辽宁省七校协作体2024-2025学年高一下学期6月联考试题 数学 含解析

辽宁省七校协作体2024-2025学年高一下学期6月联考数学试题一、单选题1．在复平面内，已知复数，则其共轭复数对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．设是两个不同的平面，m是直线且，则“是”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．设是平面内的一个基底，则下面的四组向量不能构成基底的是（

）A．和 B．和C．和 D．和4．空中有一气球（近似看成一个点），其在地面的射影是点，在点的正西方A点测得它的仰角为，同时在点的南偏东的点，测得它的仰角为，若两点间的距离为100米，那么测量时气球到地面的距离是（

）．A．100米 B．米 C．米 D．米5．已知，则（

）A． B． C． D．6．已知平面向量，则在上的投影向量为（

）A． B． C． D．7．将函数的图像向右平移个单位长度，得到函数的图像，若在上单调递增，则的最大值为（

）．A． B． C． D．8．已知是平面向量，是单位向量，若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是（

）．A． B． C． D．二、多选题9．一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论正确的是（

）A．圆柱的侧面积为B．圆锥的表面积为C．圆柱的侧面积与球的表面积相等D．圆柱､圆锥､球的体积之比为10．的内角的对边是，下列说法正确的是（

）A．若，则是锐角三角形B．若，则此三角形有两解C．若，则是等腰三角形D．若是锐角三角形，则11．如图，直四棱柱的底面是梯形，，，，，P是棱的中点．Q是棱上一动点（不包含端点），则（

）

A．与平面BPQ有可能平行B．与平面BPQ有可能平行C．三角形BPQ周长的最小值为D．三棱锥的体积为定值三、填空题12．函数的对称中心为．13．已知在中，，则．14．已知三棱锥中，是以角为直角的直角三角形，，，，为的外接圆的圆心，，那么三棱锥外接球的表面积为．四、解答题15．如图，在棱长为2的正方体中，分别是棱，的中点．(1)计算棱台的体积；(2)求证：平面平面．16．在中，角的对边分别为，已知．(1)求角；(2)若，求的面积．17．已知向量满足，的夹角为．(1)；(2)若，求实数；(3)若与的夹角为钝角，求实数的取值范围．18．已知的部分图象如图所示．(1)求函数的解析式；(2)求的单调递减区间；(3)若时，函数有两个零点，求实数的取值范围．19．矩形ABCD中，P，Q为边AB的两个三等分点，满足，R是折线段BC-CD-DA（不包括A，B两点）上的动点，设，(1)当△APR是等腰三角形，求；(2)当R在线段BC（不包括B，C两点）上运动时，证明：；(3)当R在线段CD（包括C，D两点）上运动时，求的最大值.

题号12345678910答案DBBCCABAACDACD题号11答案ACD1．D根据复数运算和共轭复数定义求得，由此可得对应点坐标，从而确定结果.【详解】，，对应的点为，位于第四象限.故选：D.2．B根据充分条件和必要条件的定义结合面面平行的判定和性质分析判断即可.【详解】当且时，若与相交，则只需与两平面交线平行即可，故不一定成立；当且时，则；故“是”的必要不充分条件.故选：B.3．B判断每个选项中的向量是否共线，即可判断出答案.【详解】由于是平面内的一个基底，故不共线，和不共线，故A能构成基底，和共线，故B不能构成基底，和不共线，故C能构成基底，根据向量的加减法法则可知和不共线，故D能构成基底，故选：B4．C由线面垂直可得线线垂直，利用锐角三角函数以及余弦定理，建立方程，可得答案.【详解】由题意可得，，，平面，因为平面，所以，在中，由，则，因为平面，所以，在中，由，则，在中，由余弦定理可得，则，解得.故选：C.5．C根据余弦函数的公式，整理化简等式，可得答案.【详解】由，则.故选：C.6．A根据投影向量的求解，可得答案.【详解】由题意可得，，则在上的投影向量.故选：A.7．B根据函数图象变换可得函数解析式，由整体思想以及正弦函数的单调性，可得函数的单调区间，结合题意可得其包含关系，建立不等式，可得答案.【详解】由题意可得，令，解得，令，由题意可得，则，解得，当时，，不合题意；当时，，不合题意.故选：B.8．A由，可得，则与垂直，设共起点，数形结合画出相应图象，结合向量减法的几何意义计算即可得解.【详解】设共起点，由，可得，所以与垂直，如图，由向量减法的几何意义可知，向量的终点落在图中的圆上，由题意可知的终点在图中所示的射线上，所以是从圆上的点到射线上的点形成的向量，要求的最小值，只需求圆心到射线的距离减去圆的半径，故的最小值为．故选：A．9．ACD根据圆柱侧面积公式计算判断A，根据圆锥表面积公式计算判断B，根据球的表面积公式求解与圆柱的侧面积比较即可判断C，根据体积公式求解三个几何体的体积即可判断D.【详解】对于A：球半径为，所以圆柱侧面积为.故A正确；对于B：圆锥侧面积为，表面积为，故B错误；对于C：球的表面积为，所以圆柱的侧面积与球的表面积相等.故C正确；对于D：，所以圆柱､圆锥､球的体积之比为3：1：2，故D正确.故选：ACD.10．ACD对A：借助三角形内角关系及两角和正切公式计算即可得；对B：借助正弦定理及三角形边角关系计算即可得；对C：将边化角后结合两角和的正弦公式计算即可得；对D：借助锐角三角形性质可得，同理可得，即可得解.【详解】对A：，则，由、、中有零个负数或两个负数，又中最多一个角大于，故、、中最多一个负数，即可得、、中不存在负数，故是锐角三角形，故A正确；对B：，则，故，又，故，故只有唯一解，即此三角形有唯一解，故B错误；对C：由，，即有，则是等腰三角形，故C正确；对D：若是锐角三角形，则，故，则，同理可得，故，故D正确.故选：ACD.11．ACD对于A，当Q为的中点时，可证得四边形为平行四边形，则与互相平分于点，连接可证得∥，再由线面平行的判定定理可得结论，对于B，由题意可得与平面BPQ相交，对于C，把沿展开与在同一平面（如图），则当B，P，Q共线时，有最小值，从而可求得结果，对于D，，为定值，可得结论.【详解】对于A，连接，当Q为的中点时，，因为，∥，∥，，所以，∥，所以四边形为平行四边形，所以与互相平分，设与交于点，连接，因为P是棱的中点，所以∥，因为平面，平面，所以∥平面BPQ，故A正确；

对于B，，又平面BPQ，BD与平面BPQ只能相交，所以与平面BPQ只能相交，故B错；对于C，，把沿展开与在同一平面（如图），则当B，P，Q共线时，有最小值，在直角梯形中，，，，，则，所以，所以，所以三角形BPQ周长的最小值为，故C正确；

对于D，，因为定值，因为∥，∥，所以∥，因为平面，平面，所以∥平面ABP，故Q到平面ABP的距离也为定值，所以为定值．所以D正确，故选：ACD．12．【详解】令，解得，所以函数的对称中心为.故答案为：.13．【详解】在中，由，得，解得，而，则，,所以.故答案为：14．【详解】设三棱锥外接球的球心为，半径为，连接，如图，因为是以角为直角的直角三角形，所以为圆的直径，所以.因为，，，所以，得，所以，故.因为，为的中点，所以，因为，平面，所以平面，所以三棱锥外接球的球心在直线上，且.在中，，所以，解得，所以三棱锥外接球的表面积为：.故答案为：.15．(1)(2)证明见解析（1）根据棱台的体积公式求解；（2）连接，，利用线面平行的判定定理可证平面，平面，再根据面面平行的判定定理证明.【详解】（1）由题可知，．根据棱台的体积公式，可得棱台的体积.（2）如图所示：连接，因为分别是的中点，则，又平面平面，所以平面，连接，则．所以四边形为平行四边形，所以．又平面平面，所以平面，又，平面，所以平面平面.16．(1)(2)（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，结合二倍角的正弦求解即得.（2）利用余弦定理及三角形面积公式求出.【详解】（1）在中，由，得，则，由及正弦定理，得，由，得，则，即．又，即，解得，即，所以.（2）由余弦定理得，解得，所以的面积.17．(1)(2)(3)，且（1）利用向量的平方，结合数量积运算来求差向量的模即可；（2）利用垂直向量，转化为数量积为0的运算即可求参数；（3）利用向量夹角问题转化为数量积的正负和不共线问题来求解即可.【详解】（1），，．（2）．（3）由已知，且与不共线，由可得，，所以，若与共线，则可得，所以，即，所以由与不共线可得，所以且，所以的取值范围为，且．18．(1)(2)(3)（1）根据函数图象先确定的值，再由和，解得，最后将点代入解得，即可求出；（2）由得，，再结合的单调性即可求解；（3）由得，，作出函数在上的图象，函数在上有两个零点，可以转化为与在上有两个交点，结合图象即可求解.【详解】（1）由图可得，，解得，又因为，所以，因为的图象经过，所以，所以，即，又因为，所以，故的解析式为：．（2）当时，，因为在单调递减，由，所以的单调递减区间是．（3）当时，，因为在和上单调递增，在上单调递减，由，得，由，得，由，得，所以函数在和上单调递增，在上单调递减，所以函数在上的图象如图所示，因为函数在上有两个零点，所以与在上有两个交点，所以，所以实数的取值范围为．19．(1)或(2)证明见解析(3)（1）△APR是等腰三角形分三种情况：①当时，R和D重合，②当时，，③当时，R在A