【课件】平方差公式（课件）2025-2026学年人教版八年级数学上册

16.3乘法公式R·八年级上册16.3.1平方差公式学习目标掌握平方差公式的推导及应用.了解平方差公式的几何意义，体会数形结合的思想方法.情境导入从前有一个狡猾的地主，他把一块边长x

米的正方形的土地租给老张种植。有一天，他对老张说：“我把这块地的一边减少5米，另一边增加5米，继续租给你，你也没有吃亏，你看如何？”老张答应了。你认为老张吃亏了吗？探究新知（1）(x

+1)(x–1)=__________；（2）(m+2)(m–2)

=__________；（3）(2m+1)(2m–1)

=__________.计算下列多项式的积，你能发现什么规律？x2–1m2–44m2–1x2–1m2–22(2m)2–1都是形如a+b

的多项式与a–b

的多项式相乘运算结果都是这两个数的平方的差猜想：(a+b)(a–b)=a2–b2探究(a+b)(a–b)+=a2(–ab)ab(–b2)++证明一：利用多项式乘多项式的法则.=a2–b2abba(a–b)纸片剩余面积：a2–b2拼成的长方形面积：(a–b)(a+b)(a–b)(a–b)(a+b)=a2–b2证明二：利用几何图形.(a–b)(a+b)=a2–b2两个数的和与这两个数的差的积，等于这两数的平方差平方差公式：平方差公式是多项式乘法(a+b)(p+q)中p=a，q=–b

的特殊情形.注意用谁减谁等号左边的两个二项式中的每一项有什么联系？相同项为a相反项为b，-b结构特征：(相同项)2–(相反项)2(a–b)(a+b)=a2–b2观察(a+b)(a−b)aba2−b2(1+x)(1−x)(−3+a)(−3−a)(1+a)(−1+a)(0.3x−1)(1+0.3x)1x–3a12–x2=1–x2(–3)2–a2=9–a2a1a2–12=a2–10.3x1(0.3x)2–12=0.09x2–1练习填一填：

例1运用平方差公式计算：(1)(3x+2)(3x–2)；(2)(–x+2y)(–x–2y).解：(1)(3x+2)(3x–2)=(3x)2–22=9x2–4(2)(–x+2y)(–x–2y)=(–x)2–(2y)2=x2–4y2分析：(1)a=___，b=____(2)a=___，b=____3x2–x2y如作为因式的二项式的首项是负号，可连符号一起作为一项，也可以把一个因式里的两项颠倒位置观察思考.练习计算：解：（1）原式=a2–52（1）(5+a)(–5+a)；=a2–25（2）原式=(–2x2)2

–y2=4x4

–y2（2）(–2x2

–

y)(–2x2+y)；（3）（3）原式=(1)(x–1)(x+1)(x2+1)；(2)(y+2)(y–2)–(y–1)(y+5)；解：(1)(x–1)(x+1)(x2+1)=(x2–1)(x2+1)=x4–1(2)(y+2)(y–2)–(y–1)(y+5)=y2

–22

–(y2+

4y

–5)

例2计算：=y2

–4–

y2

–4y+5=–4y+1能用平方差公式计算吗？只有符合公式条件的乘法,才能运用公式简化运算,其余的运算仍按乘法法则进行.(3)102×98.(3)102×98=(100+2)(100–2)=1002－22=10000－4=9996

通过合理变形，利用平方差公式，可以简化运算.拓展平方差公式的变形举例：变化形式举例①位置变化②符号变化③系数变化④指数变化⑤增项变化⑥连用公式(a+b)(–b+a)=a2–b2b2–a24a2–b2a4–b4(a+c)2–b2(–a–b)(a–b)=(2a+b)(2a–b)=(a2+b2)(a2–b2)=(a+b+c)(a–b+c)=a4–b4(a+b)(a–b)(a2+b2)=练习计算：解：(1)原式=(a2–1)(a2+1)(a4+1)(1)(a–1)(a+1)(a2+1)(a4+1)；=(a4–1)(a4+1)(2)201×199；(2)原式=(200

+1)(200–1)=2002–12=

40000–1=

39999=a8–1(3)(9x–2y)(x+y)–(–3x+y)(–3x–y).(3)原式=9x2+9xy–2xy–2y2–(9x2–y2)=9x2+9xy–2xy–2y2–9x2+y2=7xy–y2随堂练习1.下列算式不能运用平方差公式计算的是（）A.(x+a)(x–a)B.(x+a)(–a+x)

C.(a+b)(–a–b)D.(–x–b)(x–b)C2.下面的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改正？（1）(x+2)(x–2)＝x2–2；

（2）(–a–2)(a–2)＝a2–4；（3）(x+2y)(–x–2y)=x2–4y2；（4）(3a+4b)(3a–4b)=9a2–4b2.【教材P113练习第1题】原式=

x2–22=x2–4原式=(–2)2–a2=4–a2

原式=x·(–x)+x·(–2y)+2y·(–x)+2y·(–2y)=–x2–2xy–2xy–4y2=–x2–4xy–4y2

原式=(3a)2–(4b)2=9a2–16b2

3.计算：（1）(a+3b)(a

–3b)；

（2）(3+2a)(–3+2a)；解：(1)(a+3b)(a–3b)=a2

–(3b)2=a2

–9b2(2)(3+2a)(–3+2a)=(2a)2–32=4a2

–9【教材P114练习第2题】（3）(xy+1)(x2y2+1)(xy

–1)；

(3)(xy+1)(x2y2+1)(xy–1)=(xy+1)(xy–1)(x2y2+1)=[(xy)2

–12](x2y2+1)=(x2y2

–1)(x2y2+1)=(x2y2)2

–12=x4y4

–1（4）(3x+4)(3x

–4)–(2x

+3)(3x–2)；(4)(3x+4)(3x

–4)–(2x+3)(3x–2)=(3x)2

–42–(6x2–4x+9x–6)=9x2

–16–6x2–5x+6=3x2–5x–104.运用平方差公式计算：（1）51×49；

（2）