21.2.1 配方法 第1课时 直接开平方法 人教版初中数学九年级上册教案

21.2解一元二次方程21.2.1配方法第1课时直接开平方法课题第1课时直接开平方法授课人教学目标知识技能1.使学生知道形如x2＝a(a≥0)的一元二次方程可以用直接开平方法求解；2.使学生知道直接开平方法解一元二次方程的依据是平方根的意义；3.使学生能够熟练而准确地运用直接开平方法求一元二次方程的解.数学思考在学习与探究中使学生体会“化归”“换元”与“分类讨论”的数学思想及运用类比进行学习的方法.问题解决根据平方根的意义用直接开平方法解一元二次方程，使学生能够解符合条件的一元二次方程，同时为配方法的学习打好基础.情感态度通过利用直接开平方法解一元二次方程使学生在学习中体会成功感，感受数学学习的价值.教学重点使学生能够熟练而准确地运用直接开平方法解一元二次方程.教学难点探究一元二次方程a(x＋b)2＝c的解的情况，培养分类讨论的意识.授课类型新授课课时教具多媒体教学活动教学步骤师生活动设计意图回顾课件展示：1．什么是一个数的平方根？平方根具有哪些性质？怎样求一个数的平方根？2．计算：16的平方根是__±4__，8的平方根是__±2__eq\r(2)__，eq\f(4,5)的平方根是__±eq\f(2\r(5),5)__，13的平方根是__±eq\r(13)__．3．想一想如何描述求x2＝9中x的过程？试一试！学生自主思考，并进行解答，师生共同讨论，回顾平方根的相关知识．通过回顾平方根的概念及性质和开平方的意义，有助于学生理解利用直接开平方法解一元二次方程，为学习新知打下基础.活动一：创设情境导入新课【课堂引入】课件展示：图21－2－1问题：一桶油漆可刷的面积为1500dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体盒子的全部外表面，你能通过列方程算出正方体盒子的棱长吗？若学生感觉困难，教师适当引导求解：等量关系：10个正方体盒子的表面积＝1500dm2.若设其中一个正方体盒子的棱长为xdm，则这个正方体盒子的表面积为__6x2__dm2，可列方程__10×6x2＝1500__，化简得x2＝25，开平方得x＝__±5__，原方程有__两__个解，但棱长为__正数__，所以x＝__5__．故正方体盒子的棱长为__5__dm.结论：这种利用平方根的意义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫直接开平方法．板书：直接开平方法解方程．从学生身边的实际问题引出学习内容，逐步求解，顺利点题，让学生体会数学与生活的紧密联系，同时明确本节课的学习任务.活动二：实践探究交流新知1.自主探究(课件展示问题)问题1：(1)请你用直接开平方法解下列方程：①x2＝12；②x2－eq\f(3,4)＝0；③2x2－8＝0；④9x2－5＝3.(2)一元二次方程2x2＋1＝0与1－2x2＝0的解相同吗？为什么？(3)由(1)(2)，你能总结出ax2＋c＝0型一元二次方程的求解方法吗？学生自主探究，然后讨论、交流，汇总思想，解答问题，最后师生共同归纳：一般地，对于一元二次方程ax2＋c＝0，先将它变形为x2＝p的形式，再利用直接开平方法求解，其中，当p＞0时，方程有两个不等的实数根x1＝－eq\r(p)，x2＝eq\r(p)；当p＝0时，方程有两个相等的实数根x1＝x2＝0；当p＜0时，方程无实数根．2.合作交流(课件展示问题)问题2：(1)一元二次方程x2＝25与(x＋3)2＝25有何区别和联系？类比方程x2＝25的求解方法，你能解方程(x＋3)2＝25吗？方程(3x＋1)2＝2呢？试一试．(2)对于(nx＋m)2＝p型的方程，你能说说它的基本解法吗？学生通过独立思考，小组合作交流，师生共同归纳：运用直接开平方法可以解形如x2＝p或(nx＋m)2＝p的一元二次方程，其实质是利用开平方运算把一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．我们把这种思想称为“降次转化思想”．板书：开平方，降次转化，二次变一次．设置问题1，使学生进一步体验直接开平方法适用的一元二次方程的形式，培养学生思维的灵活性以及善于思考、勇于质疑的精神.2.设置问题2，通过对一些复杂问题的探究，帮助学生体会换元思想及类比的学习方法，同时更加深入而准确地理解直接开平方法适用的一元二次方程.活动三：开放训练体现应用【应用举例】解方程：(1)3(x－1)2－9＝108；(2)x2＋6x＋9＝2.多媒体展示，学生自主进行解答，然后交流解法及依据．变式练习：解一元二次方程：(1)2(x－8)2＝50；(2)(2x－1)2－32＝0.(3)x2＋4x＋4＝1；(4)9n2－24n＋16＝11.采用逐步递进、提升的方式设置题目，使学生体验到类比、转化、降次的数学思想方法.【拓展提升】例2[枣庄中考]已知x1，x2是一元二次方程3(x－1)2＝15的两个解，且x1＜x2，下列说法正确的是(A)A．x1小于－1，x2大于3B．x1小于－2，x2大于3C．x1，x2在－1和3之间D．x1，x2都小于3例3用直接开平方法解一元二次方程4(2x－1)2－25(x＋1)2＝0.解：移项，得4(2x－1)2＝25(x＋1)2，①直接开平方，得2(2x－1)＝5(x＋1),②∴x＝－7.③上述解题过程有无错误，若有，是从第________步开始出现错误，错误的原因是________，并写出正确的解答过程．课件展示，学生先自主思考，再合作交流，教师恰当引导和点拨，使学生顺利求解．通过拓展练习，及时地反馈学生的学习情况，查漏补缺，进一步提升教学效果.活动四：课堂总结反思【达标测评】1．下列方程中，适合用直接开平方法解的有________个．①eq\f(1,3)x2＝1；②(x－2)2＝5；③eq\f(1,4)(x＋3)2＝3；④x2＝x＋3；⑤3x2－3＝x2＋1；⑥y2－2y－3＝0.2．如果25x2－16＝0，那么x1＝__eq\f(4,5)__，x2＝__－eq\f(4,5)__．3．探究一元二次方程(x－m)2＝a的解的情况．4．某市区内有一块边长为15米的正方形绿地，经城市规划，需扩大绿化面积，预计规划后的正方形绿地面积将达到300平方米，这块绿地的边长增加了多少米(结果保留一位小数)?师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．利用典型的练习题进一步巩固所学新知，同时检测学习效果，做到“堂堂清”.1.课堂总结：(1)本节课主要学习了哪些知识？学习了哪些数学思想和方法？(2)本节课还有哪些疑惑？说一说！2．布置作业：(1)教材第6页练习．(2)教材第16页习题21.2第1题．(3)选做题：①已知方程(x－1)2＝k2＋2的一个根是x＝3，求k的值和另一个根．②在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为a*b＝a2－b2，求方程(x＋2)*5＝0的解．注重课堂小结，激发学生参与的主动性，为每一个学生的发展与表现创造机会.【知识网络】提纲挈领，重点突出.【教学反思】①[授课流程反思]在复习回顾环节中，教师应给予充分的时间让学生交流、讨论，平方根的意义是直接开平方法的依据，所以必须使学生清楚平方根的意义；在课堂训练中，教师点名让学生回答问题，从多个角度进行多人次的提问．②[讲授效果反思]对于难点问题，教师引导学生注意以下几点：(1)正数的平方根有两个，它们互为相反数，所以方程x2＝p(p>0)有两个实数根；(2)负数没有平方根，所以方程x2＝p(p<0)无实数根．③[师生互动反思]本课时难度较小，重视学生自学能力的提高，教师起到引导、点拨、评价的作用．④[习题反思]好题题号______________________________________错题题号______________________________________反思教学过程和教师表现，进一步优化操作流程和提升自身素质.典案二导学设计年级：年级科目：数学课型：新授执笔：审核：，备课时间：上课时间：教学目标1、理解一元二次方程“降次”──转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题．2、提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax2+c=0，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解a（ex+f）2+c=0型的一元二次方程．重点：运用开平方法解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程；领会降次──转化的数学思想．难点：通过根据平方根的意义解形如x2=n的方程，知识迁移到根据平方根的意义解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程．【课前预习】导学过程阅读教材第5页至第6页的部分，完成以下问题一桶某种油漆可刷的面积为1500dm2,李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？我们知道x2=25，根据平方根的意义，直接开平方得x=±5，如果x换元为2t+1，即（2t+1）2=8，能否也用直接开平方的方法求解呢？计算：用直接开平方法解下列方程：（1）x2=8（2）(2x-1)2=5（3）x2+6x+9=2（4）4m2-9=0（5）x2+4x+4=1（6）3(x-1)2-9=108解一元二次方程的实质是:把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．我们把这种思想称为“降次转化思想”．归纳：如果方程能化成的形式，那么可得【课堂活动】活动1、预习反馈活动2、例习题分析例1用直接开平方法解下列方程：（1）(3x+1)2=7（2）y2+2y+1=24（3）9n2-24n+16=11练习：（1）2x2-8=0（2）9x2-5=3（3）(x+6)2-9=0【课堂练习】：活动3、知识运用1、用直接开平方法解下列方程：（1）3(x-1)2-6=0（2）x2-4x+4=5（3）9x2+6x+1=4（4）36x2-1=0（5）4x2=81（6）(x+5)2=25（7）x2+2x+1=4归纳小结应用直接开平方法解形如的方程，那么可得达到降次转化之目的．【课后巩固】一、选择题1．若x2-4x+p=（x+q）2，那么p、q的值分别是（）．A．p=4，q=2B．p=4，q=-2C．p=-4，q=2D．p=-4，q=-22．方程3x2+9=0的根为（）．A．3B．-3C．±3D．无实数根二、填空题1．若8x2-16=0，则x的值是_________．2．如果方程2（x-3）2=72，那么，这个一元二次方程的两根是________．3．如果a、b为实数，满足+b2-12b+36=0，那么ab的值是_______．4．用直接开平方法解下