2024北京清华附中初三3月月考数学试题及答案

试题试题2024北京清华附中初三3月月考数学2024.03一．选择题（共16分，每小题2分）1.根据数据显示，2023年北京市GDP总量为万亿元，排在全国第13位．将用科学记数法表示应为（）A. B. C. D.2.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.3.如图，直线相交于点O，，垂足为O．若，则的度数为（）A. B. C. D.4.如果，那么下列不等式正确的是（）A. B. C. D.5.若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是（）A. B. C. D.6.已知一个多边形的内角和等于900º，则这个多边形是（）A.五边形 B.六边形 C.七边形 D.八边形7.龙行龘龘，“故宫博物院”微信公众号《在故宫，看见中国龙》中展示了我国古代文物中的“龙”，小春用这些图片制作了如下大小和背面完全相同的卡片，每张卡片被抽到的概率相同，随机先抽取一张，记录结果并放回，再抽取一张，她两次都抽到“清雍正珐琅彩黄地云龙纹碗”的概率是（）明嘉靖黄地矾红彩海水云龙纹盖罐清乾隆海水龙纹砚式墨明宣德青花矾红彩海水龙纹碗清雍正珐琅彩黄地云龙纹碗A. B. C. D.8.如图，抛物线）经过点．下面四个结论中：①；②；③；④关于x的方程有两个不相等的实数根．其中所有正确结论的序号是（）A.①② B.②③ C.③④ D.②③④二．填空题（共16分，每小题2分）9.若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是_______．10.分解因式：x3﹣6x2+9x=___．11.方程的解是______．12.在平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图象上，且，请你写出一个符合要求的k的值_______．13.为了解北京市九年级学生的1分钟跳绳成绩，随机抽取了1000名学生的1分钟跳绳成绩，成绩统计如表：组别（个）人数50150200600根据北京市体育中考跳绳评分标准，1分钟跳绳个数不小于180的为满分，现任意抽查北京市一名九年级学生，1分钟跳绳成绩满分的概率约为______．14.如图，，，，那么______．15.如图，为的切线，切点为A，交于点C，点D在上，若，则______．16.实验室需要购买，，三种型号的盒子存放材料，盒子容量和单价如下表所示：盒子型号盒子容量（单位：升）234盒子单价（单位：元）569其中型号盒子做促销活动：购买3个及以上可一次性优惠4元，现有28升材料需要存放，要求每个盒子都要装满且三种盒子都至少买一个．（1）若购买，，三种型号的盒子的个数分别为1，6，2，则购买总费用为______元；（2）若一次性购买所需盒子且购买总费用为58元，则购买三种型号的盒子的总数为______个．三．解答题（共68分，第17～19题，每题5分，第20题6分，第21－23题，每题5分，第24～26题，每题6分，第27～28题，每题7分）17.计算：18.解不等式组：19.已知：，求代数式的值．20.如图，在中，点E，F分别在，上，，．（1）求证：四边形是菱形；（2）若，，求的长．21.如图，用8个大小、形状完全相同的小矩形，拼成一个大矩形，每个小矩形的长和宽分别是多少？22.在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点．（1）求这个一次函数的解析式；（2）当时，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出m的取值范围．23.门头沟区深挖区域绿水青山教育资源，以区域山水和历史人文资源为素材，开展跨学科实践活动．某校为调研学生的学习成效．举办“跨学科综合实践活动”成果作品比赛．十名评委对每组同学的参赛作品进行现场打分．对参加比赛的甲，乙，丙三组同学参赛作品得分（单位：分）的数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．a．甲．乙两组同学参赛作品得分的折线图：b．丙组同学参赛作品得分：9499109108810c．甲，乙，丙三组同学参赛作品得分的平均数、众数、中位数如下：平均数众数中位数甲组8.699乙组8.68.5丙组8.69根据以上信息，回答下列问题：（1）表中_____，______；（2）在参加比赛的小组中，如果某组同学参赛作品得分的个数据的方差越小，则认为评委对该组同学参赛作品的评价越一致．据此推断：在甲，乙两组同学中，评委对______组同学的参赛作品评价更一致（填“甲”或“乙”）（3）如果每组同学的最后得分为去掉十名评委打分中的一个最高分和一个最低分后的平均分，最后得分越高，则认为该组同学的参赛作品越优秀．据此推断：在甲，乙，丙三组同学中，参赛作品最优秀的是______组同学（填“甲”或“乙”或“丙”）．24.如图，是的直径，弦于点E，点F在上，与交于点G，点H在的延长线上，且，延长交的延长线于点M．（1）求证：直线是的切线；（2）连接，若，，求的长．25.某实验室要建造一个如图1所示的长方体无盖水池，其底面积为1平方米，深为1米．已知底面造价为1千元/平方米，侧面造价为千元/平方米．设水池底面一边长为x米，则水池底面另一边长为米，水池总造价为y千元，下表是y与x的几组对应数值：x

1234

y

m3n

（1）①______，______；②在下面的平面直角坐标系中画出该函数的图象．（2）结合表中数据和函数图象，①当______时，水池总造价的费用最低，为______千元；②若该实验室预算不超过千元，直接写出x的值的范围______．26.在平面直角坐标系中，点在抛物线上．（1）当时，求抛物线的顶点坐标，并直接写出和的大小关系；（2）点在该抛物线上．①当时，若，则a的值为______；②若对于都有，求a的取值范围．27.在中，，，D是边的中点．点E为线段上的动点（不与点B，D重合），将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接．（1）依题意补全图形；（2）用等式表示线段之间的数量关系，并说明理由．（3）取中点G，连接，判断在点E运动过程中，的大小是否变化，并说明理由．28.在平面直角坐标系中，对于点和点A，给出如下定义：将点A绕点K顺时针旋转，得到点B，作点B关于直线的对称点C，则称点C为点A关于点K的“转折点”．（1）求点关于点K的转折点Q的坐标．（2）已知点，如果M关于K的转折点是N，①当M，K，N三点在同一条直线上时，______．②当时，直接写出m的取值范围．

参考答案一．选择题（共16分，每小题2分）1.【答案】B【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．【详解】解：故选：B．2.【答案】D【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心.【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；故选D．3.【答案】B【分析】本题主要考查了垂线的定义，几何图形中角度的计算，先由垂线的定义得到，再根据平角的定义求解即可．【详解】解；∵，∴，∵，∴，故选：B．4.【答案】A【分析】根据不等式的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】解：A、由x＜y可得：，故选项成立；B、由x＜y可得：，故选项不成立；C、由x＜y可得：，故选项不成立；D、由x＜y可得：，故选项不成立；故选A.【点睛】本题考查了不等式的性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．5.【答案】B【分析】根据关于x的一元二次方程x2+x-k=0有两个实数根，得出Δ=b2-4ac≥0，即1+4k≥0，从而求出k的取值范围．【详解】解：∵x2+x-k=0有两个实数根，∴Δ=b2-4ac≥0，即1+4k≥0，解得：k≥-，故选：B．【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，掌握Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；Δ=0⇔方程有两个相等的实数根；Δ＜0⇔方程没有实数根是本题的关键．6.【答案】C【详解】多边形的内角和公式为（n－2）×180°，根据题意可得：（n－2）×180°=900°，解得：n=7．故选C7.【答案】B【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到她两次都抽到“清雍正珐琅彩黄地云龙纹碗”的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．【详解】解：设明嘉靖黄地矾红彩海水云龙纹盖罐，清乾隆海水龙纹砚式墨，明宣德青花矾红彩海水龙纹碗，清雍正珐琅彩黄地云龙纹碗分别用A、B、C、D表示，画树状图如下：由树状图可知共有16种等可能性的结果数，其中她两次都抽到“清雍正珐琅彩黄地云龙纹碗”的结果数有1种，∴她两次都抽到“清雍正珐琅彩黄地云龙纹碗”的概率为，故选：B．8.【答案】D【分析】本题主要考查二次函数的性质以及与一次函数的解集，根据图像开口可得①错误；根据对称轴可判断②正确；由时，，即可判断③正确；利用二次函数与直线的图像位置关系可判断④正确．【详解】解：①∵抛物线开口向下，∴，故①错误．②∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，且与x轴的交点一个为另外一个在2到3之间，∴，∵∴，∴，故②正确．③由图象可知，当时，，∴，故③正确．④由函数图象可知，抛物线与直线有两个不相同的交点，∴关于x的方程有两个不相等的实数根，故④正确；故选：D．二．填空题（共16分，每小题2分）9.【答案】【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．【详解】解：∵在实数范围内有意义，∴x-1≥0，解得x≥1．故答案为：x≥1．【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0．10.【答案】x（x﹣3）2【详解】解：x3﹣6x2+9x=x（x2﹣6x+9）=x（x﹣3）2故答案为：x（x﹣3）211.【答案】【分析】本题考查了解分式方程．方程两边同时乘以，把分式方程化为整式方程，解整式方程检验后，即可得出分式方程的解．【详解】解：方程两边同时乘以得：，解得：，检验：当时，，原分式方程的解为．故答案为：．12.【答案】（答案不唯一）【分析】由题可知，在两个象限，根据得到图象位于二、四象限，即给出符合题意的k值即可．【详解】由题可知，在两个象限，∵，∴反比例函数的图象位于二、四象限，∴，即，故答案为：．【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键．13.【答案】【分析】此题考查了概率的计算方法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率．据此求解即可．【详解】解：由题意，得．故答案为：．14.【答案】12【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，注意掌握数形结合思想的应用．由，可证得，然后由相似三角形的对应边成比例求得答案．【详解】解：∵，∴，，故答案为：12．15.【答案】【分析】本题考查了切线的性质，三角形内角和定理，圆周角定理．熟练掌握切线的性质，圆周角定理是解题的关键．由题意知，，则，由圆周角定理可得，计算求解即可．【详解】解：∵为的切线，切点为A，∴，∴，∵，∴，故答案为：．16.【答案】①.59②.10【分析】本题考查有理数混合运算及三元一次方程的应用，分类讨论思想及列出方程求整数解是解题的关键．（1）根据盒子的个数乘以盒子的单价即可得购买费用；（2）设购买种型号盒子个，购买种型号盒子个，购买种盒子型号个，根据题意列出方程组，然后求正整数解即可．【详解】解：（1）购买费用为：（元，故答案为：59；（2）设购买种型号盒子个，购买种型号盒子个，购买种盒子型号个，根据题意得：，①当时，，，，都为正整数，方程组无解；②当时，，，，都为正整数，时，，，综合所述，购买，，三种型号的盒子的个数分别4，4，2，，故答案为：10．三．解答题（共68分，第17～19题，每题5分，第20题6分，第21－23题，每题5分，第24～26题，每题6分，第27～28题，每题7分）17.【答案】【分析】本题主要考查了求特殊角三角函数值，负整数指数幂，二次根式的加减计算，先计算特殊角三角函数值，负整数指数幂和化简二次根式，再根据二次根式的加减计算法则求解即可．【详解】解：．18.【答案】【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．【详解】解：解不等式①得：，解不等式②得：，∴不等式组的解集为．19.【答案】【分析】本题主要考查了分式的求值，先求出，再把所求式子分母和分子因式分解得到，据此求解即可．【详解】解：∵，∴，∴．20.【答案】（1）见解析（2）【分析】本题主要考查了菱形与三角形综合．熟练掌握平行四边形的判定与性质，菱形的判定和性质，正弦定义，是解题的关键．（1）先由，得出四边形是平行四边形，再由，得出是菱形；（2）根据，得到，再由勾股定理得到，即得．【小问1详解】∵四边形是平行四边形，∴，∵，∴四边形是平行四边形，∵，∴是菱形；【小问2详解】∵，，∴，∴，∴．21.【答案】每个小矩形的长和宽分别是．【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设每个小矩形的长和宽分别是，根据图形可知长和宽的和为，长的2倍等于宽的3倍加上长，据此列出方程组求解即可．【详解】解：设每个小矩形的长和宽分别是，由题意得，，解得，∴每个小矩形的长和宽分别是．22.【答案】（1）（2）【分析】本题考查了一次函数图象的平移，一次函数解析式，一次函数与不等式，熟练掌握一次函数图象的平移，一次函数解析式，数形结合是解题的关键（1）由图象的平移可知，，将代入得，，可求，进而可求一次函数的解析式；（2）作一次函数图象，可得当时，，当时，，解得，，结合图象作答即可．【小问1详解】解：由图象的平移可知，，将代入得，，解得，，∴这个一次函数的解析式为；【小问2详解】解：由题意作图如下；当时，，当时，，解得，，∵当时，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数的值，∴由图象可知，，∴m的取值范围为．23.【答案】（1）8，9（2）乙（3）丙【分析】（1）根据中位数、众数的定义，即可求解；（2）分别计算甲、乙两组的方差，即可求解；（3）根据题意，分别求出甲、乙、丙三组的最后得分，即可得出结论．【小问1详解】解：乙组的成绩中8分出现的次数最多，出现了5次，故乙组的众数为8分，即，丙组的得分从小到大排列为：4889999101010第5个与第6个得分都为9分，故丙组得分的中位数为：，故答案为：8，9；【小问2详解】解：甲组得分的方差为：，乙组得分的方差为：，，评委对乙组同学的参赛作品评价更一致，故答案为：乙；【小问3详解】解：甲组最后得分为：，乙组最后得分为：，丙组最后得分为：，，参赛作品最优秀的是丙组同学，故答案为：丙．【点睛】本题考查了折线统计图，加权平均数，众数，中位数，方差，理解平均数、方差的意义和计算方法是正确解答的前提．24.【答案】（1）证明见解析（2）【分析】（1）连接，根据，可得，再由，可得，然后根据等腰三角形的性质及切线的判定定理可得结论；（2）连接，先证得，再根据可得，，再利用相似三角形的性质得到，从而利用勾股定理建立方程得的长．【小问1详解】证明：连接，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，即，∴，∴是的切线；【小问2详解】解：连接，由（1）得，，∴，∵是的直径，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴．【点睛】此题主要考查了圆的综合题目，考查了切线的判定，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理，等边对等角等知识，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．25.【答案】（1）①；；②见解析（2）①1；3；②【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合：（1）①根据题意列出y关于x的函数关系式，然后求出当和当时的函数值即可得到答案；②根据表格中的数据画出对应的函数图象即可；（2）①根据函数图象求解即可；求出当时，x的值，然后结合函数图象求解即可．【小问1详解】解：由题意得，，∴当时，，当时，，故答案为：；；②函数图象如下所示：【小问2详解】解：①由函数图象可知，当时，水池总造价的费用最低，为3千元，故答案为：1；3；②当时，则，解得或，∴由函数图象可知，该实验室预算不超过千元，则，故答案为：．26.【答案】（1），（2）①；②或【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，利用数形结合的思想求解是解题的关键．（1）直接把解析式化为顶点式得到抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，则离对称轴越远函数值越大，据此求解即可；（2）①根据，抛物线的对称轴为直线，即可求解；②分两种情况结合图形，即可求解．【小问1详解】解：当时，，，∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，∴离对称轴越远函数值越大，∵，∴；【小问2详解】解：①当时，点，∵，∴抛物线的对称轴为直线，∵抛物线的对称轴为直线，∴；故答案为：；②对于任意的都满足，点A、B、C存在如下情况：情况1，如示意图，当时，有，解得：．情况2：如示意图；当时，，解得．综上所述，或．27.【答案】（1）见解析（2），理由见解析（3）的大小不发生变化，理由见解析【分析】（1）根据题意画图即可；（2）先证明，得到，则，再由线段中点的定义可得，则；（3）如图所示，在上取一点H，使得，连接，先证明，由（2）可得，则，，即可证明，证明，得到；证明是的中位线，得到，则，由的度数为定值，可得的度数为定值，不发生变化．【小问1详解】解：如图所示，即为所求；【小问2详解】解：，理由如下：由旋转的性质可得，∴，又∵，∴，∴，∵，∴，∵D为中点，∴，∴；【小问3详解】解：的大小不发生变化，理由如下：如图所示，在上取一点H，使得，连接，∵D为中点，∴，∵，∴，∴，由（2）可得∴，，∴，∵，∴，∴，∴；∵G为中点，∴是的中位线，∴，∴，∴，∵的度数为定值，∴的度数为定值，不发生变化．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，三角形中位线定理，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理等等，通过旋转全等模型证明三角形全等是解题的关键．28.【答案】（1）（2）①或；②或【分析】（1）设点绕点K顺时针旋转90度的对应点为H，过点K作轴，分别过点H，P作的垂线，垂足分别为S、R，证明，求出，则，进而得到点P与点H关于原点对称，即点O为的中点，则，则点H与点P关于直线对称，即可得到点关于点K的