专题09不等式的求解（知识梳理7对点集训基础过关拓展提优）

专题09不等式的求解（知识梳理+7对点集训+基础过关+拓展提优）1.掌握一元二次不等式、分式不等式、绝对值不等式的解法(重点).2.会解一元二次不等式中的恒成立问题(难点).知识点01：不等式的解集与不等式组的解集1、在含有未知数的不等式中，能使此不等式成立的未知数的值称为该不等式的解.2、一般地，不等式的所有解组成的集合称为不等式的解集；3、一个不等式的解的全体所组成的集合称为此不等式的解集；4、求不等式解集的过程称为不等式的求解，或解不等式；5、将多个含有同样的未知数的不等式联立起来，即得到不等式组.6、对于由若干个不等式联立得到的不等式组来说，这些不等式的解集的交集称为不等式组的解集；【注意】若不等式中所含不等式解集的交集为时，则不等式组的解集为；知识点02：一元二次不等式1、一元二次不等式的概念一般地，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式；【注意】一元二次不等式中的不等号也可以是“<”“≥”“≤”等，即：一元二次不等式的一般形式（1）ax2＋bx＋c＞0(a≠0)；（2）ax2＋bx＋c≥0(a≠0)；（3）ax2＋bx＋c＜0(a≠0)；（4）ax2＋bx＋c≤0(a≠0)；都是一元二次不等式；2、用因式分解法解一元二次不等式一般地，如果x1<x2，则不等式(x－x1)(x－x2)<0的解集是(x1，x2)，不等式(x－x1)(x－x2)>0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)；3、用配方法解一元二次不等式一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)通过配方总是可以变为(x－h)2>k或(x－h)2<k的形式，然后根据k的正负等知识，就可以得到原不等式的解集。4.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系。判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两相异实根x1，x2(不妨设x1<x2)有两相等实根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)没有实数根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1或x>x2}eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(b,2a))))){x|x∈R}ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图像5.一元二次不等式在求解时应当注意事项（1）化标准：通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正；（2）①因式分解；②判别式：对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式；（3）求实根：求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根；（4）画草图：根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图；（5）写解集：根据图象写出不等式的解集。知识点03：分式不等式的解法1、分式不等式的定义：分母中含有未知数字母的有理不等式叫做分式不等式。只含有一个未知数的分式不等式叫做一元分式不等式。分式方程：将所求分式方程转化为整式方程，利用整式方程的解法或是一元二次方程的根的求解来解决即可，注意求解后根的检验，要使得方程是有意义的。2、分式不等式的解法：基本思路：应用同号相乘（除）得正，异号同号相乘（除）得负，将其转化为同解整式不等式。在此过程中，变形的等价性尤为重要。知识点04：简单绝对值不等式的解法1、绝对值不等式（1）绝对值不等式的概念：一般地，含有绝对值的不等式称为绝对值不等式；（2）数轴上两点之间的距离公式及中点坐标公式：一般地，如果实数a，b在数轴上对应的点分别为A，B，即A(a)，B(b)，则线段AB的长为|AB|＝|a－b|，线段AB的中点M对应的数x＝eq\f(a＋b,2)．【注意】（1）求线段AB的长|AB|时，不要忽视绝对值；（2）线段AB的中点坐标与A、B两点的顺序无关。2、含绝对值不等式的解法（1）通法：根据绝对值的代数意义，对绝对值内的数（式）的符号分类讨论去绝对值；关键在于去掉绝对值符号，一般有三种方法：①几何含义；②两边平方；③分段讨论。（2）根据绝对值的几何意义，将绝对值转化为数轴上的距离，进而去绝对值或求最值；（3）不等式两边均恒为非负数时，可以通过平方法去绝对值.【注意】去绝对值符号，化绝对值不等式为整式不等式时要保持同解性。3、常见绝对值不等式的解法与结论：①几个基本不等式的解集（1）|x|<a(a>0)⇔x2<a2⇔a<x<a；（2）|x|>a(a>0)⇔x2>a2⇔x>a,或x<a;（3）|xm|<a(a>0)⇔a<xm<a⇔ma<x<a+m；（4）|xm|>a(a>0)⇔xm>a,或xm<a⇔x>m+a,或x<ma.②几种主要的基本类型（1）|f(x)|>|g(x)|⇔f2(x)>g2(x)(平方法)；（2）|f(x)|>g(x)(g(x)>0)⇔f(x)>g(x),或f(x)<g(x);（3）|f(x)|<g(x)(g(x)>0)⇔g(x)<f(x)<g(x);（4）含两个或两个以上绝对值符号的不等式可用“按零点分区间讨论”的方法脱去绝对值符号求解.对点集训一：一元一次不等式及一元一次不等式组的求解典型例题C．该不等式的解集可能为； D．该不等式的解集不可能为.【答案】C【知识点】解含参数的一元一次不等式【分析】对分四种情况讨论得解.故选：C【答案】1【知识点】解不含参数的一元一次不等式又不等式的解集为，故答案为：【答案】0【知识点】利用不等式求值或取值范围、解含参数的一元一次不等式【分析】先化简不等式组，依题意表示得出的范围，再取最大整数值即可.故答案为：0.精练【答案】C【知识点】解含参数的一元一次不等式【分析】对参数与的关系以及与的关系进行分类讨论，从而求解不等式即可.故选：C.【答案】【知识点】解含参数的一元一次不等式所以实数a的值为.故答案为：【知识点】解含参数的一元一次不等式【分析】根据给定的解集，求出a，b的关系，再代入求解不等式作答.对点集训二：解不含参数的一元二次不等式典型例题例1．（2425高一上·上海·课堂例题）解下列不等式：(2)(3)【知识点】解不含参数的一元二次不等式【分析】利用一元二次不等式的解法来求解即可.【知识点】解不含参数的一元二次不等式【分析】解两个一元二次不等式，再求交集即可.【知识点】根据交集结果求集合或参数、解不含参数的一元二次不等式精练【知识点】解不含参数的一元二次不等式【分析】转化为不等式组，根据一元二次不等式的解法，即可求解.2.解下列不等式：(2)(3)【知识点】解不含参数的一元二次不等式【分析】（1）通过配方即可得解；（2）化为一元二次不等式的标准形式，根据判别式即可得解；（3）先判断判别式，然后即可得解.原不等式的解集为.原不等式的解集为.【知识点】解不含参数的一元二次不等式【分析】分别求解原不等式组中的两个一元二次不等式，然求两个解集的交集即可得解.对点集训三：解含有参数的一元二次不等式典型例题【答案】答案见解析【知识点】解含有参数的一元二次不等式【知识点】解不含参数的一元二次不等式、解含有参数的一元二次不等式精练【答案】答案见解析【知识点】解含有参数的一元二次不等式综上所述，原不等式的解集为:【知识点】解含有参数的一元二次不等式综上所述：【知识点】解含有参数的一元二次不等式【分析】变形后得到一个含参的二次不等式，对参数进行分类讨论.对点集训四：由一元二次不等式的解确定参数典型例题【知识点】由一元二次不等式的解确定参数故答案为：；．【点睛】本题考查一元二次不等式与一元二次方程的关系，解答本题的关键是根据不等式的解集得出不等式相应方程的根，再由根与系数的关系求参数的值．注意总结方程，函数，不等式三者之间的联系．【知识点】由一元二次不等式的解确定参数【知识点】由一元二次不等式的解确定参数【分析】就参数分类考虑，利用二次函数的图象数形结合即可求得参数范围.精练【知识点】解不含参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数、根据交并补混合运算确定集合或参数【点睛】本题考查集合的基本运算，一元二次不等式的解法，属于基础题.【答案】【知识点】由一元二次不等式的解确定参数、一元二次不等式在实数集上恒成立问题综上可得的取值范围为.(2)若该不等式的解集为空集，求实数k的取值范围.【答案】(1)；【知识点】由一元二次不等式的解确定参数【分析】（1）根据一元二次不等式解集，结合根与系数关系求k的值；对点集训五：一元二次方程根的分布问题典型例题问题：【答案】(1)条件②③④；理由见解析(2)条件⑤，理由见解析【知识点】一元二次方程根的分布问题【分析】（1）根据判别式和韦达定理，结合所给条件分析一元二次方程有两正根的条件可得；（2）根据一元二次方程两根异号，结合韦达定理分析即可.【详解】（1）选择②③④：【知识点】一元二次方程根的分布问题(1)若关于的方程总有实数解，求的取值范围；(2)证明见解析【知识点】一元二次方程根的分布问题∴无论为何值，关于的方程有两个不相等的实数根．故无论为何值，关于的方程有两个异号实数根．精练(1)若方程有两个正实数根，求实数的取值范围；(2)1或3【知识点】解不含参数的一元二次不等式、一元二次方程根的分布问题【分析】（1）根据方程有两个正根列出不等式组求解；（2）根据根与系数的关系，结合根及为整数，求出根即可得解.(1)若､为两个不相等的正实数根，求实数的取值范围；(2)不存在，理由见解析【知识点】一元二次方程根的分布问题、一元二次方程的解集及其根与系数的关系【详解】（1）解：由题意，一元二次方程有两个不相等的正实数根､，3．（2425高一上·上海·阶段练习）根据要求完成下列问题：【知识点】根据必要不充分条件求参数、已知命题的真假求参数、解不含参数的一元二次不等式、一元二次方程根的分布问题【分析】（1）解一元二次不等式先计算两个命题对应变量的范围，再结合必要不充分条件的定义计算即可；（2）分类讨论两个命题的真假结合一元二次方程根的情况计算即可；因为是的必要不充分条件，所以，则对点集训六：分式不等式典型例题例1．（2425高一上·上海·课堂例题）解下列不等式：【知识点】分式不等式【分析】先把分式不等式转化为一元二次不等式或一元二次不等式组，再解出不等式解集即可；例2．（2425高一上·上海·课堂例题）解不等式：【知识点】分式不等式【分析】（1）先把分式不等式转化为不等式组，求出两个不等式的解集，最后得出分式不等式解集；（方法二）将分式不等式直接转化为整式不等式求解，(1)求实数a，b的值；【知识点】由一元二次不等式的解确定参数、分式不等式、解不含参数的一元二次不等式精练【知识点】分式不等式、解不含参数的一元二次不等式【分析】移项通分转化为解一元二次不等式可得答案.【知识点】解不含参数的一元二次不等式、分式不等式【分析】分别解出各不等式，即可求出不等式组的解集.3．（2425高一·上海·课堂例题）解下列不等式：【知识点】解不含参数的一元二次不等式、分式不等式【分析】（1）（2）把分式不等式转化成一元二次不等式求解即得.（3）变形给定的不等式，再转化成一元二次不等式组求解.对点集训七：绝对值不等式典型例题【知识点】分类讨论解绝对值不等式【分析】通过分类讨论去掉绝对值解不等式即可.【知识点】分式不等式、公式法解绝对值不等式精练【知识点】分类讨论解绝对值不等式【分析】分类讨论开绝对值即可求解.此时不等式无解；【知识点】分类讨论解绝对值不等式【分析】分段去绝对值符号，转化为一元一次不等式组求解即得.【知识点】解不含参数的一元二次不等式、绝对值三角不等式、根据集合的包含关系求参数、交集的概念及运算【分析】（1）根据题意，是的子集，列出不等式组可得实数t的取值范围；（2）分别利用绝对值不等式和分式不等式的性质求两个集合，再求交集即可.一、单选题A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件【答案】B【知识点】判断命题的必要不充分条件、分式不等式【分析】根据分式不等式的解法结合充分条件和必要条件的定义求解即可.故选：B.【答案】C【知识点】解含有参数的一元二次不等式故选：C.【答案】D【知识点】解不含参数的一元二次不等式故选：D.二、填空题【知识点】解不含参数的一元二次不等式、分式不等式【分析】将原不等式转化为整式型不等式，即一元二次不等式求解.【知识点】解不含参数的一元一次不等式【分析】分类讨论的取值范围，利用不等式组无实数解即可得解.【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题【知识点】一元二次方程根的分布问题【答案】R【知识点】解不含参数的一元二次不等式【分析】根据根的判别式，数形结合得到不等式解集.二次函数图象在轴上方，故不等式解集为R.故答案为：R【知识点】解含有参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数三、解答题10．（2425高一上·上海奉贤·期中）求下列关于x的不等式的解集：(2)答案见详解【知识点】分式不等式、解不含参数的一元二次不等式（2）分类讨论两根大小解一元二次不等式即可.(1)求集合和；(2)求阴影部分表示的集合.【知识点】分式不等式、交并补混合运算【分析】（1）解分式不等式和绝对值不等式即可求出解集；（2）利用补集和交集思想即可求解阴影部分集合.（2）(2)答案见解析【知识点】解不含参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数、解含有参数的一元二次不等式【点睛】方法点睛：不等式的因式分解法：通过将不等式分解为两个因式形式并讨论符号，能够清晰地得出解集.一、单选题A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【知识点】判断命题的必要不充分条件、几何意义解绝对值不等式【分析】解出绝对值不等式，根据充分条件、必要条件概念判断即可.故选：B【答案】C【知识点】由一元二次不等式的解确定参数、解含有参数的一元二次不等式【分析】利用特殊值判断AB；利用假设成立法判断CD.则解集是，故A错误；所以解集不可能为，故B错误；故选：C.【答案】C【知识点】解不含参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数故选：C.【答案】C【知识点】根据集合的包含关系求参数、解不含参数的一元二次不等式故选：C.二、填空题【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题、解不含参数的一元二次不等式【知识点】解不含参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数【分析】由已知结合二次不等式及一次不等式的求法即可求解．【知识点】根据或且非的真假求参数、由一元二次不等式的解确定参数【分析】根据题意，分别求出、为真命题时的取值范围，再分“真假”和“假真”两种情况讨论，求出的取值范围，即可得答案．若命题和中有且仅有一个是真命题，有2种情况，假真不能同时成立，此时无解；【知识点】根据交集结果求集合或参数、解含有参数的一元二次不等式由解集中整数为