的统计特征数中，能判定该公司没有发生群体性发热的为（）（1）中位数为3，众数为2（2）均值小于1，中位数为1（3）均值为3，众数为4（4）均值为2，标准差为A.（1）（3） B.（3）（4） C.（2）（3） D.（2）（4）12.如图，在棱长为的正方体中，为线段的中点，为线段上的动点，则下列四个命题中正确命题的个数是（）①存在点，使得②不存在点，使得平面③三棱锥的体积是定值④不存在点，使得与所成角为A. B. C. D.与平面的法向量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结果.第二部分二、填空题：（共6小题，每题5分）13.已知两条异面直线对应的方向向量分别是，，则异面直线的夹角为___________．14.某班级有50名同学，一次数学测试平均成绩是92分，如果30名男生的平均成绩为90分，那么20名女生的平均成绩为____分.15.已知一组数1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数的方差为______.16.如图，平行六面体中，，，，则线段的长度是___________.17.已知空间向量（1）若，且，则___________；（2）若共面，在以下三个条件中①，②，③选取一个作为已知，则的值可以为___________．18.如图，在正方体中，为棱的中点．动点沿着棱从点向点移动，对于下列三个结论：①存在点，使得；②的面积越来越大；③四面体的体积不变．所有正确的结论的序号是__________．三、问答题：（共6小题，共72分）19.某市举办“强国有我，爱我中华”科技知识竞赛，赛后将参赛的2000名学生成绩分成4组：①，②，③，④，并进行统计分析，公布了如图所示的频率分布直方图．（1）估计这2000名学生科技知识竞赛成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）；（2）某同学获知自己的成绩进入本次竞赛成绩前，估计该同学的成绩不低于多少分？20.记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知，.（1）求B；（2）若时，求的面积.21.如图，在三棱锥中，点为棱上一点，且，点为线段的中点．（1）以为一组基底表示向量；（2）若，，，求．22.如图所示，点分别是正四棱柱上、下底面的中心，是的中点，.（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离；（3）求二面角的余弦值.23.如图，在五面体中，四边形是正方形，是等边三角形，平面平面，，是的中点.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成的角的大小；（3）求三棱锥的体积.24.对于维向量，若对任意均有或，则称为维向量.对于两个维向量定义.（1）若,求的值；（2）现有一个维向量序列：若且满足：，求证：该序列中不存在维向量.(3)现有一个维向量序列：若且满足：，若存在正整数使得为维向量序列中的项，求出所有的.

参考答案第一部分一、选择题：（共12小题，每题4分）1.【答案】D【分析】根据空间直角坐标系的定义求出点的坐标.【详解】点A的坐标为.故选：D2.【答案】A【分析】根据空间直角坐标系的对称点坐标特点直接求解即可.【详解】解：因为点，则其关于平面对称的点为.故选：A.3.【答案】B【分析】根据空间向量的共线条件，列出方程组，即可求解.【详解】由题意，向量，，因为，可得，即，解得.故选：B.4.【答案】A【分析】计算，，再计算距离得到答案.【详解】，，到直线的距离为.故选：A.【点睛】本题考查了利用空间向量计算距离，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.5.【答案】C【分析】连接，它们交于点，证明平面，得的长即为棱到面的距离，【详解】如图，连接，它们交于点，正方形中，又平面，平面，所以，平面，所以平面，所以的长即为棱到面的距离，而，所以所求距离为．故选：C．6.【答案】B【分析】设向量，根据向量的运算法则，求得和，且，结合向量的夹角公式，即可求解.【详解】设向量，且，可得，则，所以，，所以，且，所以.故选：B.7.【答案】A【分析】按照分层抽样原则，每部分抽取的概率相等，按比例分配给每部分，即可求解.【详解】，，三所学校教师总和为540，从中抽取60人，则从学校中应抽取的人数为人.故选:A.【点睛】本题考查分层抽样抽取方法，按比例分配是解题的关键，属于基础题.8.【答案】C【分析】根据百分位数的定义，结合统计表求四分位数.【详解】由，故第75百分位数在借书数量从小到大排序后的第38人，又，故四分位数（第75百分位数）是9.故选：C9.【答案】D【详解】试题分析：：①若向量是空间的一个基底，则也是空间的一个基底，正确．②空间的任意两个向量都是共面向量，正确．③若两条不同直线l，m的方向向量分别是，则∥∥，正确．④若两个不同平面α，β的法向量分别是，且，∵，则∥．其中正确的说法的个数是4考点：空间向量的概念10.【答案】D【分析】计算，，根据投影公式得到答案.【详解】根据题意：，，向量在上的投影向量的模为.故选：D.11.【答案】D【分析】将7个数据有小到大依次排列，举出反例证明（1）（3）不满足，假设（2）不满足，根据计算得到平均数大于1，矛盾，假设（4）不满足，计算标准差大于，矛盾，得到答案.【详解】将7个数由小到大依次记为、、、、、、.对于（1）选项，反例：、、、、、、，满足中位数为3，众数为2，与题意矛盾，（1）选项不合乎要求；对于（2）选项，假设，即该公司发生了群体性发热，因中位数为1，则，平均数为，矛盾，故假设不成立，即该公司没有发生群体性发热，（2）选项合乎要求；对于（3）选项，反例：、、、、、、，满足众数为4，均值为3，与题意矛盾，（3）选项不合乎要求；对于（4）选项，假设，即该公司发生群体性发热，若均值为2，则方差为，即，与（4）选项矛盾，故假设不成立，即该公司没有发生群体性发热，（4）选项合乎要求.故选：D12.【答案】A【分析】对于①，由、即可判断；对于②，若为中点，根据正方体、线面的性质及判定即可判断；对于③，只需求证与面是否平行；对于④，利用空间向量求直线夹角的范围即可判断.【详解】对于①，在正方体中，，，则四边形为平行四边形，所以，，而为线段的中点，即为的中点，所以，若存在点，使得，且、不重合，则，这与矛盾，假设不成立，①错；对于②，若为中点，则，而，故，又面，面，则，故，因为，、面，则面，所以存在使得平面，②错；对于③，在正方体中，，，所以，四边形为平行四边形，则，而面，故与面不平行，所以Q在线段上运动时，到面的距离不是定值，故三棱锥的体积不是定值，③错；对于④，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图示空间直角坐标系，则、，且，所以，，则，整理可得，解得，合乎题意，所以，存在点，使得与所成角为，④错.故选：A.【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法：（1）定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应的三角形，即可求出结果；（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量的夹角（两直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结果.第二部分二、填空题：（共6小题，每题5分）13.【答案】【分析】利用直线的方向向量以及向量的夹角公式求解即可.【详解】由已知，由于异面直线夹角的取值范围为所以异面直线的夹角为.故答案为：14.【答案】95【分析】利用平均数的求法计算即可.【详解】设所求平均成绩为，由题意得，∴.故答案为：9515.【答案】【分析】先根据平均数计算出的值，再根据方差的计算公式计算出这组数的方差.【详解】依题意.所以方差为.故答案为.【点睛】本小题主要考查平均数和方差的有关计算，考查运算求解能力，属于基础题.16.【答案】.【分析】先利用，再应用数量积及模长公式计算即可求解．【详解】根据平行四边形法则可得，所以，所以，故答案为：.17.【答案】①.②.或或(只需写出一个)【分析】(1)结合已知条件，利用垂直的空间向量的数量积为0和数量积的坐标运算即可求解；(2)利用空间向量的基本定理即可求解.【详解】(1)当时，，因为，所以，因为，所以，解得；(2)因为共面，所以由空间向量的基本定理可知，，选①，则，故，解得；选②，则，故，解得；选③，则，故，解得；综上所述，的值可以为或或.故答案为：；或或.18.【答案】①③【分析】建立空间直角坐标系，设，表出各点坐标，设出（），列出方程，求出m的值；判断结论①，利用点到直线距离的向量公式表达出P到直线距离，表达出的面积，进而判断结论②；③把作为底，高为点P到底面的距离，可以判断结论③.【详解】如图，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则，设，则，令，解得：，所以存在点，使得，故①正确；，，设点到直线距离为，则，所以，因为，动点沿着棱从点向点移动，所以从逐渐变到，随着的变大，的面积越来越小，②错误；以为底，高为点到上底面的距离，因为底面，所以不变，所以四面体的体积不变，③正确．故答案为：①③．【点睛】方法点睛：求点到直线的距离，方法如下：（1）等面积法：根据即可求出点到直线的距离；（2）空间向量法：根据可得出点到直线的距离.三、问答题：（共6小题，共72分）19.【答案】（1）83.5（2）92分【分析】（1）由频率分布直方图求平均数，用每一组中点的横坐标乘以频率，再全部相加；（2）求成绩前，根据求第百分位数的方法求解即可.【小问1详解】因为，所以这2000名学生竞赛成绩的平均数可以估计为83.5．【小问2详解】因为这组数据占总数的，该同学的成绩进人本次竞赛成绩前，所以．所以可以估计该同学的成绩不低于92分．20.【答案】（1）（2）【分析】（1）根据题意，由余弦定理求得，得到，再由，求得，即可求解.（2）由正弦定理，求得，再由两角和的正弦公式，求得的值，结合三角形的面积公式，即可求解.【小问1详解】因为，由余弦定理得，则，又因为，可得，因为，所以.【小问2详解】由（1）知，且，因为，由正弦定理，可得，又由，所以的面积为.21.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）直接利用向量的数乘运算及加减运算求解；（2）由向量的单项式乘多项式及向量的数量积运算求解．【小问1详解】∵为线段的中点，∴，∵，∴，∴；【小问2详解】．22.【答案】（1）证明见解析（2）（3）【分析】（1）解：以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得平面的法向量为和，根据，得到，进而证得平面；（2）由（1）知，平面的一个法向量为，且，结合向量的距离公式，即可求解；（3）利用线面垂直的判定定理，证得平面，得到平面的一个法向量为，由（1）知平面的一个法向量为，结合向量的夹角公式，即可求解.【小问1详解】解：以点为坐标原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，因为，则，可得，设平面的法向量为，则，取，可得，所以，因为，所以，又因为平面，所以平面.【小问2详解】解：由（1）知，平面的一个法向量为，且，可得，所以点到平面的距离为.【小问3详解】解：在正方形中，可得，因为平面，且平面，所以，又因为，且平面，所以平面，所以平面的一个法向量为，由（1）知，平面的一个法向量为，设二面角所成角的角为，且，所以，所以二面角所成角的余弦值为.23.【答案】（1）证明见解析（2）（3）【分析】（1）由等边中，证得，结合面面垂直的性质，即可证得平面.（2）以为坐标原点，建立空间直角坐