能力提升：勾股定理的逆定理（解析版）

勾股定理的逆定理能力提升篇一、单选题：1．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B都在格点上，则下列结论错误的是（

）A．的面积为10 B．C． D．点A到直线的距离是2【答案】A【分析】求出AC，AB，根据三角形的面积公式可判断A；根据勾股定理的逆定理可判断B；根据勾股定理可判断C；根据三角形的面积结合点到直线距离的意义可判断D．【详解】解：B、∵，，，∴，∴∠BAC＝90°，本选项结论正确，不符合题意；A、∵∠BAC＝90°，，，∴，本选项结论错误，符合题意；C、由勾股定理得：，本选项结论正确，不符合题意；D、设点A到直线BC的距离为h，∵，∴，∴h＝2，即点A到直线BC的距离是2，本选项结论正确，不符合题意；故选：A．【点睛】本题主要考查的是勾股定理及其逆定理，勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么．2．已知的三边之比为，其中，点是边上的动点，则的长不可能是（

）A．5.9 B．6.5 C．8.9 D．10.5【答案】A【分析】由，设AC=x，BC=x，AB=2x，先求出AC=6，BC=，然后由勾股定理求得AC，从而求得，即可得出结论．【详解】解：由，设AC=x，BC=x，AB=2x，∵，∴2x=12，解得x=6，∴AC=6，BC=，∴，，∴，∴∠ACB=90°，∴AC，∵点是边上的动点，∴即，故B、C、D不符合题意，A项符合题意，故选：A．【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理及垂线段最短，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．3．如图，P是等边三角形内的一点，且，，，以为边在外作，连接，则以下结论中不正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据△ABC是等边三角形，得出∠ABC=60°，根据△BQC≌△BPA，得出∠CBQ=∠ABP，PB=QB=4，PA=QC=3，∠BPA=∠BQC，求出∠PBQ=60°，即可判断A；根据勾股定理的逆定理即可判断B；根据△BPQ是等边三角形，△PCQ是直角三角形即可判断D；求出∠APC=150°-∠QPC，和PC≠2QC，可得∠QPC≠30°，即可判断C．【详解】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°，∵△BQC≌△BPA，∴∠CBQ=∠ABP，PB=QB=4，PA=QC=3，∠BPA=∠BQC，∴∠PBQ=∠PBC+∠CBQ=∠PBC+∠ABP=∠ABC=60°，所以A正确，不符合题意；PQ=PB=4，PQ2+QC2=42+32=25，PC2=52=25，∴PQ2+QC2=PC2，∴∠PQC=90°，所以B正确，不符合题意；∵PB=QB=4，∠PBQ=60°，∴△BPQ是等边三角形，∴∠BPQ=60°，∴∠APB=∠BQC=∠BQP+∠PQC=60°+90°=150°，所以D正确，不符合题意；∠APC=360°-150°-60°-∠QPC=150°-∠QPC，∵PC=5，QC=PA=3,∴PC≠2QC，∵∠PQC=90°，∴∠QPC≠30°，∴∠APC≠120°．所以C不正确，符合题意．故选：C．【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的性质、等边三角形的性质、勾股定理的逆定理，解决本题的关键是综合应用以上知识．二、填空题：4．如图，在网格纸中，有A、B两个格点，试取格点C，使得是直角三角形，则这样的格点C的个数是__________个．【答案】8【分析】根据勾股定理的逆定理解答即可．【详解】解：如图所示：点的位置如，其中，，AB=2，由勾股定理得：，为直角三角形，同理：为直角三角形，网格中其他点C如图所示，所以格点C的个数是8，故答案为：8．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，关键是根据△ABC是直角三角形得出多种情况解答．5．如图，在中，，且周长为，点从点开始，沿边向点以每秒的速度移动；点从点开始，沿边向点以每秒2cm的速度移动．若同时出发，则过秒时，的面积为___________．【答案】18【分析】首先设AB为3xcm，BC为4xcm，AC为5xcm，利用方程求出三角形的三边，由勾股定理的逆定理得出三角形为直角三角形．再求出3秒后的，BP，BQ的长，利用三角形的面积公式计算求解．【详解】解：设AB为3xcm，BC为4xcm，AC为5xcm，∵周长为36cm，则AB+BC+AC＝36cm，∴3x+4x+5x＝36，解得x＝3，∴AB＝9cm，BC＝12cm，AC＝15cm，∵AB2+BC2＝AC2，∴△ABC是直角三角形，过3秒时，BP＝9﹣3×1＝6（cm），BQ＝2×3＝6（cm），∴S△PBQ＝BP•BQ＝×（9﹣3）×6＝18（cm2）．故答案为：18．【点睛】此题主要考查了勾股定理逆定理、三角形的面积．由勾股定理的逆定理得出三角形为直角三角形，是解题的关键．6．如图，在中，，，，是的平分线，若、分别是和上的动点，则的最小值是________【答案】【分析】作，，根据角平分线的性质，得出，再根据垂线段最短，可得有最小值，最小值为的长，再根据等面积法，列出方程求解即可得出答案．【详解】解：如图，过点C作交于点，交于点P，过点P作交于点Q，是的平分线，，根据垂线段最短可知，此时有最小值，最小值为的长，，，，由勾股定理可知，，，，，的最小值为，故答案为：．【点睛】本题考查了角平分线的性质、垂线段最短、勾股定理等知识，正确找出符合条件的点P、Q的位置是本题关键．三、解答题：7．如图，正方形网格的每个小方格边长均为1，ABC的顶点在格点上．(1)直接写出AB=________，BC=________，AC=________；(2)判断ABC的形状，并说明理由；(3)直接写出BC边上的高=________．【答案】(1)，，；(2)△ABC是直角三角形，理由见解析；(3)．【分析】（1）根据勾股定理即可求解；（2）根据勾股定理的逆定理即可求解；（3）根据三角形的高的定义可得出答案．【详解】（1）解：根据题意，，，；故答案为：，，；（2）解：△ABC是直角三角形，理由如下：∵，，；∴，∴∠ABC=90°，∴△ABC是直角三角形；（3）解：∵在△ABC中，∠ABC=90°∴BC边上的高为AB，∴BC边上的高为，故答案为：．【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握网格结构，勾股定理，勾股定理的逆定理是解题的关键．8．如图，已知在中，，垂足为点，，，．(1)求的长；(2)求证：．【答案】(1)12(2)证明见解析【分析】（1）在中利用勾股定理求得的长即可；