专题01集合的概念（预备知识）

专题01集合的概念1、通过具体的实例，能根据集合中元素的确定性、互异性和无序性判断某些元素的全体是否能组成集合，发展数学抽象素养.2、知道元素与集合之间的关系，会用符号“”“”表示元素与集合的关系，能用常用数集的符号表示有关集合.3、会根据具体问题的条件，用列举法表示给定的集合；能概括给定数学对象的一般特征，并用描述法表示集合，提高语言转换和抽象概括能力，增强用集合表示数学对象的意识，发展数学抽象素养.1．元素与集合的概念及表示(3)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的．2．元素的特性(1)确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”．(2)互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”．(3)无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”．3．元素与集合的关系4．常用的数集及其记法常用数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集数学符合或5．列举法把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．注意：(1)元素与元素之间必须用“，”隔开．(2)集合中的元素必须是明确的．(3)集合中的元素不能重复．(4)集合中的元素可以是任何事物．6．描述法(2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．对点集训一：集合的基本概念典型例题例题1．（2425高一上·广东清远·阶段练习）给出下列说法：①所有接近于的数构成一个集合；③高科技产品构成一个集合；④所有不大于的自然数构成一个集合；⑤，，，组成的集合含有个元素．其中正确的是（

）A．①②④ B．②③⑤ C．③④⑤ D．②④【答案】D【知识点】判断元素能否构成集合【分析】根据集合的性质逐项分析判断即可.【详解】对于①：接近于的数不能确定，所以不能构成集合，故①错误；对于③：高科技产品不能确定，所以不能构成一个集合，故③错误；对于④：不大于的自然数为0，1，2，3，能构成集合，故④正确；故选：D.例题2．（2425高一上·全国·课后作业）下列各组对象可以构成集合的是（

）A．数学必修第一册课本中所有的难题 B．小于8的所有素数C．直角坐标平面内第一象限的一些点 D．所有小的正数【答案】B【知识点】判断元素能否构成集合【分析】根据集合的确定性逐项分析判断即可.【详解】对于选项A：“难题”的标准不确定，不能构成集合；对于选项B：小于8的所有素数有2，3，5，7，能构成集合；对于选项C：“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；对于选项D：没有明确的标准，所以不能构成集合．故选：B.精练1．（2425高一上·全国·课后作业）下列给出的对象中能构成集合的是（

）A．著名物理家 B．很大的数 C．聪明的人 D．小于3的实数【答案】D【知识点】判断元素能否构成集合【分析】根据集合中元素的特性即可判断.【详解】只有选项有明确的标准，能构成一个集合．故选：.2．（2425高一上·重庆渝北·期中）下列选项中元素的全体可以组成集合的是（

）A．学校篮球水平较高的学生 B．校园中长的高大的树木C．2007年所有的欧盟国家 D．中国经济较发达的地区【答案】C【知识点】判断元素能否构成集合【分析】由集合的三要素：确定性，互异性，无序性作出判断【详解】A选项，“水平较高”不明确，不满足确定性，A选项不能组成集合；B选项：“长得高”不明确，不满足确定性，B选项不能组成集合；C选项：2007年所有的欧盟国家满足“确定性，互异性，无序性”能构成集合；D选项：“较发达”不明确，不满足确定性，D选项不能组成集合.故选：C.3．（2425高一上·河南洛阳·阶段练习）以下四组对象，能构成集合的是（

）.A．最大的正实数 B．最小的整数C．平方等于1的实数 D．最接近1的实数【答案】C【知识点】判断元素能否构成集合【分析】利用可构成集合的元素的性质依次判断选项即可得解.【详解】对于A，无法确定最大的正实数是哪一个数，故A错误；对于B，无法确定最小的整数是哪一个数，故B错误；对于C，平方等于1的实数为，可以构成集合，故C正确；对于D，无法确定最接近1的实数是哪一个数，故D错误；故选：C.对点集训二：判断元素与集合的关系典型例题例题1．（2425高一上·安徽铜陵·期末）下列关系中正确的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【知识点】判断元素与集合的关系、常用数集或数集关系应用【分析】根据常用集合的符号和含义作出判断，得到答案.故选：C例题2．（2425高一上·湖南邵阳·期中）下列关系中正确的是（

）【答案】A【知识点】判断元素与集合的关系【分析】利用元素与集合之间的关系对选项逐一判断可得结果.故选：A精练1．（2425高一上·甘肃·阶段练习）下列关系正确的是（

）【答案】D【知识点】判断元素与集合的关系、常用数集或数集关系应用【分析】根据选项中大写字母代表的数集，结合元素与集合的属于关系逐一判断即可.【详解】四个选项中的大写字母分别代表正整数集、整数集、有理数集、实数集，故选：D【答案】C【知识点】判断元素与集合的关系【分析】由元素与集合的关系即可直接判断故选：C.A． B． C． D．【答案】C【知识点】判断元素与集合的关系【分析】依次判断出各数所属于的数域范围，再利用元素与集合的关系判定即可.故选：C.对点集训三：利用集合中元素的互异性求参数典型例题A．3 B．1 C．3或1 D．0【答案】A【知识点】根据元素与集合的关系求参数、利用集合元素的互异性求参数故选：A【答案】2【知识点】根据元素与集合的关系求参数、利用集合元素的互异性求参数【分析】根据元素与集合的关系得出方程求解，结合集合中元素的互异性检验即可.故答案为：2精练A．1 B． C．1或 D．或【答案】B【知识点】根据元素与集合的关系求参数、利用集合元素的互异性求参数故选：BA．2 B．3 C． D．5【答案】BD【知识点】利用集合元素的互异性求参数【分析】根据集合中元素的互异性求解.故选：BD.【答案】【知识点】根据元素与集合的关系求参数、利用集合元素的互异性求参数【分析】根据元素与集合的关系，结合元素的互异性即可求解.故答案为：.对点集训四：用列举法表示集合典型例题【答案】C【知识点】列举法表示集合故选：C.【知识点】列举法表示集合、常用数集或数集关系应用【分析】利用常用数集的意义列举出所有元素即可.精练【答案】C【知识点】列举法表示集合【分析】解一元二次方程，即可求出集合.故选：C．【答案】B【知识点】列举法表示集合【分析】根据集合中的元素特征可得出集合.故选：B.【答案】B【知识点】列举法表示集合、描述法表示集合【分析】解一元一次不等式，写出集合中的元素，利用列举法可得答案.故选：B.对点集训五：用描述法表示集合典型例题【答案】D【知识点】列举法表示集合、描述法表示集合【分析】根据给定的集合的公共属性及各选项中集合表示的数的特征判断即得.对于AB，集合AB中的有负数，AB不是；对于C，集合中没有，C不是；故选：D例题2．（2425高一上·全国·课后作业）用描述法表示下列集合：(1)平面直角坐标系中的x轴上的点组成的集合；【知识点】描述法表示集合【分析】（1）（2）（3）根据各项文字描述写出集合的描述形式即可.精练【答案】D【知识点】描述法表示集合【分析】解不等式即可求解.故选：D.【答案】C【知识点】描述法表示集合【分析】根据集合中元素的特点用描述法表示即可.故选：C.3．（多选）（2425高一下·河北保定·阶段练习）下列用描述法表示的集合，正确的是（

）【答案】ACD【知识点】描述法表示集合【分析】根据描述法的特点逐项分析即可.故选：ACD.对点集训六：集合中的含参问题角度1：已知集合相等求参数典型例题A． B．1 C． D．0【答案】A【知识点】根据两个集合相等求参数【分析】根据题意结合集合相等列式求解即可.故选：A.【答案】【知识点】根据两个集合相等求参数【分析】根据题意结合集合相等分析求解即可.故答案为：.精练A．0 B．C．1 D．2【答案】BD【知识点】根据两个集合相等求参数故选：BD.【答案】1【知识点】根据两个集合相等求参数【分析】利用相等集合的元素关系，即可求解.故答案为：1．【答案】【知识点】根据两个集合相等求参数故答案为：.角度2：已知集合元素个数求参数典型例题【答案】B【知识点】根据集合中元素的个数求参数故选：B【知识点】根据集合中元素的个数求参数【分析】对进行分类讨论，由此求得正确答案.【知识点】根据集合中元素的个数求参数精练【答案】C【知识点】根据集合中元素的个数求参数【分析】利用集合元素个数，结合方程的解求出.故选：CA． B． C． D．【答案】AD【知识点】根据集合中元素的个数求参数综上实数的值可以为，.故选：AD【知识点】根据集合中元素的个数求参数【详解】因为集合中仅含有一个元素，一、单选题A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【知识点】判断元素与集合的关系【分析】根据题意求出的取值，即可得解.即集合中有个元素.故选：C.A．1 B．3 C．6 D．9【答案】C【知识点】列举法求集合中元素的个数【分析】根据题意，采用列举法表示集合即可求解.所以集合含有6个元素.故选：C.【答案】D【知识点】判断元素与集合的关系【分析】需要注意集合中的元素的形式，本题的A选项和C选项与集合的元素形式不同，可以直接排除，再用代入法即可选出正确答案D.【详解】集合A的元素表示的是平面直角坐标系中一条直线上的点（数对），选项A和选项C表示的都是只有一个点作为元素的集合，可以首先排除；故选D．【答案】A【知识点】根据元素与集合的关系求参数【分析】由集合的概念可得集合C中的元素.故选：A.5．（2425高一上·湖南长沙·阶段练习）下列说法正确的是（）A．我校很喜欢足球的同学能组成一个集合B．联合国安理会常任理事国能组成一个集合【答案】B【知识点】判断元素能否构成集合【分析】根据题意，利用集合的定义逐一判断，即可得到结果.【详解】对于A，因为很喜欢足球的同学没有明确的标准，不符合集合的确定性，所以不能组成一个集合，故A错误；对于B，因为联合国安理会常任理事国有明确的标准，符合集合的确定性，所以能组成一个集合，故B正确；故选：B.【答案】B【知识点】判断元素与集合的关系【分析】通过列举法表示集合，逐项判断即可故A，C，D错误，B正确故选：B.【答案】C【知识点】根据元素与集合的关系求参数【分析】根据题意列出不等式组即可求出结果.故选：C.A．－1 B．0 C．1 D．2【答案】A【知识点】利用集合元素的互异性求参数、根据元素与集合的关系求参数故选：A二、多选题9．（2425高一上·福建泉州·阶段练习）下面四个说法中正确的是（

）D．与表示同一个集合【答案】AB【知识点】列举法表示集合、判断是否为同一集合【分析】直接运用集合的含义和集合中元素的性质逐项判断即可．对于D，表示以为元素的集合，故D错误．故选：AB．【答案】BC【知识点】描述法表示集合、列举法表示集合【分析】通过联立方程组的方法来求得正确答案.故选：BC三、填空题【知识点】根据集合中元素的个数求参数【分析】根据给定条件，化方程为一元二次方程，再利用根的情况列式计算得解.由已知集合只有一个元素，【知识点】列举法表示集合【分析】根据集合描述，应用列举法表示集合即可.四、解答题13．（2425高一上·全国·课后作业）选择适当的方法表示下列集合，并指出哪些是有限集，哪些是无限集．(1)大于1且小于70的正整数构成的集合A；(2)小于8的质数组成的集合C；【知识点】描述法表示集合、列举法表示集合、集合的分类【分析】（1）（2）（3）（4）（5）根据描述写出集合的描述形式，即可判断有限或无限.【答案】【知识点】根据元素与集合的关系求参数【分析】分两种情况讨论，结合集合元素间的互异性即可求解.A．5 B．3 C．2 D．1【答案】A【知识点】根据集合中元素的个数求参数故选：A.【答案】②③④【知识点】集合的分类【分析】根据有理数的定义，将无限循环小数整理为分数性质，逐项检验，可得答案.故答案为：②③④．(1)写出一个“二元和谐集”(无需写计算过程)；(3)是否存在集合中元素均为正整数的“三元和谐集”？如果有，有几个？请说明理由.(2)证明过程见解析【知识点】集合元素