专题05 全等三角形（2）解析版

专题05全等三角形（2）考点7：\o"全等三角形的判定与性质"全等三角形的判定与性质1．如图，在△ABC中，AC＝BC，过点B作射线BF，在射线BF上取一点E，使得∠CBF＝∠CAE，过点C作射线BF的垂线，垂足为点D，连接AE，若DE＝1，AE＝4，则BD的长度为（）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】B【解析】如图，连接CE，过点C作CM⊥AE交AE于M．∵CD⊥BF，CM⊥AM，∴∠CDB＝∠M＝90°，在△CDB△CMA中，，∴△CDB≌△CMA（AAS），∴CM＝CD，BD＝AM，在Rt△CED和Rt△CEM，，∴Rt△CED≌Rt△CEM（HL），∴DE＝EM＝1，∴BD＝AM＝AE+EM＝AE+DE＝1+4＝5，故选：B．2．如图，点O在AD上，∠A＝∠C，∠AOC＝∠BOD，AB＝CD，AD＝6，OB＝2，则OC的长为（）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】C【解析】∵∠AOC＝∠BOD，∴∠AOB＝∠COD，∵∠A＝∠C，CD＝AB，∴△AOB≌△COD（AAS），∴OA＝OC，OB＝OD＝2，∵AD＝6cm，∴OA＝AB﹣OD＝6﹣2＝4，∴OC＝OA＝4．故选：C．3．如图，已知AB∥CF，E为DF的中点．若AB＝12cm，CF＝7cm，则BD的长为（）A．5cm B．6cm C．7cm D．4.5cm【答案】A【解析】∵AB∥CF，∴∠ADE＝∠CFE，∵E为DF的中点，∴DE＝FE，在△ADE和△CFE中，，∴△ADE≌△CFE（ASA），∴AD＝CF＝7cm，∵AB＝12cm，∴BD＝12﹣7＝5cm．故选：A．4．如图，已知△ABC的面积为16，BP平分∠ABC，且AP⊥BP于点P，则△BPC的面积是（）A．12 B．8 C．6 D．4【答案】B【解析】直线AP与BC的交点为点D，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP＝∠DBP，∵AP⊥BP，∴∠APB＝∠DBP，在△APB和△DPB中，，∴△APB≌△DPB（ASA），∴AP＝PD，∴S△APB＝S△DPB，S△APC＝S△DPC，∴△BPC的面积＝×△ABC的面积＝8，故选：B．5．如图，∠A＝∠EGF，点F为BE与CG的中点，DB＝4，DE＝7，则EG长为_______．【答案】．【解析】∵∠A＝∠EGF，∠AGD＝∠EGF，∴∠A＝∠AGD，∴AD＝DG，设AD＝x，则DG＝x，在△EGF和△BCF中，∵，∴△EGF≌△BCF（SAS），∴BC＝EG，∠E＝∠EBC，∴EG∥BC，∴∠AGD＝∠C＝∠A，∴BC＝AB＝x+4＝EG，∵DE＝7，∴x+x+4＝7，x＝，∴EG＝x+4＝，故答案为：．6．如图，在△ABC中，∠B＝30°，EF＝10，CF＝6．D是AC的中点，点E在AB上，点F在BC上．若∠EDF＝90°，则AE＝_______．【答案】．【解析】延长FD至点H，使得FD＝DH，连接AH，过H作HG⊥AB，交BA的延长线于点G，∵D是AD的中点，∴DA＝DC，在△DAH和△DCF中，，∴△DAH≌△DCF（SAS），∴AH＝CF＝6，∠DAH＝∠C，∴AH∥BC，∴∠HAG＝∠B＝30°，∴HG＝＝3，AG＝AH•cos30°＝3，∵DE⊥DF，DH＝DF，∴EH＝EF＝10，∴EG＝，∴AE＝EG﹣AG＝．故答案为：．7．如图，已知CB⊥AD，AE⊥CD，垂足分别为B，E，AE，BC相交于点F，AB＝BC．若AB＝8，CF＝2，则BD＝_______．【答案】6．【解析】证明：∵CB⊥AD，AE⊥CD，∴∠ABF＝∠CBD＝∠AED＝90°，∴∠A+∠D＝∠C+∠D＝90°，∴∠A＝∠C，在△ABF和△CBD中，，∴△ABF≌△CBD（ASA），∴BF＝BD，∵BC＝AB＝8，BF＝BC﹣CF＝8﹣2＝6，∴BD＝BF＝6；8．如图，在△ABC与△DEF中，B、E、C、F在同一条直线上，AB＝DE，AC∥DF，∠A＝∠D，求证：BE＝CF．【答案】见解析【解析】证明：∵AC∥DF，∴∠ACB＝∠DFE，在△ABC与△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（AAS），∴BC＝EF，∴BC﹣EC＝EF﹣EC，即BE＝CF．考点8：\o"全等三角形的应用"全等三角形的应用1．一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块，小亮现在要带其中的一块去配成与原来一样大小的三角形玻璃，小亮去时应该带（）A．第一块 B．第二块 C．第三块 D．第四块【答案】D【解析】一、二、三块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去，只有第四块有完整的两角及夹边，符合ASA，满足题目要求的条件，是符合题意的．故选：D．2．如图，A、B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达A，B的点C，连接AC并延长到点D，使CD＝CA，连接BC并延长到点E，使CE＝CB，连接DE并且测出DE的长即为A，B间的距离，这样实际上可以得到△ABC≌△DEC，理由是（）A．SSS B．AAS C．ASA D．SAS【答案】D【解析】证明：在△ABC和△DEC中，∴△ABC≌△DEC（SAS）．故选：D．3．如图，一块三角形的玻璃碎成了三块，现要到玻璃店去配一块完全一样的，则最省事的办法是（）A．带③去 B．带②去 C．带①去 D．带①和②去【答案】A【解析】一块三角形的玻璃碎成了三块，现要到玻璃店去配一块完全一样的，则最省事的办法是带③去，故选：A．4．如图，某同学不小心把一块三角形玻璃打碎成三块，现在要到玻璃店配一块与原来完全相同的玻璃，最省事的方法是（）A．带①和②去 B．只带②去 C．只带③去 D．都带去【答案】C【解析】根据三角形全等的判定方法，根据角边角可确定一个全等三角形，只有第三块玻璃包括了两角和它们的夹边，只有带③去才能配一块完全一样的玻璃，是符合题意的．故选：C．5．有一座小山，现要在小山A，B的两端开一条隧道，施工队要知道A，B两端的距离，于是先在平地上取一个可以直接到达点A和点B的点C，连接AC并延长到D，使CD＝CA，连接BC并延长到E，使CE＝CB，连接DE．经测量DE，EC，DC的长度分别为800m，500m，400m，则A，B之间的距离为_______m．【答案】800．【解析】在△ABC和△EDC中，∴△ABC≌△EDC（SAS），∴AB＝DE＝800．答：A，B之间的距离为800m．6．如图，把两根钢条AB，CD的中点连在一起做成卡钳，可测量工件内槽的宽，已知AC的长度是6cm，则工件内槽的宽BD是_______cm．【答案】6．【解析】∵把两根钢条AB，CD的中点连在一起做成卡钳，∴AO＝BO，CO＝DO，在△BOD和△AOC中，∴△BOD≌△AOC（SAS），∴BD＝AC＝6cm，7．图所示，A，B在一条河的两侧，若BE＝DE，∠B＝∠D＝90°，CD＝160m，则河宽AB等于_______m．【答案】160．【解析】∵在△ABE和△CDE中，∴△ABE≌△CDE（ASA），∴CD＝AB＝160m，8．要测量河两岸相对的两点A，B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C，D，使CD＝BC，再定出BF的垂线DE，使A，C，E在一条直线上（如图所示），可以说明△EDC≌△ABC，得ED＝AB，因此测得ED的长就是AB的长，请你运用自己所学知识说明他们的做法是正确的．【答案】见解析【解析】证明：∵BF⊥AB，DE⊥BD，∴∠ABC＝∠BDE又∵CD＝BC，∠ACB＝∠DCE∴△EDC≌△ABC（ASA），∴DE＝BA．考点9：\o"作图—尺规作图的定义"作图—尺规作图的定义1．下列关于几何画图的语句，正确的是（）A．延长射线AB到点C，使BC＝2AB B．点P在线段AB上，点Q在直线AB的反向延长线上 C．将射线OA绕点O旋转，当终止位置OB与起始位置OA成一条直线时形成平角 D．已知线段a、b，若在同一直线上作线段AB＝a，BC＝b，则线段AC＝a+b【答案】C【解析】A．延长射线AB到点C，使BC＝2AB，因为射线不能延长，所以A选项错误，不符合题意；B．因为直线不能反向延长，所以B选项错误，不符合题意；C．将射线OA绕点O旋转，当终止位置OB与起始位置OA成一条直线时形成平角．C选项正确，符号题意；D．已知线段a、b，若在同一直线上作线段AB＝a，BC＝b，则线段AC＝a+b或＝a﹣b．所以D选项错误，不符合题意．故选：C．2．下列作图语句正确的是（）A．连接AD，并且平分∠BAC B．延长射线AB C．作∠AOB的平分线OC D．过点A作AB∥CD∥EF【答案】C【解析】A．连接AD，不能同时使平分∠BAC，此作图错误；B．只能反向延长射线AB，此作图错误；C．作∠AOB的平分线OC，此作图正确；D．过点A作AB∥CD或AB∥EF，此作图错误；故选：C．3．下列画图的语句中，正确的为（）A．画直线AB＝10cm B．画射线OB＝10cm C．延长射线BA到C，使BA＝BC D．画线段CD＝2cm【答案】D【解析】A、错误．直线没有长度；B、错误．射线没有长度；C、错误．射线有无限延伸性，不需要延长；D、正确．故选：D．4．下列画图的语句中，正确的为（）A．画直线AB＝10cm B．画射线OB＝10cm C．延长射线BA到C，使BA＝BC D．过直线AB外一点画一条直线和直线AB相交【答案】D【解析】A、错误．直线没有长度；B、错误．射线没有长度；C、错误．射线有无限延伸性，不需要延长；D、正确．故选：D．5．下列说法：其中正确的是_______．（填序号）①用圆规在已知直线上截取一条线段等于已知线段属于尺规作图；②射线AB与射线BA表示同一条射线；③若AC＝BC，则点C是线段AB的中点；④钟表在8：30时，时针与分针的夹角是60°．【答案】①．【解析】①用圆规在已知直线上截取一条线段等于已知线段属于尺规作图，所以本说法正确；②射线AB与射线BA表示同一条射线，射线有方向，所以本说法错误；③若AC＝BC，则点C是线段AB的中点，A，B，C不一定在一条直线上，所以本说法错误；④钟表在8：30时，时针与分针的夹角是75°，所以本说法错误．6．下列语句表示的图形是（只填序号）①过点O的三条直线与另条一直线分别相交于点B、C、D三点：_______．②以直线AB上一点O为顶点，在直线AB的同侧画∠AOC和∠BOD：_______．③过O点的一条直线和以O为端点两条射线与另一条直线分别相交于点B、C、D三点：_______．【答案】（3），（2），（1）．【解析】①过点O的三条直线与另一条直线分别相交于点B、C、D三点的图形为（3）；②以直线AB上一点O为顶点，在直线AB的同侧画∠AOC和∠BOD的图形为（2）；③过O点的一条直线和以O为端点两条射线与另一条直线分别相交于点B、C、D三点的图形为（1）．7．作图题的书写步骤是_______、_______、_______，而且要画出_______和_______，保留_______．【答案】已知、求作、作法，图形，结论，作图痕迹．【解析】作图题的书写步骤是已知、求作、作法，而且要画出图形和结论，保留作图痕迹．8．如图，利用尺规，在△ABC的边AC上方作∠CAE＝∠ACB，在射线AE上截取AD＝BC，连接CD，并证明：CD∥AB（尺规作图要求保留作图痕迹，不写作法）【答案】见解析【解析】图象如图所示，∵∠EAC＝∠ACB，∴AD∥CB，∵AD＝BC，∠DAC＝∠ACB，AC＝CA，∴△ACD≌△CAB（SAS），∴∠ACD＝∠CAB，∴AB∥CD．考点10：作图—基本作图1．在以下三个图形中，根据尺规作图的痕迹，不能判断射线AD平分∠BAC的是（）A．图2 B．图1与图2 C．图1与图3 D．图2与图3【答案】A【解析】在图1中，利用基本作图可判断AD平分∠BAC；在图2中，利用基本作图得到D点为BC的中点，则AD为BC边上的中线；在图3中，利用作法得AE＝AF，AM＝AN，则可判断△ADM≌△ADN，所以∠AMD＝∠AND，则可判断△MDE≌△NDF，所以D点到AM和AN的距离相等，则可判断AD平分∠BAC．故选：A．2．用三角板作△ABC的边AC上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】A，B，C都不是△ABC的边AC上的高，只有选项D符合题意．故选：D．3．如图，在OA，OB上分别截取OD，OE，使OD＝OE，再分别以点D，E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C，作射线OC，OC就是∠AOB的角平分线．这是因为连结CD，CE，可得到△COD≌△COE，根据全等三角形对应角相等，可得∠COD＝∠COE．在这个过程中，得到△COD≌△COE的条件是（）A．SAS B．AAS C．ASA D．SSS【答案】D【解析】由作图可知，OE＝OD，CE＝CD，OC＝OC，∴△COD≌△COE（SSS），∴∠COD＝∠COE，故选：D．4．如图，用尺规作角平分线，根据作图步骤，在说明射线AN是∠BAC的平分线过程中，以下说法错误的是（）A．由作弧可知AE＝AF B．由作弧可知FP＝EP C．由SAS证明△AFP≌△AEP D．由SSS证明△AFP≌△AEP【答案】C【解析】连接PF，PE．由作图可知，AF＝AE，PF＝PE，∵AP＝AP，∴△APF≌△APE（SSS），故选项A，B，D正确，故选：C．5．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝8，BC＝9，以A为圆心，以适当的长为半径作弧，交AB于点M，交AC于点N．分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧在∠BAC的内部相交于点G，作射线AG，交BC于点D，点F在AC边上，AF＝AB，连接DF，则△CDF的周长为_______．【答案】12．【解析】∵AB＝5，AC＝8，AF＝AB，∴FC＝AC﹣AF＝8﹣5＝3，由作图方法可得：AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，在△ABD和△AFD中，∴△ABD≌△AFD（SAS），∴BD＝DF，∴△DFC的周长为：DF+FC+DC＝BD+DC+FC＝BC+FC＝9+3＝12．6．在△ABC中，用直尺和圆规在边BC上确定了一点D，并连接AD．若∠C＝37°，根据作图痕迹，可求出∠ADB的度数是_______度．【答案】74．【解析】由作图可知，DE垂直平分线段AC，∴DA＝DC，∴∠DAC＝∠C＝37°，∴∠ADB＝∠C+∠DAC＝74°，7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以点A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于P，连接AP并延长交BC于点D，则∠ADB＝_______度．【答案】120；【解析】∵在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，∴∠CAB＝60°，又∵AD是∠BAC的平分线，∴∠CAD＝∠BAD＝∠CAB＝30°，∴∠ADB＝90°+30°＝120°，8．如图，△ABC中，D是AB边上的一点，连接CD，AD＝CD．（1）利用尺规作图，作△BDC的角平分线DF．（不写作法，保留作图痕迹）（2）判断DF与AC的位置关系，并说明理由．【答案】见解析【解析】（1）如图，射线DF即为所求．（2）结论：DF∥AC．理由：∵DA＝DC，∴∠A＝∠DCA，∵∠BDC＝∠A+∠DCA，∠BFD＝∠CDF，∴∠BDF＝∠A，∴DF∥AC．考点11：\o"作图—复杂作图"作图—复杂作图1．下列用三角板过点P画AB的垂线CD，正确的是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】根据垂线的定义可知选项D中，直线CD经过点P，CD⊥AB，符合题意．故选：D．2．我们利用尺规作图，可以作一个角（∠A'O'B'）等于已知角（∠AOB），如下所示：（1）作射线O'A'；（2）以O为圆心，任意长为半径作弧，交OA于C，交OB于D；（3）以O'为圆心，OC为半径作弧，交O'A'于C'；（4）以C'为圆心，OC为半径作弧，交前面的弧于D'；（5）连接O'D'作射线O'B'，则∠A'O'B'就是所求作的角．以上作法中，错误的一步是（）A．（2） B．（3） C．（4） D．（5）【答案】C【解析】（4）错误．应该是以C'为圆心，CD为半径作弧，交前面的弧于D'；故选：C．3．已知△ABC（AC＞BC），用尺规作图的方法在AB上确定一点P，使PA+PC＝AB，则符合要求的作图痕迹是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵PA+PB＝AB，PA+PC＝AB，∴PC＝PB，∴点P在BC的垂直平分线上．故选：B．4．已知线段a，h，小明用如图所示的方法作△ABC，他的具体作法是：①作射线AM，以点A为圆心，线段a的长为半径画弧，交射线AM于点B；②分别以点A，B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧交于D，E两点；③作直线DE，交AB于点F；④以点F为圆心，线段h的长为半径画弧，交直线DE于点C，连接AC，BC．下列关于小明作的△ABC的说法，错误的是（）A．AF＝BF B．∠CAB＝∠CBA C．∠ACF＝∠BCF D．AB＝BC【答案】D【解析】由作图可知，DE垂直平分线段AB，∴AF＝BF，DE⊥AB，∴CA＝CB，∴∠CAB＝∠CBA，∠ACF＝∠BCF，故A，B，C正确，故选：D．5．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝15，AD平分∠BAC，交BC于点D．以点C为圆心，以任意长为半径作弧，分别与边CA和CB相交，然后再分别以这两个交点为圆心，大于交点间距离的一半为半径作弧，两弧交于点F，连接CF并延长交AD于点O，过点O作AC的平行线交BC于点E，则OE的长为_______．【答案】【解析】过点D作DJ⊥AB于J，DK⊥AC于K．在Rt△ACB中，∵∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝15，∴BC＝＝＝17，∵AD平分∠BAC，DJ⊥AB，DK⊥AC，∴DJ＝DK，∴＝＝＝＝，∴CD＝×17＝，∵OC平分∠ACD，∴＝＝＝，∵OE∥AC，∴∠EOC＝∠AOC＝∠ECO，∴OE＝EC，∵OD：OA＝DE：EO＝17：23，∴EC＝×＝．故答案为．6．“过点P作直线b，使b∥a”，小明的作图痕迹如图所示，他的作法的依据是_______．【答案】内错角相等，两直线平行【解析】由作法得∠1＝∠2，所以a∥b．故答案为内错角相等，两直线平行．7．如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，以点A为圆心，AB长为半径作弧，交BC于点D，交AC于点G；再分别以点B和点D为圆心，大于BD的长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线AE交BC于点F．若以点G为圆心，GC长为半径画弧，这段弧恰好经过C、D两点，则此时∠FAC的度数是_______．【答案】54°【解析】连接DG，如图，设∠C＝x，∠B＝2x，由作法得AB＝AD＝AG，AF垂直平分BD，∵以点G为圆心，GC长为半径画弧，这段弧恰好经过C、D两点，∴GD＝GC，∴∠GDC＝∠C＝x，∴∠AGD＝∠GDC+∠C＝2x，∵AD＝AG，∴∠ADG＝∠AGD＝2x，∵AD＝AB，∴∠ADB＝∠B＝2x，∵∠ADB+∠ADG+∠GDC＝180°，即2x+2x+x＝180°，∴x＝36°，∵∠AFC＝90°，∴∠FAC＝90°﹣∠C＝90°﹣36°＝54°．故答案为54°．8．如图，已知△ABC，AB＞AC，∠B＝45°．请用尺规作图法，在AB边上求作一点P，使∠PCB＝45°．（保留作图痕迹，不写作法）【答案】见解析【解析】如图所示，点P即为所求．考点12：\o"作图—应用与设计作图"作图—应用与设计作图1．如图，在3×4的正方形网格中，能画出与“格点△ABC”面积相等的“格点正方形”有（）个．A．2 B．4 C．6 D．8【答案】C【解析】如图，∵S△ABC＝2×4＝4，∴与“格点△ABC”面积相等的“格点正方形”有6个，故选：C．2．如图：有一块三角形状的土地平均分给四户人家，现有四种不同的分法，（如图中，D、E、F分别是BC、AC、AB的中点，G、H分别是BF、AF的中点），其中正确的分法有（）A．1种 B．2种 C．3种 D．4种【答案】D【解析】∵D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，∴在图①中，DE＝AC，EF＝AB，DF＝BC，∴△ADF，△BDE，△DEF，△EFC是同底同高，∴根据三角形面积公式可得△ADF，△BDE，△DEF，△EFC面积相等．同理可得图②，∵D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，G、H分别是线段BD和AD的中点．同理可得图③，图④中4个三角形面积相等，所以四种分法都正确．故选：D．3．四座城市A，B，C，D分别位于一个边长为100km的大正方形的四个顶点，由于各城市之间的商业往来日益频繁，于是政府决定修建公路网连接它们，根据实际，公路总长设计得越短越好，公开招标的信息发布后，一个又一个方案被提交上来，经过初审后，拟从下面四个方案中选定一个再进一步论证，其中符合要求的方案是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为正方形的边长为100km，则方案A需用线200km，方案B需用线（200+100）km，方案C需用线300km，方案D如图所示：∵AD＝100km，∴AG＝50km，AE＝km，GE＝km，∴EF＝100﹣2GE＝（100﹣）km，∴方案D需用线×4+（100﹣）＝（1+）×100＝（100+100）km，所以方案D最省钱．故选：D．4．将一块长为a米，宽为b米的矩形空地建成一个矩形花园，要求在花园中修两条入口宽均为x米的小道，其中一条小道两边分别经过矩形一组对角顶点，剩余的地方种植花草，现有从左至右三种设计方案如图所示，种植花草的面积分别为S1，S2和S3，则它们的大小关系为（）A．S3＜S1＜S2 B．S1＜S2＜S3 C．S2＜S1＜S3 D．S1＝S2＝S3【答案】C【解析】∵矩形的长为a米，宽为b米，小路的宽为x米，∴S1＝ab﹣（a+b）x+S4；S2＝ab﹣（a+b）x+S5；S3＝ab﹣（a+b）x+S6．∵S4＝x•x＝x2，S5＝x•sin60°•x•sin60°＝x2，S6＝x•sin60°•＝x2，∴S2＜S1＜S3．故选：C．5．借助一副三角尺