2024北京八中高三9月月考数学试题及答案

试题试题2024北京八中高三9月月考数学考试时间：120分钟满分：150分一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1.设复数满足，其中为虚数单位，则的共轭复数等于（）A. B. C. D.2.计算的结果等于（）A. B. C. D.3.从装有十个红球和十个白球的罐子里任取2球,下列情况中互斥而不对立的两个事件是A.至少有一个红球，至少有一个白球B.恰有一个红球，都是白球C.至少有一个红球，都是白球D.至多有一个红球，都是红球4.对于不重合的两个平面与，给定下列条件：①存在平面，使得，都垂直于；②存在平面，使得，都平行于；③存在直线，直线，使得；④存在异面直线，，使得，，，．其中，可以判定与平行的条件有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个5.高二某班共有50名学生，其中女生有名，“三好学生”人数是全班人数的，且“三好学生”中女生占一半，现从该班学生中任选1人参加座谈会，则在已知没有选上女生的条件下，选上的学生是“三好学生”的概率为（）A. B. C. D.6.某外商计划在5个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有（）A.36种 B.60种 C.120种 D.180种7.在一个数列中，如果，都有（为常数），那么这个数列叫做等积数列，叫做这个数列的公积.已知数列an是等积数列，且，公积为8，则（）A.4719 B.4721 C.4723 D.47248.已知函数的最小正周期为．将的图象向左平移个单位长度，所得图象关于轴对称，则的一个值是（）A. B. C. D.9.直三棱柱中，若，，则异面直线与所成的角等于A.30° B.45° C.60° D.90°10.已知抛物线，为直线上一点，过作抛物线的两条切线，切点分别为，则的值为（）A.0 B.1 C.-2 D.-1二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11.二项式的展开式中的常数项为________．12.已知向量满足与的夹角为，则______．13.已知点在圆外，则的取值范围是______．14.已知点是双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0左支上一点是双曲线的左、右两个焦点，且与两条渐近线相交于15.如图，棱长为2的正方体中，E、F分别为棱的中点，G为面对角线上一个动点，则下列选项中正确的是_____．①三棱锥的体积为定值．②存在线段，使平面平面．③G为上靠近的四等分点时，直线与所成角最小．④若平面与棱有交点，记交点分别为M，N，则的取值范围是．三、解答题（共6题，满分85分）16.在中，，．（1）求；（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求边上中线的长．条件①：；条件②：的周长为；条件③：的面积为；17.如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，.（1）求证：平面；（2）若，求与所成角的余弦值：（3）当平面与平面垂直时，求的长，18.小明同学两次测试成绩(满分100分)如下表所示：语文数学英语物理化学生物第一次879291928593第二次829495889487（1）从小明同学第一次测试的科目中随机抽取1科，求该科成绩大于90分的概率；（2）从小明同学第一次测试和第二次测试的科目中各随机抽取1科，记X为抽取的2科中成绩大于90分的科目数量，求X的分布列和数学期望；（3）现有另一名同学两次测试成绩(满分100分)及相关统计信息如下表所示：语文数学英语物理化学生物6科成绩均值6科成绩方差第一次第二次将每科两次测试成绩的均值作为该科的总评成绩，这6科总评成绩的方差为.有一种观点认为：若，则.你认为这种观点是否正确？(只写“正确”或“不正确”)19.已知椭圆上的点到左右两焦点的距离之和为，离心率为．（1）求椭圆的方程：（2）过右焦点的直线交椭圆于两点．若轴上一点满足，求直线斜率的值．20.已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求的单调区间；（3）若关于的方程有两个不相等的实数根，记较小的实数根为，求证：．21.对于给定的正整数和实数，若数列满足如下两个性质：①；②对，，则称数列具有性质.（1）若数列具有性质，求数列的前项和；（2）对于给定的正奇数，若数列同时具有性质和，求数列的通项公式；（3）若数列具有性质，求证：存在自然数，对任意的正整数，不等式均成立.

参考答案一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1.【答案】A【分析】根据复数的除法运算和共轭复数的概念得到结果.【详解】，所以的共轭复数为.故选：A.2.【答案】A【分析】根据正弦的差角公式即可求解.【详解】，故选：A3.【答案】B【详解】由题意所有的基本事件可分为三类：两个红球，一红一白，两个白球．易知A选项的事件不互斥；C，D两个选项中的事件为对立事件；而B项中的事件一是互斥，同时还有“两个红球”的事件，故不对立．故选B.点睛：“互斥事件”与“对立事件”的区别：对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件.4.【答案】B【分析】直线与平面的位置关系，平面与平面的位置关系，对选项进行逐一判断，确定正确选项即可．【详解】解：①若存在平面，使得，都垂直于，则与平行或相交，故①错误．②若存在平面，使得，都平行于，因为与是不重合的两个平面，所以与平行，故②正确．③若存在直线，直线，使得，则与平行或相交，故③错误；④若存在异面直线，，使得，，，，则可以判定与平行．可在面内作，，因为，是异面直线，则与必相交．又，，，，，即④正确．故选：B．5.【答案】D【分析】分别计算“三好学生”人数，女“三好学生”与男“三好学生”人数，再利用条件概率计算公式即可得出结论．【详解】“三好学生”人数是全班人数的，“三好学生”人数是人，男生人数为人，“三好学生”中女生占一半，女“三好学生”与男“三好学生”各是人．现从该班学生中任选1人参加座谈会，则在已知没有选上女生的条件下，选上的学生是“三好学生”的概率，故选：D．6.【答案】C【分析】根据题意，分两种情况讨论，一是在两个城市分别投资1个项目、2个项目，二是在三个城市各投资1个项目，分别计算其情况数目，进而由加法原理，计算可得答案．【详解】该外商不同的投资方案分为两类：若1个城市投资2个项目，另外1个城市投资1个项目，有种投资方案；若3个城市各投资1个项目，共有种投资方案，由分类计数原理知，共有120种不同的投资方案．故选：C．7.【答案】B【分析】先根据题干已知条件及递推公式逐项代入进行计算即可发现数列是以3为最小正周期的周期数列，然后根据周期数列的性质即可计算出数列的前2024项的和．【详解】依题意，由，及，可得当时，，解得，当时，，解得，当时，，解得，当时，，解得，数列是以3为最小正周期的周期数列，，，，．故选：B8.【答案】B【分析】根据函数的周期求，结合三角函数的图象平移关系，结合三角函数的奇偶性进行求解即可．【详解】函数的最小正周期为，，得，则，将的图象向左平移个单位长度，所得图象关于轴对称，则，图象关于轴对称，，则，，当时，，当时，，故选：B．9.【答案】C【详解】本试题主要考查异面直线所成的角问题，考查空间想象与计算能力．延长B1A1到E，使A1E=A1B1，连结AE，EC1，则AE∥A1B，∠EAC1或其补角即为所求，由已知条件可得△AEC1为正三角形，∴∠EC1B为，故选C．10.【答案】A【分析】设，利用导数的几何意义可得直线与直线的方程，进而得到点的坐标，结合点在直线上，得，即,根据数量积的坐标运算化简后即可得解．【详解】设，由求导得，则直线方程为，即，同理可得直线的方程为，联立直线与直线的方程可得，由点在直线上，得，即故选：A．二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11.【答案】60【分析】利用展开式的通项公式，可求常数项.【详解】展开式的通项为．令，得，则的常数项为．故答案为：．12.【答案】【分析】由题，先求得的值，再求得，最后开方可得答案.【详解】，故答案为:13.【答案】【分析】根据一般方程的的定义，以及点与圆的位置关系，即可求解．【详解】由题意得4a2+3a>0故答案为：．14.【答案】【分析】利用三角形中位线定理、锐角三角函数的正弦与余弦的定义，结合已知，可以求出的双曲，进而求得双曲线的离心率.【详解】因为是中点，即是的中位线，则，可得，，又因为，则，，关系则，所以双曲线的离心率是.故答案为：.15.【答案】①③④【分析】根据线面平行的性质与判定及等体积法可判定①；建立空间直角坐标系，利用空间向量可判定②③；利用平面的性质结合勾股定理及函数的性质计算即可判定④.【详解】易知侧面，所以上的点到侧面的距离始终不变，即正方体的棱长2，而对于三棱锥的体积，故①正确；如图所建立的空间直角坐标系，则,可设，则，设平面的一个法向量为，则，取，即，显然，若平面平面，则，此时G不在线段上，即②不成立；易知，设直线与所成角，则，显然时，，即取得最小值，此时，故③正确；如图所示，要满足题意需G靠C近些，过G作，延长交延长线于I，连接IN交AB于M，设，易知，所以，由，所以④正确；故答案为：①③④三、解答题（共6题，满分85分）16.【答案】（1）；（2）答案不唯一，具体见解析．【分析】（1）由正弦定理化边为角即可求解；（2）若选择①：由正弦定理求解可得不存在；若选择②：由正弦定理结合周长可求得外接圆半径，即可得出各边，再由余弦定理可求；若选择③：由面积公式可求各边长，再由余弦定理可求.【详解】（1），则由正弦定理可得，，，，，，解得；（2）若选择①：由正弦定理结合（1）可得，与矛盾，故这样的不存在；若选择②：由（1）可得，设的外接圆半径为，则由正弦定理可得，，则周长，解得，则，由余弦定理可得边上的中线的长度为：；若选择③：由（1）可得，即，则，解得，则由余弦定理可得边上的中线的长度为：.17.【答案】（1）证明见解析（2）（3）【分析】（1）由线面垂直的性质定理及判定定理，即可证明；（2）建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算以及异面直线的夹角公式代入计算，即可求解；（3）由空间向量的坐标运算，分别求得平面与平面的法向量，再由法向量的乘积为零，代入计算，即可求解.【小问1详解】因为四边形为菱形，所以，又因为平面，平面，所以，且，平面，所以平面.【小问2详解】设，因为，，所以，，以为坐标原点，所在直线以及所在且与平行的直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，所以，，设与所成角为，则.【小问3详解】由（2）可知，设P0,−23则，设平面的法向量为，则，令，则，则平面的法向量为，又，则，，设平面的法向量为n=x,y,z则，令，则，所以平面的法向量为，因为平面平面，所以，解得，所以.18.【答案】（1）（2）分布列见解析，（3）不正确【分析】（1）根据古典概型的概率公式计算可得结果；（2）计算出的各个取值的概率可得分布列，根据期望公式计算可得数学期望；（3）根据方差公式计算，结合比较可得答案.【详解】（1）共有6科成绩，其中成绩大于90分的有数学、英语、物理和生物共4科，所以从小明同学第一次测试的科目中随机抽取1科，该科成绩大于90分的概率为.（2）的所有可能取值为：0，1，2，，，，所以X的分布列为：012数学期望.（3）设，则，则，同理可得，，因为，所以，所以的符号不确定，所以与无法比较大小，，所以，故这种观点不正确.【点睛】关键点点睛：掌握求离散型随机变量的分布列的步骤和数学期望公式是解题关键.19.【答案】（1）（2）或或.【分析】（1）利用椭圆的定义求出，根据离心率，求出，可得，即可求椭圆的方程；（2）设直线的方程为，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理、中点坐标公式，可得的中点坐标，分类讨论，利用，可得方程，即可求直线斜率的值．【小问1详解】，，，椭圆的标准方程为【小问2详解】已知，设直线的方程为，，，联立直线与椭圆方程，化简得：，因为该直线过的定点在椭圆内部，则其与椭圆必有两交点，，，的中点坐标为，时，满足条件，此时的中垂线为；当时，，得到MG所在的直线与直线l垂直，，整理得，解得或所以或或.20.【答案】（1）（2）答案见解析（3）证明见解析【分析】（1）求函数导数得切线斜率，再由点斜式可得解；（2）由，分和两种情况讨论导函数的正负，可得函数的单调区间；（3）分析可得要证，，令，利用导数证得，即可得证．【小问1详解】，，，，所以在点1,f1处的切线方程为，整理得：；【小问2详解】函数定义域为0,+∞，当时，f'x≥0，此时在0,+当时，令，得，此时在上f'x<0，在单调递减，在上f'x>0，在单调递增，综上：时，的递增区间为0,+∞，无递减区间；时，的递减区间为，递增区间为；【小问3详解】由（2）可知，当时，才有两个不相等的实根，且，则要证，即证，即证，而，则，否则方程不成立），所以即证，化简得，令，则，当时，，所以在0,1单调递减，当时，，所以在1,+∞单调递增，所以，而，所以，所以，得证．【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是通过证明即可得解，分析函数在极小值左侧的单调性，关键再由证明，利用构造函数的方法即可.21.【答案】（1）5（2）（3）证明见解析【分析】（1）根据题意得