浦东新区2024-2025学年七年级下学期期末考试数学试卷及答案（上海新教材沪教版）

第1页/共1页浦东新区2024-2025学年七年级下学期期末考试数学试卷及答案（上海新教材沪教版）（完卷时间：90分钟满分：100分）考生注意：1．本试卷含四个大题，共28题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题3分，满分18分）1.如果，那么下列结论中不正确的是（）．A. B. C. D.2.在同一平面内，如果两条直线都垂直于第三条直线，那么这两条直线的位置关系是（）A.平行 B.垂直C.相交 D.可能垂直，也有可能平行3.如图，下列条件中，不能判断直线的是（）A. B. C. D.4.下列说法中错误是（）A.三角形的高、中线、角平分线都是线段 B.三角形的三条中线交于同一点C.三角形的三条角平分线交于同一点 D.直角三角形的三条高的交点在三角形内部5.下列条件中，能判定两个三角形全等的是（）A.有一个内角是的两个直角三角形；B.有一个内角是的两个等腰三角形；C.有一个内角为且腰长为6cm的两个等腰三角形D.有一个内角为且腰长为6cm的两个等腰三角形．6.如图，在中，是边的中点，将沿翻折，点落在点处，交于点，的面积恰好是面积的．小丽在研究这个图形时得到以下两个结论：①；②．那么下列说法中，正确的是（）A.①正确②错误 B.①错误②正确C.①、②皆正确 D.①、②皆错误二、填空题：（本大题共12题，每题2分，满分24分）7.用不等式表示“a2倍与3的差是非负数”：______．8.不等式的解集是，则a的取值范围为______．9.某关于x的不等式组的解集在数轴上表示如图所示，根据图示，该不等式组的解集为________．10.如图，已知，，，则________．11.等底等高的圆柱和圆锥的体积相差16立方米，圆锥的体积是________立方米．12.命题“全等三角形的面积相等”的逆命题是____________．13.已知等腰三角形的三边分别为，和，则的值是________．14.如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，请根据所学的三角形全等的有关知识，说明得出的依据是________．15.如图，在中，，平分，于E，周长为8，，则的周长是_______．16.如图，在四边形中，，，．过点作，垂足为点．若，，则四边形的面积是__________．17.如果一个等腰三角形其中一腰上的高与另一腰的夹角是，那么这个等腰三角形的顶角等于_____________18.如图，，点、、在射线上，点、、在射线上，且、、为等边三角形，若，则的周长为___________．三、简答题：（本大题共6题，每题5分，满分30分）19.解不等式组，并求不等式组的正整数解．20.在中，（1）若，，求的度数；（2）若是等腰三角形，，求的度数．21.甲、乙两厂家生产的课桌和座椅的质量、价格一致，每张课桌200元，每把椅子50元，甲、乙两个厂家推出各自销售的优惠方案，甲：买一张课桌送1把椅子；乙：课桌和椅子全部按原价的9折优惠．现某学校要购买60张课桌和把椅子，则什么情况下该学校到甲工厂购买更合算？22.如图，，点在边上，和相交于点，求证：．请补全证明过程，并在括号里写上理由．证明：∵∴__________=__________∴__________在和中∵所以（________）．23.请你制作一个无盖圆柱形水桶，有以下几种型号的铁皮可供搭配选择．（不考虑制作损耗，取3.14）（1）你选择的材料是__________号和________号．（2）你选择材料做成的水桶最多能装水多少千克？（1立方分米水重1千克）24.如图，在Rt中，（1）请用直尺和圆规作线段的垂直平分线，分别交线段于点（2）连接，请找出图中和相等线段（直接写出答案，无需说明理由）．四、解答题（本大题共4题，第25、26题每题6分，第27、28题每题8分，满分28分）25.小明在学习“等腰三角形两底角相等”时，他猜想“等腰三角形底角的平分线相等”．请补全已知、求证，并进行证明，验证小明的猜想．已知：如图，在中，__________求证：__________证明：26.如图，在中，点在上，，平分，交于点，点是线段的中点，连接与相等吗？请说明理由．解：结论：__________理由：∵平分∴________∵________+________．（________）又∵，∴__________+__________∴__________请完成后面的说理过程：27.如图，在中，平分交于点，于点．求证：．28.如图，在中，，高、相交于点，，且．（1）请说明的理由；（2）动点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发沿射线以每秒个单位长度的速度运动，、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动．设点的运动时间为秒，求当为何值时，的面积为．（3）在(2)条件下，点是直线上的一点且．当为何值时，以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等？请直接写出符合条件的值．

浦东新区2024-2025学年七年级下学期期末考试数学试卷及答案（上海新教材沪教版）1.如果，那么下列结论中不正确的是（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查不等式的性质，解题的关键是掌握不等式两边都加上或减去同一个数或同一个式子，不等号的方向不变；不等式两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向改变．根据不等式的性质逐个判断即可．【详解】解：如果，那么，故A不符合题意；如果，那么，故B符合题意；如果，那么，故C不符合题意；如果，那么，则，故D不符合题意．故选B．2.在同一平面内，如果两条直线都垂直于第三条直线，那么这两条直线的位置关系是（）A.平行 B.垂直C.相交 D.可能垂直，也有可能平行【答案】A【解析】【分析】根据垂直的性质和平行线的判定定理进行解答即可得出答案．【详解】解：根据同一平面内两条直线的位置关系可知，

在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行；

故选A．【点睛】此题考查了垂直的性质，解题的关键是熟练掌握垂直的性质和平行线的判定定理，是一道基础题．3.如图，下列条件中，不能判断直线的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了平行线的判定，根据同位角相等，两直线平行、内错角相等，两直线平行、同旁内角互补，两直线平行，进行逐项分析，即可作答．【详解】解：∵，∴，故A选项不符合题意；∵，∴，故C选项不符合题意；∵，∴，故D选项不符合题意；∵，∴不一定平行，故B选项符合题意，故选：B．4.下列说法中错误的是（）A.三角形的高、中线、角平分线都是线段 B.三角形的三条中线交于同一点C.三角形的三条角平分线交于同一点 D.直角三角形的三条高的交点在三角形内部【答案】D【解析】【分析】本题考查三角形的三条重要线段．根据中线，角平分线，高线的定义和性质，进行判断即可．【详解】解：A、三角形的高、中线、角平分线都是线段，选项正确；B、三角形的三条中线交于同一点，选项正确；C、三角形的三条角平分线交于同一点，选项正确；D、直角三角形的三条高的交点在直角顶点处，选项错误；故选：D．5.下列条件中，能判定两个三角形全等的是（）A.有一个内角是的两个直角三角形；B.有一个内角是的两个等腰三角形；C.有一个内角为且腰长为6cm的两个等腰三角形D.有一个内角为且腰长为6cm的两个等腰三角形．【答案】D【解析】【分析】根据各三角形的性质及全等三角形的判定对各个选项进行分析，从而得到答案．【详解】解：A、各有一个角是的两个直角三角形，因为没有指明边相等，故本选项错误；B、有一个内角是的两个等腰三角形；因为没有指明边相等，故本选项错误；C、有一个内角为且腰长为6cm的两个等腰三角形：没有确定是顶角还是底角，故本选项错误，D、有一个内角为且腰长为6cm的两个等腰三角形，的角只能是顶角，可根据判断全等，故本选项正确，故选：D．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质和全等三角形的判定，注意：全等三角形的判定定理有，，，．6.如图，在中，是边的中点，将沿翻折，点落在点处，交于点，的面积恰好是面积的．小丽在研究这个图形时得到以下两个结论：①；②．那么下列说法中，正确的是（）A.①正确②错误 B.①错误②正确C.①、②皆正确 D.①、②皆错误【答案】D【解析】【分析】本题考查了折叠的性质，三角形的面积，解题的关键是掌握折叠的性质，根据折叠的性质求解即可．【详解】解：由折叠可得：，，，，是边的中点，，，的面积恰好是面积的，，，根据已知条件无法证明故①、②皆错误，故选：D．二、填空题：（本大题共12题，每题2分，满分24分）7.用不等式表示“a的2倍与3的差是非负数”：______．【答案】2a-3≥0【解析】【分析】首先表示出a的2倍与3的差为2a-3，再表示非负数是：≥0，故可得不等式2a-3≥0．【详解】由题意得：2a-3≥0．

故答案是：2a-3≥0．【点睛】考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，关键是正确理解题意，要抓住题目中的关键词“非负数”正确选择不等号．8.不等式的解集是，则a的取值范围为______．【答案】【解析】【分析】本题考查了不等式的解集，关键是掌握不等式的性质，特别是不等式两边同时除以同一个负数，不等号的方向改变．【详解】解：∵不等式的解集是，∴，故答案为：．9.某关于x不等式组的解集在数轴上表示如图所示，根据图示，该不等式组的解集为________．【答案】【解析】浦东新区2024-2025学年七年级下学期期末考试数学试卷及答案（上海新教材沪教版）【分析】本题考查的是利用数轴表示不等式组的解集，熟练的利用数形结合的方法解题是关键．根据数轴表示不等式组的解集，即可得到答案．【详解】解：关于的不等式的解集在数轴上表示如图所示，该不等式组的解集为，故答案为：10.如图，已知，，，则________．【答案】【解析】浦东新区2024-2025学年七年级下学期期末考试数学试卷及答案（上海新教材沪教版）【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键．延长、相交得到，根据两直线平行，同旁内角互补求出，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．【详解】解：如图，延长、相交得到，，∴，，，故答案为：．11.等底等高的圆柱和圆锥的体积相差16立方米，圆锥的体积是________立方米．【答案】【解析】【分析】本题考查了等底等高的圆柱和圆锥的体积关系，等底等高的圆柱的体积是圆锥的体积的倍．根据等底等高的圆柱的体积是圆锥的体积的倍列式计算即可．【详解】解：等底等高的圆柱和圆锥的体积相差16立方米，圆锥的体积是（立方米），故答案为：．12.命题“全等三角形的面积相等”的逆命题是____________．【答案】“面积相等的两个三角形是全等三角形”【解析】【分析】本题主要考查了写出一个命题的逆命题，把原命题的结论和条件互换即可得到原命题的逆命题．【详解】解：命题“全等三角形的面积相等”的逆命题是“面积相等的三角形是全等三角形”，故答案为：“面积相等的两个三角形是全等三角形”．13.已知等腰三角形的三边分别为，和，则的值是________．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，构成三角形的条件，分为和，两种情况根据构成三角形的条件解答即可．【详解】解：当时，由于，不能够构成三角形；当时，，能构成三角形，故答案为：．14.如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，请根据所学的三角形全等的有关知识，说明得出的依据是________．【答案】【解析】【分析】本题考查了作图-基本作图，全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定定理是正确解答本题的关键．由作法易得，依据定理得到，由全等三角形的对应角相等得到．【详解】解：由作图方法可知，在与中，，∴，∴（全等三角形对应角相等）．故答案为：．15.如图，在中，，平分，于E，周长为8，，则的周长是_______．【答案】28【解析】【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质解决线段相等．根据角平分线的性质可得，根据周长为8，得出，证明，得出，即可求出结果．【详解】解：是的平分线，，，∴，∵周长为8，∴，∵在和中，∴，∴，∴的周长为：．故答案为：．16.如图，在四边形中，，，．过点作，垂足为点．若，，则四边形的面积是__________．【答案】【解析】【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握一线三等角全等模型是解题的关键．根据垂直可得，从而可得，，进而可得，然后利用证明，从而可得，，进而可得，最后根据四边形的面积的面积的面积，进行计算即可解答．【详解】解∶，四边形的面积的面积的面积故答案为：．17.如果一个等腰三角形其中一腰上的高与另一腰的夹角是，那么这个等腰三角形的顶角等于_____________【答案】或【解析】【分析】此题主要考查等腰三角形的性质，熟记三角形的高相对于三角形的三种位置关系是解题的关键，本题易出现的错误是只是求出一种情况，把三角形简单的认为是锐角三角形．因此此题属于易错题．等腰三角形的高相对于三角形有三种位置关系，三角形内部，三角形的外部，三角形的边上．根据条件可知第三种高在三角形的边上这种情况不成了，因而应分两种情况进行讨论．【详解】解：当高在三角形内部时（如图，，则，即顶角是；当高在三角形外部时（如图，，则，即顶角是．故答案为：或．18.如图，，点、、在射线上，点、、在射线上，且、、为等边三角形，若，则的周长为___________．【答案】96【解析】【分析】本题通过求解三角形的周长，考查了等边三角形的性质．利用等边三角形的性质和几何关系，证得为的中点，为的中点，，从而求得各等边三角形的边长，进而求得△周长．【详解】解：，，，，．为的中点．同理可证，为的中点，为的中点，，，，，的周长为．故答案为：96．三、简答题：（本大题共6题，每题5分，满分30分）19.解不等式组，并求不等式组的正整数解．【答案】不等式组的解集为，不等式组的正整数解为【解析】浦东新区2024-2025学年七年级下学期期末考试数学试卷及答案（上海新教材沪教版）【分析】本题主要考查了解不等式组，解题的关键是熟练求出两个不等式组的解集，然后求出不等式组的解集，最后求出结果即可．【详解】解：，解不等式①，得，解不等式②，得，原不等式组的解集为．原不等式组的正整数解为．20.在中，（1）若，，求的度数；（2）若是等腰三角形，，求度数．【答案】（1）（2）或或【解析】【分析】本题考查了等腰三角形、三角形的内角和定理，正确分三种情况讨论是解题关键．（1）根据三角形的内角和定理先求出，然后计算的度数即可（2）分①，②，③，三种情况，根据等腰三角形的定义、三角形的内角和定理即可得．【小问1详解】解：∵，∴，又∵，∴，解得，∴；【小问2详解】解：当时，则，当时，；当时，，综上所述，的度数为或或．21.甲、乙两厂家生产的课桌和座椅的质量、价格一致，每张课桌200元，每把椅子50元，甲、乙两个厂家推出各自销售的优惠方案，甲：买一张课桌送1把椅子；乙：课桌和椅子全部按原价的9折优惠．现某学校要购买60张课桌和把椅子，则什么情况下该学校到甲工厂购买更合算？【答案】当购买的椅子少于360把时，选择甲厂家合算【解析】【详解】根据题意，得，解得．答：当购买的椅子少于360把时，选择甲厂家合算．22.如图，，点在边上，和相交于点，求证：．请补全证明过程，并在括号里写上理由．证明：∵∴__________=__________∴__________在和中∵所以（________）．【答案】；；；；；；；；；【解析】【分析】本题考查了全等三角形的判定，先证，再证即可．【详解】证明：∵，∴，∴，在和中∵所以．故答案为：；；；；；；；；；．23.请你制作一个无盖圆柱形水桶，有以下几种型号的铁皮可供搭配选择．（不考虑制作损耗，取3.14）（1）你选择的材料是__________号和________号．（2）你选择的材料做成的水桶最多能装水多少千克？（1立方分米水重1千克）【答案】（1）（1），（4）（答案不唯一）（2）水桶最多能装水千克（答案不唯一）【解析】【分析】本题考查圆柱的认识及圆柱的容积，确定圆柱的组成部分是解题关键．（1）依据圆柱的底面周长等于侧面展开图（长方形）的长，据此确定可围成圆柱的底面和侧面；（2）要求圆柱的容积，只要将相关数据代入圆柱的体积公式：圆柱的体积=底面积×高，进行计算即可．【小问1详解】解：（4）号圆的周长为（分米），（1）号长方形的长为分米，选择（1）号和（4）号故答案为：（1），（4）；（答案不唯一）【小问2详解】解：选择选择（1）号和（4）号时，水桶最多能装水（千克），答：水桶最多能装水千克．（答案不唯一）24.如图，在Rt中，（1）请用直尺和圆规作线段的垂直平分线，分别交线段于点（2）连接，请找出图中和相等的线段（直接写出答案，无需说明理由）．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】本题主要考查了尺规作图．熟练掌握线段垂直平分线的作法和性质是解决问题的关键．（1）基本作图，作线段的垂直平分线，分别交线段于点，点即为所求作；（2）根据线段垂直平分线的性质即可得到答案．【小问1详解】解：如图，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于两点，作直线，分别交线段、与点，点即为所求作；【小问2详解】解：是线段的垂直平分线，．四、解答题（本大题共4题，第25、26题每题6分，第27、28题每题8分，满分28分）25.小明在学习“等腰三角形两底角相等”时，他猜想“等腰三角形底角的平分线相等”．请补全已知、求证，并进行证明，验证小明的猜想．已知：如图，在中，__________求证：__________证明：【答案】见解析【解析】【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，由等腰三角形的性质可得，进而由角平分线的定义可得，再根据可证，据此即可求证，掌握以上知识点是解题的关键．【详解】已知：如图，在中，，，平分和交，于点F，E，求证：证明：∵，∴，又∵，平分和，∴，，∴，又∵，∴，∴．26.如图，在中，点在上，，平分，交于点，点是线段的中点，连接与相等吗？请说明理由．解：结论：__________理由：∵平分∴________∵________+________．（________）又∵，∴__________+__________∴__________请完成后面的说理过程：【答案】见解析【解析】浦东新区2024-2025学年七年级下学期期末考试数学试卷及答案（上海新教材沪教版）【分析】此题主要考查了等腰三角形的判定与性质以及三角形的外角，正确得出是解题关键，利用角的平分线的意义，结合三角形的外角的性质以及等腰三角形的性质分析得出答案．【详解】解：结论：理由：∵平分（已知）∴（角平分线的意义）∵．（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）又∵，∴，∴（等量代换），（等角对等边），点F是线段的中点∴（线段中点的意义），（等腰三角形的三线合一）．27.如图，在中，平分交于点，于点．求证：．【答案】见解析【解析】【分析】本题考查了角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．延长交于点，证明，推出，，，继而得到，根据等边对等角得到，根据三角形外角的性质得到．【详解】证明：如图，延长交于点，，，平分，，在和中，，，，，，，，，，，．28.如图，在中，，高、相交于点，，且．（1）请说明的理由；（2）动点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发沿射线以每秒个单位长度的速度运动，、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动．设点的运动时间为秒，求当为何值时，的面积为．（3）在(2)的条件下，点是直线上的一点且．当为何值时，以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等？请直接写出符合条件的值．【答案】（1）见解析（2）当为或时，的面积为（3）或时，与全等【解析】【分析】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，（1）首先推导出，通过即可证明；（2）分两种情形讨论求解即可①当点在线段上时，②当点在射线上时，时；依据三角形面积计算公式解答即可；（3）分两种情形求解即可①如图中，当时，．②如图中，当时，．【小问1详解】如图1中，是高，，是高，，，，，在和中，，，【小问2详解】解：由（1）知，，，，由题意①当点在线段上时，，解得：；②当点在延长线上时，，，解得：，综上，当为或时，的面积为；【小问3详解】存．①如图2中，当时，，，．，，解得，②如图中，当时，，，．，，解得．综上所述，或时，与全等．采用启发式教学，引导学生自主探索；设计分层练习，满足不同学生的需求。学生层面：养成反思习惯，建立错题本；积极参与数学讨论，拓展思维。5.3未来研究方向探索信息技术（如AI解题助手）在数学思维训练中的应用；研究不同学习风格学生的个性化培养策略。折叠问题中必考的七大题型

图形的“折叠问题”是近年中考数学中每年必考的热点问题。折叠的对象也往往有三角形、矩形、正方形等；考查问题有求折点位置、求折线长、折纸边长周长、求重叠面积、求角度、判断线段之间关系等；解题时，灵活运用轴对称性质和背景图形性质。轴对称性质折线是对称轴、折线两边图形全等、对应点连线垂直对称轴、对应边平行或交点在对称轴上。折叠问题题型多样，变化灵活，从考察学生空间想象能力与动手操作能力的实践操作题，到直接运用折叠相关性质的说理计算题，发展到基于折叠操作的综合题，甚至是压轴题.

考查的着眼点日趋灵活，能力立意的意图日渐明显.这对于识别和理解几何图形的能力、空间思维能力和综合解决问题的能力都提出了比以往更高的要求.数轴：①画一条水平直线，在直线上取一点表示0（原点），选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向，就得到数轴。②任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。③如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另外一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，并且与原点距离相等。④数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大。正数大于0，负数小于0，正数大于负数。

■绝对值：①在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。②正数的绝对值是他的本身、负数的绝对值是他的相反数、0的绝对值是0。两个负数比较大小，绝对值大的反而小。

■有理数的运算：●加法：①同号相加，取相同的符号，把绝对值相加。②异号相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。③一个数与0相加不变。●减法：减去一个数，等于加上这个数的相反数。●乘法：①两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘。②任何数与0相乘得0。③乘积为1的两个有理数互为倒数。●除法：①除以一个数等于乘以一个数的倒数。②0不能作除数。●乘方：求N个相同因数A的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫幂，A叫底数，N叫次数。●混合顺序：先算乘法，再算乘除，最后算加减，有括号要先算括号里的。

2.实数

■无理数：无限不循环小数叫无理数

■平方根：①如果一个正数X的平方等于A，那么这个正数X就叫做A的算术平方根。②如果一个数X的平方等于A，那么这个数X就叫做A的平方根。③一个正数有2个平方根/0的平方根为0/负数没有平方根。④求一个数A的平方根运算，叫做开平方，其中A叫做被开方数。

■立方根：①如果一个数X的立方等于A，那么这个数X就叫做A的立方根。②正数的立方根是正数、0的立方根是0、负数的立方根是负数。③求一个数A的立方根的运算叫开立方，其中A叫做被开方数。

■实数：①实数分有理数和无理数。②在实数范围内，相反数，倒数，绝对值的意义和有理数范围内的相反数，倒数，绝对值的意义完全一样。③每一个实数都可以在数轴上的一个点来表示。

3.代数式

■代数式：单独一个数或者一个字母也是代数式。合并同类项：①所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项。②把同类项合并成一项就叫做合并同类项。③在合并同类项时，我们把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。

4.整式与分式

■整式：①数与字母的乘积的代数式叫单项式，几个单项式的和叫多项式，单项式和多项式统称整式。②一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数。③一个多项式中，次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数。

■整式运算：加减运算时，如果遇到括号先去括号，再合并同类项。

■幂的运算：①同底数幂相乘：a^m·a^n=a^(m+n)②幂的乘方：(a^m)n=a^mn③积的乘方：(ab)^m=a^m·b^m④同底数幂相除：a^m÷a^n=a^(m-n)(a≠0)这些公式也可以这样用：⑤a^(m+n)=a^m·a^n整式的乘法：①单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母的幂分别相乘，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式。②单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。③多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加。公式两条：平方差公式/完全平方公式●整式的除法：①单项式相除，把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同他的指数一起作为商的一个因式。②多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。●分解因式：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变化叫做把这个多项式分解因式。方法：提公因式法、运用公式法、分组分解法、十字相乘法。分式：①整式A除以整式B，如果除式B中含有分母，那么这个就是分式，对于任何一个分式，分母不为0。②分式的分子与分母同乘以或除以同一个不等于0的整式，分式的值不变。

■分式的运算：●乘法：把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母。●除法：除以一个分式等于乘以这个分式的倒数。●加减法：①同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。②异分母的分式先通分，化为同分母的分式，再加减。

■分式方程：①分母中含有未知数的方程叫分式方程。②使方程的分母为0的解称为原方程的增根。

02方程与不等式

1.方程与方程组

■一元一次方程：①在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，这样的方程叫一元一次方程。②等式两边同时加上或减去或乘以或除以（不为0）一个代数式，所得结果仍是等式。解一元一次方程的步骤：去分母，移项，合并同类项，未知数系数化为1。二元