2025中考数学冲刺抢押秘籍(山东济南版)猜押03数与式概率(第11~12题)(解析版)

猜押03数与式，概率（第11~12题）猜押考点3年山东济南真题考情分析押题依据数与式2024年山东济南卷第11题，2023年山东济南卷第11题、2022年山东济南卷第13、16题数与式常考查因式分解、分式（化简、运算及有意义的条件）、代数式求值、无理数估算等。考查方式以填空题、选择题为主，难度适中，注重基础知识和运算能力的考查。概率考查方向包括几何概率、根据概率公式计算概率、用列表法或树状图求概率、数据分析等。题型多样，选择、填空、解答题均有出现，难度中等，侧重考查学生对概率概念的理解和方法的运用。数与式是数学运算和代数学习的基础，因式分解、分式运算等内容贯穿初中数学学习；概率知识与实际生活紧密相连，能有效考查学生运用数学知识解决实际问题的能力。这两部分知识在课程标准中占据重要地位，也是历年中考的高频考点，因此预测在2025年山东济南中考中，仍会重点考查这两类题型。概率2024年山东济南卷第12题，2023年山东济南卷第12题、2022年山东济南卷第14题题型一数与式方向一因式分解1．因式分解：．【答案】【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键.根据提公因式法分解因式即可．【详解】解：故答案为：．2．分解因式：．【答案】【分析】本题考查了运用平方差公式进行因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．根据平方差公式进行因式分解即可．【详解】解：，故答案为：．3．因式分解：．【答案】【分析】此题主要考查因式分解，解题的关键是熟知因式分解的方法，先提取公因式，再根据十字相乘法分解即可．【详解】解：，故答案为：．4．因式分解：．【答案】【分析】本题考查提公因式和公式法综合运用分解因式，熟练掌握提公因式和公式法分解因式．先提公因式，再运用公式法分解因式即可．【详解】解：，故答案为：．5．因式分解：．【答案】【分析】本题考查了因式分解，掌握分解因式的方法是解题关键．先提公因式，再利用完全平方公式求解即可．【详解】解：，故答案为：.6．分解因式．【答案】【分析】本题考查的是因式分解，直接提取公因式分解因式即可；【详解】解：；故答案为：7．分解因式：．【答案】【分析】原式利用平方差公式分解即可．此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．【详解】解：原式，故答案为：8．分解因式：．【答案】【分析】本题考查因式分解，先提公因式，再利用公式法因式分解即可．【详解】解：．9（2024·山东济南·一模）因式分解：．【答案】【分析】先提取公因式9，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题关键．【详解】原式=故答案为：方向二分式10．化简的结果为．【答案】/【分析】本题考查了分式的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据分式的乘法法则计算即可．【详解】解：，故答案为：．11．计算：．【答案】【分析】本题考查了分式运算的知识；解题的关键是熟练掌握分式加减运算的性质，从而完成求解．根据分式加减法的性质计算，即可得到答案．【详解】解：故答案为：．12．化简：．【答案】/【分析】本题考查了分式的混合运算，平方差公式，根据相应的运算法则计算即可．【详解】解：．故答案为：．13．若分式有意义，则的值可以是．【答案】1（答案不唯一）【分析】本题主要考查分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件（分母不为零）是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解．【详解】解：若分式有意义，则，∴的值可以是1，故答案为：1（答案不唯一）．14．已知代数式的值比代数式大2，则.【答案】4【分析】本题考查了解分式方程，先根据题意列式，得，解出方程的解，注意要验根，即可作答．【详解】解：∵代数式的值比代数式大2，∴，去分母，得，解出，经检验：是原分式方程的解，故答案为：4．方向三代数式求值15．若a、b互为相反数，c为的立方根，则．【答案】2【分析】本题考查相反数的性质和立方根的定义，实数的相关概念及性质是基础且重要知识点，必须熟练掌握．根据相反数的性质及立方根定义求得，的值，然后将原代数式变形为后代入数值计算即可．【详解】解：、互为相反数，，为的立方根，，则，故答案为：2．16．若m是方程的一个根，则的值为．【答案】2019【分析】本题主要考查一元二次方程的解的运用、代数式求值，根据题意，可得，将代数式变形，整体代入即可求解，掌握代数式的变形计算，一元二次方程的解的运用是解题的关键．【详解】解：m是方程的一个根，即，，故答案为：2019．方向四无理数的估算17．若且a为整数，则a的值是．【答案】4【分析】本题主要考查了无理数的估算．先估算在哪两个整数之间，然后根据已知条件，求出即可．【详解】解：，即，，，故答案为：4．18．若m是大于且小于的一个整数，则m的值可以是（写出一个即可）．【答案】2或3【分析】本题考查的是无理数的估算，掌握估算的方法是解本题的关键，根据，从而可得答案．【详解】解：∵，m是大于且小于的一个整数，∴或，故答案为：2或319．大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能以小数形式全部写出来，因为的整数部分是1，于是可以用表示的小数部分．类似的，的小数部分可以表示为．【答案】【分析】本题考查了求无理数的整数部分以及小数部分，先模仿题干的过程，得出，即可作答．【详解】解：∵，∴，∴是的小数部分，故答案为：．20．已知是到之间的一个整数，的相反数是它本身，则的值为．【答案】【分析】本题考查了无理数的估算，相反数的概念，代数式求值，零指数幂，首先根据无理数的估算求出，根据相反数的概念求出，然后代入求解即可．【详解】∵∴∵是到之间的一个整数，∴∵的相反数是它本身，∴∴．故答案为：．题型二概率方向一几何概率1．如图，将一枚飞镖任意投掷到正方形镖盘内，若飞锤落在镖盘内各点的机会相等，则飞镖落在阴影区域的概率为．【答案】【分析】本题考查几何概率的知识，求出小正方形的面积是关键．设，则圆的直径为，求出小正方形的面积，即可求出几何概率．【详解】解：如图：连接，，设，则圆的直径为，∵四边形是正方形，∴，∴小正方形的面积为：，则飞镖落在阴影区域的概率为：．故答案为：．2．如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成．向游戏板随机投掷一枚飞镖（每次飞镖均落在纸板上），击中阴影区域的概率是．【答案】【分析】本题考查了求几何概率，熟练掌握几何概率的计算方法是解题的关键．飞镖游戏板由大小相等的个小正方形格子构成，阴影区域由大小相等的个小正方形格子构成，根据概率公式计算即可得到答案．【详解】解：飞镖游戏板由大小相等的个小正方形格子构成，阴影区域由大小相等的个小正方形格子构成，击中阴影区域的概率是，故答案为：．3．《易经》：“易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦”．太极图是关于太极思想的图示，里面包含表示一阴一阳的图形，在不考虑颜色的情况下，它是一个中心对称图形．如图，在太极图的大圆形内部随机取一点，则此点取自太极图中黑色部分的概率是．【答案】【分析】本题考查几何概率，中心对称图形的性质，熟练掌握几何概率等于几何图形面积比是解题的关键．利用图形的对称性质，图形黑色部分与白色部分面积相等，等于圆面积的一半，根据几何概率的计算公式计算即可．【详解】解：∵太极图是中心对称图形，∴黑色部分与白色部分面积相等，即黑色阴影区域占圆的面积的一半，∴在太极图中随机取一点，此点取自黑色部分的概率是，故答案为：4．如图，随机地投放一粒米，米粒落在阴影部分（边界忽略不计）的概率是．【答案】【分析】此题主要考查了几何概率，正确掌握概率公式是解题关键．直接表示出图中阴影部分的面积所占分率，进而得出落在阴影部分的概率．【详解】解：由轴对称的性质可得：故米粒落在图中阴影部分的概率是，故答案为：．5．如图，的对角线相交于点O，过点O，且点E，H在边上，点G，F在边上，向内部投掷飞镖，飞镖恰好落在阴影区域的概率为．【答案】【分析】本题考查平行四边形的性质和几何概率问题，因为是平行四边形，所以关于点O中心对称，所以，再根据几何概率即可求得答案．【详解】解：由题意可知关于点O中心对称，∴，∴，∴飞镖恰好落在阴影区域的概率=．故答案为：．6．如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形构成，向游戏板随机投掷一枚飞镖（飞镖每次都落在游戏板上），击中阴影部分的概率为．【答案】【分析】此题主要考查概率公式，解题的关键是熟知几何概率的公式．根据几何概率的求解公式即可求解．【详解】解：总面积为9个小正方形的面积，其中阴影部分面积为3个小正方形的面积，击中阴影部分的概率是．故答案为：．7．七巧板是我国古代的一项发明，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形板、一块正方形板和一块平行四边形板组成．如图，在七巧板铺成的正方形地板上，一个小球自由滚动，则小球停留在阴影部分的概率为．【答案】【分析】本题考查几何概率的求法．根据几何概率的求法：小球停留在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．【详解】解：设总面积为16，则其中阴影部分面积为，小球停留在阴影部分的概率是．故答案为：．8．如图，在的长方形网格飞镖游戏板中，每块小正方形除颜色外都相同，小正方形的顶点称为格点，扇形的圆心及弧的两端均为格点．假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的（击中扇形的边界或没有击中游戏板，则重投1次），任意投掷飞镖1次，飞镖击中扇形（阴影部分）的概率是，则图中扇形的面积为．【答案】【分析】本题考查了概率公式，利用阴影部分面积除以整个长方形网格的面积即可求解，熟练掌握概率公式的应用是解题的关键．【详解】解：∵击中扇形（阴影部分）的概率是，∴，即，∴，故答案为：．方向二根据概率公式计算概率9．有8张背面完全相同的卡片，其中4张写有“富强”、2张写有“爱国”、2张写有“敬业”．从这些卡片中任意抽取一张，抽到“敬业”的概率是．【答案】【分析】本题考查求概率，利用概率公式进行计算即可．【详解】解：∵从这些卡片中任意抽取一张，共有8种等可能，其中抽到“敬业”的有2种可能情况，∴抽到“敬业”的概率是；故答案为：．10．九年级一班有8个学习小组，数学老师采用随机抽签的方式确定出一个小组进行展示活动，则第5小组被抽到的概率是．【答案】【分析】本题考查了概率的求法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率．由于共有8个小组，随机抽一个小组，有8种结果，且每个小组被抽中的可能性都相等，根据概率公式即可得解．【详解】解：共8个小组，随机抽一个小组，有8种结果，且每个小组被抽中的可能性都相等，第5小组被抽到的概率是．故答案为：．方向三列表法或树状图求概率11．某校在劳动课上，设置了植树、种花、除草三个劳动项目．九年一班和九年二班都通过抽签的方式从这三个项目中随机抽取一个项目，则这两个班级恰好都抽到种花的概率是．【答案】【分析】本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．画树状图，共有9种等可能的结果，其中九年一班和九年二班恰好都抽到种花的结果有1种，再由概率公式求解即可．【详解】解：把植树、种花、除草三个劳动项目分别记为、、，画树状图如下：共有9种等可能的结果，其中九年一班和九年二班恰好都抽到种花的结果有1种，这两个班级恰好都抽到种花的概率是，故答案为：．12．爸爸生日快到了，亮亮准备为爸爸煮四个大汤圆作早点:一个芝麻馅，一个水果馅，两个花生馅，妈妈担心爸爸不够吃又增加了两个花生馅的汤圆．这些汤圆除内部馅料不同外，其它一切均相同．则增加两个花生馅的汤圆后爸爸吃到的前两个汤圆都是花生馅的概率是．【答案】/0.4【分析】本题考查列表或画树状图法求概率，首先分别用A，B，C表示芝麻馅、水果馅、花生馅的大汤圆，然后根据题意画树状图，再由树状图求得所有等可能的结果与爸爸吃前两个汤圆刚好都是花生馅的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案；【详解】解：分别用A，B，C表示芝麻馅、水果馅、花生馅的大汤圆，画树状图得：∵共有30种等可能的结果，爸爸吃前两个汤圆都是花生的有12种情况，∴爸爸吃前两个汤圆都是花生的概率为：，故答案为：．方向四数据分析13．图①和图②中的两组数据，分别是甲、乙两地年月日至日每天的最高气温，设这两组数据的方差分别为，，则．【答案】【分析】本题考查了折线统计图和方差，根据折线统计图和方差的意义进行求解即可，掌握方差的意义是解题的关键．【详解】解：由图象可知，甲地的气温波动小，比较稳定，乙地的气温波动大，更不稳定，∴，故答案为：．14．在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的10名运动员的成绩如下表所示：成绩1.401.501.601.701.80人数/名13231则这10名运动员成绩的中位数是．【答案】【分析】本题考查了求数据的中位数，熟悉中位数的概念是解题的关键．按照求中位数的方法进行即可．【详解】解：把数据按从小到大排列，最中间的两个数为第5、6两个数据，它们分别是，，∴中位数为：．故答案为：．15．2023年8月6日，随着裁判的一声哨响，章丘区首届农民篮球赛（简称“村”）在官庄街道石匣村正式启动；火爆出圈“村”，让老百姓享受到了运动带来的快乐，真正提高了群众的体育意识和生活质量．在观看过某场比赛后，有9名学生去参加定点投篮比赛，每人投篮10次，投中的次数统计如下：3，6，4，6，4，3，6，5，7．这组数据的中位数和众数分别是，．【答案】56【分析】本题考查了中位数和众数，根据中位数和众数的定义求解即可．【详解】解：将数据从小到大排序为：3，3，4，4，5，6，6，6，7，本次数据的中位数为排序后的第5个数据，即5，本次数据中投中的次数为6次出现的最多，出现了3次，本次数据的众数为6，故答案为：5，6．方向五由频率估计概率16．如图，为测量一个“泉”字的面积，某同学将该“泉”字贴在一个边长为的正方形内．现将米粒随机撒到贴有“泉”字的正方形内，经过大量重复试验，发现米粒落在“泉”字区域的频率稳定在常数0.4附近，由此可估计这个“泉”字的面积是．【答案】【分析】本题考查了利用频率估计概率，已知米粒落在“泉”字区域的频率稳定在常数附近，根据频率估计概率的知识可得：米粒落在“泉”字区域的概率约为；联系概率的计算方法可知：“泉”字的面积=正方形的面积×米粒落在“泉”字区域的概率；接下来由正方形的边长为结合正方形的面积公式即可得到“泉”字的面积．【详解】解：由频率估计概率的知识可得：米粒落在“泉”字区域的概率约为，所以“泉”字的面积约为．故答案为：160．17．当今大数据时代，“二维码”广泛应用于我们的日常生活中，某兴趣小组从某个二维码中开展数学实验活动．如图，在边长为5的正方形区域内，为了估计图中黑白部分的面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.35左右，据此可以估计黑色部分的总面积为．【答案】8.75【分析】本题考查利用频率估算概