丰台区高三二模数学试卷

丰台区高三二模数学试卷一、选择题（每题1分，共10分）

1.若函数$f(x)=x^3-3x^2+4x$在$x=1$处取得极值，则该极值是：

A.最大值

B.最小值

C.无极值

D.无法确定

2.已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，若$a_1=3$，$S_5=30$，则公差$d$等于：

A.3

B.4

C.5

D.6

3.若不等式$|x-1|+|x+2|<3$的解集为$A$，则$A$的长度为：

A.2

B.3

C.4

D.5

4.已知复数$z=a+bi$（其中$a,b\inR$）满足$|z-i|=|z+1|$，则实数$a$的取值范围是：

A.$a>0$

B.$a\leq0$

C.$a>1$

D.$a\leq1$

5.已知函数$f(x)=\frac{x}{x-1}$在区间$(0,1)$内单调递增，则函数$g(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x-1}$在区间$(0,1)$内：

A.单调递增

B.单调递减

C.先增后减

D.先减后增

6.若等比数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，若$a_1=2$，$S_3=12$，则公比$q$等于：

A.2

B.3

C.4

D.6

7.若函数$f(x)=\sqrt{1-x^2}$在$x=0$处的切线斜率为：

A.0

B.1

C.-1

D.不存在

8.已知函数$f(x)=x^3-3x^2+4x$的图像关于直线$x=1$对称，则该函数的对称中心为：

A.$(1,0)$

B.$(1,1)$

C.$(1,2)$

D.$(1,3)$

9.已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，若$a_1=5$，$S_4=40$，则第8项$a_8$等于：

A.5

B.10

C.15

D.20

10.若函数$f(x)=x^3-3x^2+4x$在$x=0$处的导数$f'(0)$等于：

A.0

B.1

C.-1

D.2

二、多项选择题（每题4分，共20分）

1.下列函数中，在区间$(-\infty,+\infty)$上单调递增的是：

A.$f(x)=x^3$

B.$f(x)=x^2$

C.$f(x)=e^x$

D.$f(x)=\lnx$

E.$f(x)=\sqrt{x}$

2.若函数$f(x)=x^3-3x^2+4x$的图像经过点$(1,2)$，则以下哪个方程组无解：

A.$\begin{cases}f(x)=2\\x=1\end{cases}$

B.$\begin{cases}f(x)=2\\x=2\end{cases}$

C.$\begin{cases}f(x)=2\\x=3\end{cases}$

D.$\begin{cases}f(x)=2\\x=4\end{cases}$

E.$\begin{cases}f(x)=2\\x=5\end{cases}$

3.下列数列中，是等差数列的是：

A.$\{2,4,6,8,10,\ldots\}$

B.$\{3,6,9,12,15,\ldots\}$

C.$\{1,3,5,7,9,\ldots\}$

D.$\{1,2,4,8,16,\ldots\}$

E.$\{1,3,5,7,11,\ldots\}$

4.下列命题中，正确的是：

A.若函数$f(x)$在区间$[a,b]$上单调递增，则$f(a)<f(b)$

B.若函数$f(x)$在区间$[a,b]$上单调递减，则$f(a)>f(b)$

C.若函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，则$f(a)<f(b)$

D.若函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，则$f(a)>f(b)$

E.若函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，则$f(a)=f(b)$

5.下列复数中，可以表示为实数的复数是：

A.$i$

B.$-i$

C.$1+i$

D.$1-i$

E.$2i$

三、填空题（每题4分，共20分）

1.已知等差数列$\{a_n\}$的公差为$d$，首项$a_1$，若$a_4+a_7=20$，则$a_6=\_\_\_\_\_\_\_$

2.若函数$f(x)=\frac{2x-1}{x^2+x}$的图像与$x$轴的交点为$(1,0)$，则该函数的定义域为$\_\_\_\_\_\_\_$

3.若复数$z=3+4i$的模为$5$，则$z$在复平面上的坐标为$\_\_\_\_\_\_\_$

4.已知等比数列$\{a_n\}$的首项$a_1=2$，公比$q=3$，则第5项$a_5=\_\_\_\_\_\_\_$

5.若函数$f(x)=x^3-3x^2+4x$的图像在$x=1$处取得极值，则该极值的值为$\_\_\_\_\_\_\_$

四、计算题（每题10分，共50分）

1.计算题

已知函数$f(x)=x^3-6x^2+9x+1$，求：

（1）函数的导数$f'(x)$；

（2）函数的极值点及对应的极值；

（3）函数的单调区间。

2.计算题

已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，其中$a_1=5$，$S_5=55$，求：

（1）数列的公差$d$；

（2）数列的前10项和$S_{10}$；

（3）数列的第15项$a_{15}$。

3.计算题

已知函数$f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$，求：

（1）函数的定义域；

（2）函数的图像与$x$轴的交点；

（3）函数的垂直渐近线方程。

4.计算题

已知复数$z=2+3i$，求：

（1）$z$的模$|z|$；

（2）$z$的共轭复数$\overline{z}$；

（3）$z$的辐角$\theta$（用弧度表示）。

5.计算题

已知数列$\{a_n\}$是等比数列，其中$a_1=3$，$a_4=81$，求：

（1）数列的公比$q$；

（2）数列的前6项和$S_6$；

（3）数列的第8项$a_8$。

本专业课理论基础试卷答案及知识点总结如下：

一、选择题答案及知识点详解：

1.A（知识点：极值的判定方法）

2.B（知识点：等差数列的通项公式和前$n$项和公式）

3.A（知识点：不等式的解法）

4.B（知识点：复数的模和几何意义）

5.A（知识点：函数的单调性）

6.B（知识点：等比数列的通项公式和前$n$项和公式）

7.A（知识点：导数的几何意义）

8.A（知识点：函数的对称性）

9.B（知识点：等差数列的通项公式）

10.A（知识点：导数的计算）

二、多项选择题答案及知识点详解：

1.A,C,D（知识点：函数的单调性）

2.B,D（知识点：函数与方程的关系）

3.A,B,C（知识点：等差数列的定义）

4.A,B（知识点：函数的单调性）

5.B,D（知识点：复数的模和几何意义）

三、填空题答案及知识点详解：

1.$a_6=6$（知识点：等差数列的通项公式）

2.定义域为$\{x|x\neq2\}$（知识点：函数的定义域）

3.坐标为$(3,4)$（知识点：复数的模和几何意义）

4.$a_5=54$（知识点：等比数列的通项公式）

5.极值为$-2$（知识点：导数的计算）

四、计算题答案及知识点详解：

1.解题过程：

（1）$f'(x)=3x^2-12x+9$

（2）极值点为$x=1$，极值为$f(1)=2$，极大值。

（3）单调递增区间为$(-\infty,1)$和$(3,+\infty)$，单调递减区间为$(1,3)$。

2.解题过程：

（1）$d=2$

（2）$S_{10}=10\times5+45=95$

（3）$a_{15}=5+14\times2=33$

3.解题过程：

（1）定义域为$\{x|x\neq2\}$

（2）交点为$(2,0)$

（3）垂直渐近线方程为$x=2$

4.解题过程：

（1）$|z|=\sqrt{2^2+3^2}=5$

（2）$\overline{z}=2-3i$

（3）$\theta=\arctan\frac{3}{2}$

5.解题过程：

（1）$q=3$

（2）$S_6=3+9+27+81+243+729=1093$

（3）$a_8=3^8=6561$

知识点总结：

本试卷涵盖了高中数学中的多项知识点，包括函数的性质、数列、复数、导数、极值、单调性、定义域、图像、方程、几何意义等。题型包括选择题、多项选择题、填空题和计算题，全面考察了学生对这些知识点的掌握程度。

题型详解及示例：