专题01 幂的运算 -苏科版新八年级数学暑假自学提升讲义

PAGE1思维导图专题01幂的运算思维导图核心考点聚焦同底数幂的乘法幂的乘方与积的乘方同底数幂的除法一、同底数幂的乘法同底数幂相乘，底数不变，指数相加。二、幂的乘方幂的乘方，底数不变，指数相乘。三、积的乘方积的乘方等于把积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。四、同底数幂的除法同底数幂相除，底数不变，指数相减。五、零指数幂任何不等于0的数的0次幂都等于1。六、负整数指数幂任何不等于0的数的-n（n是正整数）次幂，等于这个数的n次幂的倒数。难点强化一、幂的运算种的比较大小1．比较、、的大小（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了幂的乘方的逆运用，根据，整理得，，，再比较底数的大小，即可作答．【详解】解：依题意，，，，∵，∴，故选：C2．阅读下列解题过程，试比较与的大小．解：∵，，，而，∴．请根据上述解答过程解答：若，请比较a、b、c、d的大小．我的结论是：．【答案】dacb【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，幂的乘方计算，根据题意可得，，，，再由即可得到答案．【详解】解：，，，，∵，∴，故答案为：d；a；c；b．3．比较两个底数大于1的正数幂的大小，可以在底数（或指数）相同的情况下，比较指数（或底数）的大小，如：，，在底数（或指数）不相同的情况下，可以化相同，进行比较，如：与，解：，∵，∴(1)比较，的大小．(2)比较，，的大小．【答案】(1)(2)【分析】本题考查幂的运算，掌握幂的乘方法则是解题的关键．（1）转化为同底数幂，比较指数即可；（2）转化为同指数，比较底数即可．【详解】（1）解：，，∵，∴，即；（2）解：∵，，，又∵，，，∴，∴．难点强化二、幂的结果为1的分类1．已知，则的值为（

）A．2 B．或1 C．或1或2 D．或2【答案】D【分析】本题考查了有理数的乘方，零指数幂，熟练掌握以上知识点是解题的关键．分情况讨论，第一种情况为时；第二种情况根据任何不等于0的数的0次幂都等于1可知且，即可得出答案．【详解】解：第一种情况：时，解得，第二种情况：且时，，解得，或时，，故选：D．2．若，则满足条件的的值为．【答案】或【分析】本题考查了零指数幂和1的幂次方，掌握幂等于1的情况是解题的关键．根据幂等于1的情况分别进行讨论求解即可．【详解】解：情况一：底数为时，当时，即．此时指数，那么，满足条件；情况二：底数为，指数为偶数时，当时，即，此时指数，，不满足条件；情况三：指数为，底数不为时，当时，即，此时底数，那么，满足条件；综上，满足条件的的值为或，故答案为：或．3．若，求的值．【答案】0或1或【分析】本题考查了负整数指数幂，零指数幂，解题的关键是：分情况讨论．分指数为0，底数为1，底数为，三种情况进行讨论，即可求解，【详解】解：∵，当，即时，，当，即时，，当，即时，，综上所述：的值为0或1或．难点强化三、幂的运算的新定义运算1．我们知道：，现定义一种新运算：；比如，则，若，那么的结果是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了数字类规律探索、同底数幂的乘法等知识，正确归纳类推出一般规律是解题关键．先根据新运算的定义可得、、的值，再归纳类推出（其中为正整数），由此即可得．【详解】解：∵，∴，，，归纳类推得：（其中为正整数），∴，∴，故选：D．2．对于a，b两数定义“&”的一种运算：（其中等式右边的和是通常意义下的加法与减法），若，则x的值为．【答案】0或1【分析】本题考查了新定义运算，幂的乘方，负整数指数幂，零指数幂，根据新定义列出算式是解题的关键．根据新定义运算可得，分类讨论并列出方程，解方程即可．【详解】根据定义，．化简得．因为，分以下三种情况讨论：情况一：底数为时当，即时，指数，根据的任何次幂都为，，满足等式．情况二：底数为时当，即时，指数，，不满足等式，舍去．情况三：指数为时当，即时，底数，根据非零数的次幂为，，满足等式．综上，x的值为0或1．3．规定两数、之间的一种运算，记作．定义：如果，那．例如：因为，所以．(1)根据上述规定填空：___________；___________．(2)已知，求（用含、的代数式表示）；(3)若，则、的大小关系是：___________（填“>、”或“”）．【答案】(1)，(2)(3)【分析】此题考查了新定义运算，同底数幂的运算及逆运算，幂的乘方运算，解题的关键是理解新定义运算，熟练掌握幂的有关运算．（1）根据新定义运算，求解即可；（2）根据新定义运算，对式子进行变形，得出，进而结合定义，即可求解；（3）根据新定义运算对式子进行变形得出，，比较，即可求解．【详解】（1）解：∵，∴，故答案为：，（2）解：∵∴∴∴（3）解：∵∴，∵∴难点强化四、幂的运算种的规律1.探究与应用●探究规律：计算下列各式（1）；（2）；（3）都是正整数）描述你发现的规律：__________________________________．●提出猜想：根据你发现的规律，如果m，n都是正整数，那么_____________．●验证规律：请补充上述证明过程．●应用规律：计算下列各式（1）；

（2）；

（3）【答案】探究规律：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；提出猜想：；验证规律：见详解；应用规律：（1）；（2）；（3）【分析】本题主要考查了同底数幂乘法有关的规律问题，正确理解题意找到规律是解题的关键．探究规律：根据乘方的意义计算每个小题即可得到规律；提出猜想：根据得到的规律即可得到答案；验证规律：根据乘方的意义计算即可得到答案；应用规律：根据发现的规律进行计算即可．【详解】解：探究规律：；；，发现的规律是：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；故答案为：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；提出猜想：根据发现的规律可得：；故答案为：；验证规律：；应用规律：计算下列各式（1）；

（2）；

（3）．2．在学习第一章有理数时，类比小学两个正数的运算法则学习了有理数的加减法、有理数的乘除法，在第二章整式的加减时，类比第一章有理数的学习过程学习了整式的加减，那么整式的乘法是否可以类比有理数的乘法进行学习呢?我们从特殊情况入手对两个同底数幂相乘进行探究．（1）探究根据乘方的意义填空，观察计算结果，你能发现什么规律?①，②，③，（2）规律（都是正整数）．即______．（文字表达）（3）应用①计算；②把看成一个整体，计算．【答案】（1）①8；②6；③（2）同底数幂相乘，底数不变，指数相加（3）①；②【分析】本题考查了同底数幂的乘法公式的推导和应用.掌握同底数幂的乘法公式的计算公式是关键；（1）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加解答即可；（2）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加解答即可；（3）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加解答即可；【详解】（1）①，②，③，故答案为：（2），即同底数幂相乘，底数不变，指数相加；故答案为：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；（3）①；②3．观察下列等式：第个等式为：第个等式为：第个等式为：第个等式为：根据上述等式含有的规律，解答下列问题：（1）第个等式为：是（2）第个等式为：是（用含的代数式表示），并证明【答案】（1）；（2），证明见解析．【分析】（1）观察前几个等式的规律，即可写出第5个等式；（2）结合（1）发现的规律即可写出第n个等式．【详解】解：（1）观察等式可知：第5个等式为：；故答案为：；（2）第n个等式为：，证明：左边右边等式成立．【点睛】本题考查了规律型-数字的变化类，解决本题的关键是从具体的简单的情形考虑，找出等式中变化的数字与序号数的关系，从而抽象出规律式．难点强化五、幂的运算种的整除问题1．证明：能被7整除．【答案】证明见解析【分析】本题主要考查了同底数幂乘法的逆运算，乘法分配律的逆运算，根据同底数幂乘法的逆运算法则可得，再根据乘法分配律的逆运算法则可得原式，据此可证明结论．【详解】证明：，∵能被7整除，∴能被7整除．2．已知，.(1)当时，求的值；(2)当时，且，是整数，试说明的值能被5整除．【答案】(1)0(2)见详解【分析】（1）先计算得到，再把代入即可求解；（2）先根据得到，再计算得到变形为，即可证明的值能被5整除．【详解】（1）解：当时，原式；（2）解：∵，∴，∴，∴，∴，∴当时，且，是整数，的值能被5整除．【点睛】本题考查了整式的加减以及幂的乘方，积的乘方，同底数幂的乘法等知识，熟知相关知识并根据题意灵活变形是解题关键．3．已知能被10整除，求证：也能被10整除．【答案】详见解析.【分析】把原式化成含有的式子即可．【详解】能被10整除，也能被10整除，能被10整除.【点睛】本题利用了整除的知识和同底数幂的乘法的逆运算，比较简单．难点强化六、拓展——复数与对数1．定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位，把形如（，为实数）的数叫做复数．其中叫这个复数的实部，叫做这个复数的虚部，它的加、减运算与整式的加、减运算类似，复数的乘方运算与有理数的乘方运算类似，例如，①；②③；根据以上信息，完成下列问题：(1)填空：___________，___________，___________；(2)化简：；(3)请你参照这一知识，将用公式法分解成两个复数的积．【答案】(1)，，(2)(3)【分析】本题考查新定义运算，公式法因式分解，理解新定义的运算法则是关键．（1）利用复数的运算法则运算解题；（2）先根据复数的定义计算，再合并即可求解；（3）根据复数的定义将所求式子变为，再利用平方差公式因式分解即可；【详解】（1）解：，，，故答案为：，，；（2），；（3）．2．先阅读下列材料，再解答后面的问题．一般地，若，则n叫做以a为底b的对数，记为（即）．如，则4叫做以3为底81的对数，记为（即）．(1)计算以下各对数的值：，，，；(2)观察（1）中的数量关系，猜想一般性的结论：（），并根据幂的运算法则：以及对数的含义证明你的猜想．【答案】(1)2；4；6；6(2)，证明见解析【分析】（1）根据题中给出已知概念，可得出答案；（2）根据同底数幂的乘法法则解答即可．【详解】（1）∵，∴；∵，∴；∴，∵，∴．故答案为：2；4；6；6．（2）．证明：设，，则，，故可得，根据对数的定义：，即．【点睛】本题考查整式的混合运算、同底数幂的乘法等知识，解题的关键是明确新定义，明白指数与对数之间的关系与相互转化关系．3．阅读下列材料：一般地，n个相同的因数a相乘，记为an．如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为（即=3）．一般地，若（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为（即=n）．如，则4叫做以3为底81的对数，记为（即=4）．(1)计算以下各对数的值：=_________，=_________，=_________．(2)写出（1）、、之间满足的关系式_________________________；(3)由（2）的结果，请你能归纳出一个一般性的结论：=_________．（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）【答案】(1)2；4；6(2)(3)【分析】（1）根据对数的定义求解；（2）认真观察，即可找到规律：4×16＝64，；（3）由特殊到一般，得出结论：．【详解】（1）解：（1）∵22=4，24=16，26=64∴，故答案为：2，4，6；（2）∵4×16＝64，＝2，＝4，＝6，∴，故答案为：；（3）由（2）的结果可得，故答案为：．【点睛】本题是开放性的题目，借考查同底数幂的乘法，对数，实际考查学生对指数的理解、掌握的程度；要求学生不但能灵活、准确的应用其运算法则，还要会类比、归纳，推测出对数应有的性质．真题感知1．（2024·江苏南京·中考真题）水由氢、氧两种元素组成．一个水分子包含两个氢原子和一个氧原子．一个氢原子的质量约为，一个氧原子的质量约为，一个水分子的质量大约是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】此题考查了有理数的混合运算，科学记数法表示较小的数，关键是理解运用科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．根据题意列出算式求解，然后运用科学记数法表示即可．【详解】解：∴一个水分子的质量大约是．故选：C．2．（2024·江苏徐州·中考真题）下列运算正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．根据合并同类项法则；同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂相除，底数不变，指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】解：A、，故此选项不符合题意；B、，故此选项不符合题意；C、，故此选项不符合题意；D、，故此选项符合题意；故选：D．3．（2024·江苏镇江·中考真题）下列运算中，结果正确的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．根据合并同类项法则；同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂相除，底数不变，指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】解：、，故此选项符合题意；、，故此选项不符合题意；、，故此选项不符合题意；、，故此选项不符合题意；故选：．4．（2024·江苏宿迁·中考真题）下列运算正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题主要考查了合并同类项、同底数幂的乘法、同底数幂的除法、积的乘方等知识点，灵活运用相关