高中数学课题之导数及其应用2

导数及其运用

知识网络

第1讲导数的概念及运算

★知识梳理★

1.用定义求函数的导数的步骤.

(1)求函数的改变量Ay；(2)求平均变化率团.(3)取极限，得导数团(xO)=查.

2.导数的几何意义和物埋意义

几何意义：曲线f(x)在某一点(xO,yO)处的导数是过点(xO,yO)的切线的

物理意义：若物体运动方程是s=s(t),在点P(Qs(tO))处导数的意义是t=tO处

的___________

解析：斜率.；瞬时速度.

3.几种常见函数的导数

c=0(c为常数)；(/')'=(〃£/?)；

(sinx)=；(cosx)=；

(In=-；(log.xY=-log“e；

xx

00；00.

解析:国

4.运算法则

①求导数的四则运算法则：

/、’

(w±V)=M±V;(MV)=;—=("0).

解析:0；0

②复合函数的求导法则:胴或团

★重难点突破★

1.重点：理解导数的概念与运算法则，熟练掌握常见函数的计算和曲线的切线方程的求法

2.难点：切线方程的求法及复合函数求导

3.重难点：借助于计算公式先算平均增长率,再利用函数的性质解决有关的问题.

(1)平均变化率的实际含义是改变量与自变量的改变量的比。

问题L比较函数f(x)=T与g(x)=3’，当x£[1,2J时,平均增长率的大小.

点拨:解题规律技巧妙法总结：计算函数的平均增长率的基本步骤是

(1)计算官变量的改变量&*=工2X]

⑵计算双应函数值的改变量A)，=/(X2)-/(X2)

⑶计算平均增长率：包J5)一/卬

AA-々一七

对于/(/)=2、，兽=与彳=3,又对J--g(x)=3、，普==8

A%12-1Aq2-1

故当X£[1,2]时，g(x)的平均增长率大于/(X)的平均增长率.

(2)求复合函数的导数要坚持“将求导进行到底”的原则，

问题2.已知0,则0.

点拨：复合函数求导数计算不熟练，其与系数不一样也是一个复合的过程，有的同学忽视了，导致错解为：.

f

设y=/,w=1+cos2x,则y；=y'uux=2w(l+coslx)'=2w(-sin2x)(2x)

=2w(-sin2x)•2=-4sin2x(1+cos2x)/.y'=-4sin2x(1+cos2x).

(3)求切线方程时已知点是否切点至关重要。

问题3.求在点和处的切线方程。

点拨：点在函数的曲线上，因此过点的切线的斜率就是在处的函数值；

点不在函数曲线上，因此不能够直接用导数求值，要通过设切点的方法求切线.切忌直接将，看作曲线上的点

用导数求解。

,/y=2x2+3,/=4x/.y［a产4

却过点的切线的斜率为4,故切线为：.

设过点的切线的切点为，则切线的斜率为，又，

故，。

即打线的斜率为4或12,从而过点的切线为：

y=4x-1,y=12x-15

★热点考点题型探析★

考点1：导数概念

题型1.求函数在某一点的导函数值

［例1］设函数口在口处可导，则口等于

A.B.C.D.

【解题思路】由定义直接计算

［解析］lim,小――)一・"%)=-lim力/+(3"-/(/)=_/(/).故选§

ASOAx(—Ax)

【名师指引】求解本题的关键是变换出定义式lim/(二十以)一=/'(%)

—Ar

考点2.求曲线的切线方程

［例2］(高明一中2009届高三上学期第四次月考)如图，函数的图象在点P处的切线方程是，则

【解题思路】区分过曲线处的切线与过点的切线的不同，后者的点不一定在曲线.匕解析:观察图形，设，过P

点的切线方程为

)」/(5)=/,(5)(x-5)即y=/(5)冗+/(5)-5/'(5)

它与),=一工+8重合,比较系数知:/'(5)=-1,/(5)=3

故/(5)+:(5)=2

【名师指引】求切线方程时要注意所给的点是否是切点.若是，可以直接采用求导数的方法求；不是则需设出切点

11

⑶)，二一--U+D=--

X+lX+1

【名师指引】注意复合函数的求导方法(分解团求导团回代)；注意问题的变通：如团的导数容易求错，但13的导数不易求

错.

题型2:求导运算后求切线方程

例2.(广州市2008届二月月考)已知函数

(1)若回，点P为曲线闭上的一个动点，求以点P为切点的切线斜率取最小值时的切线方程；

(2)若函数闭上为单调增函数，试求满足条件的最大整数a.

【解题思路】先按运算法则求导,再按几何意义求切线方程.

解析：(1)设切线的斜率为k,则回

又团，所以所求切线的方程为：团即团

【名师指引】求三次函数图象的切线在高考中经常出现.

与曲线)，二」/相切于p(e*)处的切线方程是([))

e

A.B.C.D.

题型3:求导运算后的小应用题

例3.某市在一次降雨过程中，降雨量与时间的函数关系可近似地表示为，则在时刻的降雨强度为()

A.0B.0C.0D.0

【解题思路】先对f的求导，再代，的数值.

解析：小=会*扁一/扁年选。

[名师指引】求某一时刻的降雨量相当于求瞬时变化率，即那一时刻的导数值.

【新题导练】.

4.设函数，且，则

A.0B.-1C.3D.-6

思路分析：按导数乘积运算法则先求导，然后由已知条件构造关于k的方程求解.

解：

f'(/)=(x+&)(x+2k)(x-3&)+x(x+2k)(x-3k)+x(x+k)(x-3k)+x(x+k)(x+2k)

故/'(O)=-6A3又f'(O)=6,故人=—I

5.设函数，(、、是两两不等的常数)，

则回

解析:/'(%)=(x-a)(x一〃)+(x—b)(x-c)+(x-c)(x一。)代入即得0..

6.质量为的物体按的规律作直线运动，动能，则物体在运动后的动能是

解析:先求瞬时速度后，再代入公式求解提3125J

★抢分频道★

基础巩固训练

L(广东省六校2009届高三第二次联考试卷)是的导函数，则的值是

解析：/'(x)=I+2故/'(-1)=3

2.(广东省2008届六校第二次联考)在处的导数值是___________.

解析:因故填团

3.已知直线x+2y—4=0与抛物线y2=4x相交于A、B两点，0是坐标原点，P是抛物线的弧上求一点P,当APAB

面积最大时，P点坐标为.V

解析：|AB|为定值，4PAB面枳最大，只要P到AB的距离最大，只要点P是抛物线的平行于AB的切线的切点，设P

（x,y）.由图可知，点P在x轴下方的图象上

/.y--24x,：,y'=--^=,*：公8=一g''一宁=~~

；・x=4,代入y2=4x（y<0）得y=—4.P（4,—4）

4.（广东省深圳市2008年高三年级第•次调研考试）已知胤团（0）,直线回与函数团、回的图像都相切，且与函数回的图像的

切点的横坐标为1.求直线团的方程及旧的值；

解：依题意知：直线是函数在点处的切线，故其斜率

>

所以直线回的方程为国.

又因为直线团与团的图像相切，所以由

得田（田不合题意，舍去）；

5.（湛江市实验中学2009届高三第四次月考）

已知函数的图象都相切，且1与函数图象的切点的横坐标为1,求直线1的方程及a的值；

解由，故直线1的斜率为1,切点为

即（1,0）・•・①又•・•

/./:y-（―+67）=x-1即y=x-g+。②

比较①和②的系数得一工+。=-l.:.a=--

22

综合拔高训练

6.对于三次函数口，定义：设口是函数口的导函数口的导数，若口有实数解ZL则称点口为函数二的“拐点”。现

已知口，请解答下列问题：

（1）求函数/（X）的“拐点”A的坐标；

（2）求证/"）的图象关于“拐点”A对称;并写出对于任意的三次函数都成立的有关“拐点”的一个结论（此结

论不要求证明）.

［解析］（1）（3,团.令国得

回©◎拐点。

（2）设团是国图象上任意一点，则同因为国关于团的对称点为国把国代入国得

左边=-4—y（）=—£+3x（;—2/—2,

32

右边=（2-^0）—3（2—x0）+2（2—x0）-2=一x；+3片—2Ao-2

.,.右边=右边，尸'（2-%,-4一%）在），=f（x）图象上y=/（x）关于A对称

7.已知定义在正实数集上的函数团其中团。设两曲线团有公共点，且在公共点处的切线相同。

（1）若团求0的值;

（2）用团表示团，并求团的最大道。

解：（1）设团与团在公共点团处的切线相同

f\x）=x+2,g\x）=-

x

由题意知0，，团

由团得,团，或13（舍去）

即有6=2

2

（2）设），=/（x）与），=g（x）（x>（））在公共点（小,为）处的切线相同

q2

/'（x）=x+2a,g\x）=—

x

由题意知团，，团

由国得，团或团（舍去）

2222

即有〃+2a-3a\na=—a-3a\na

22

令一则0,于是

当瓦即（3时，团；

当团，即团时,团

故团在团论最大值为团，故⑦的最大值为13

8.设三次函数团在团处取得极值，其图象在住处的切线的斜率为团。求证:叱

解：（1）方法一、.由题设，得①

f（"?）=3am2+2bm+c=-3a②

••••

•,••o

由①代入②得，・•・，

得（2/+竺之24一6或2之（）③

aaaa

将代入中，得④

由③、④得0«2<i；

a

方法二、同上可得：将（1）变为：代入（2）可得：，所以，则

方法三：同上可得：将（1）变为：代入（2）可得：，显然，所以

因为图象的开口向下，且有一根为x1=1

由韦达定理得X'X=——,X-y=——<0<X)

}23a~3a

，所以，即，则，由得：

所以：

第2讲导数在研究函数中的应用

★知识梳理★

1.函数的单调性与导数的关系

一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：

在某个区间团内，如果团那么函数团在这个区间内；如果(3,那么函数团在这个区间内.

解析：单调递增；单调递减

2.判别f(x0)是极大、极小值的方法

若回满足囿且在(3的两侧团的导数异号，贝幅是团的极值点，(3是极值，并且如果团在团两侧满足“左正右负”，贝岫是团

的，团是极大值；如果国在团两侧满足“左负右正”，则国是回的极小值点，团是

解析：极大值点；极小值.

3.解题规律技巧妙法总结：求函数的极值的步骤：

⑴确定函数的定义区间，求导数f'仅).

(2)求方程r(M=O的根.

⑶用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查

f'(x)在方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么在这个根处取得极大值；如果左负右正,那么f(x)在这个根处取

得极小值;如果左右不改变符号,那么f(x)在这个根处无极值.

4,求函数最值的步骤：(1)求出自在回二的极值.(2)求出端点函数值团.

(3)比较极值和端点值，确定最大值或最小值.

★重难点突破★

L重点：熟悉利用导数处理单调性、极值与最值的一般思路，熟练掌握求常见函数的单调区间和极值与最值的方法

2.难点：与参数相关单调性和极值最值问题

3.重难点：借助导数研究函数与不等式的综合问题

(1)在求可导函数的极值时，应注意可导函数的驻点可能是它的极值点，也可能不是极值点。

问题1.设，.令，讨论在内的单调性并求极值；

点拨:根据求导法则有口，

故胤于是回

列表如下：

X(0,2)2(2,+8)

故知同在G)内是减函数，在团内是增函数，所以，在团处取得极小值(3.

—

(2)借助导数处理函数的单调性，进而研究不等关系关键在于构造函数.F'(x)0+

问题2.已知函数是上的可导函数，若在时恒成立.

F(x)减极小值F(2)增

(1)求证：函数0在闭上是增函数；

(2)求证：当回时，有团.

点拨：由xf\x)>/(x)转化为为增函数是解答本题关键.类似由

X

VV)+/(x)>0转化为xf(x)为增函数等思考问题的方法是我们必须学会的.

(1)由团得(3因为团

所以团在01时恒成立，所以函数目在向上是漕函数.

（2）由（1）知函数团在12上是增函数，所以当回时,

有团成立，

从而/(王)<--一()

/X+X,),f(x2)<——f(xl+x2)

X14-x2+x2

两式相加得了(2+x2)>/(x,)+/(x2)

★热点考点题型探析★

考点1:导数与函数的单调性

题型1.讨论函数的单调性

例1（08广东高考）设，函数，，，试讨论函数的单调性.

［解题思路］先求导再解f\x）N0和/,（x）<0

1

k,x<1,

----------X<1,(1)2

【解析】F（x）=f（x）-kx=U-x'「(x)=

-\Jx-\-kx,x>1,x>1,

对于，

当时，函数在上是增函数；

当时，函数在上是减函数，在上是增函数；

对于，

当时，函数在上是减函数；

当时，函数在上是减函数，在上是增函数。

【名师指引】解题规律技巧妙法总结：求函数单调区间的一般步骤.

求函数（3的导数团（2）令团解不等式，得力的范围就是单调增区间;令回解不等式，得用的范围就是单调减区间（3）对"照定

义域得出结论.

［误区警示］求函数单调区间时，容易忽视定义域，如求函数的单调增区间，错误率高，请你一试，该题正确答案为

题型2.由单调性求参数的值或取值范围

例2:若同在区间上单调递增，求同的取俏范围.

【解题思路】解这类题时,通常令广（幻之。（函数/（外在区间m,切上递增）或

尸口）«0（函数/⑴在区间m刈上递减），得出恒成立的条件，再利用处理不等式恒成立的方法获解.

解析:团又团在区间上单调递增

・•./'"）=3.+120在［一1,1］上恒成立即42一一L在X/［-1,1］的最大值为‘

3x3

故〃的取值范围为［」,十8］

3

【名师指引】：本题主要考杳函数的单调性与导数正负值的关系，要特别注意导数值等于零的用法.

题型3.借助单调性处理不等关系

例3.当，求证

【解题思路】先移项，再证左边恒大于0

解析：设函数题

当田时，团团故回在回递增，团当团时,团,又回,凡即同故回

【名师指引】若要证的不等式两边是两类不同的基本函数，往往构造函数，借助于函数的单调性来证明

【新题导练】.

1.若函数f(x)=x3-ax2+l在(0,2)内单调递减，则实数a的取值范围是

A.a>3B.a=2C.a<3D.0<a<3

分析：本题主要考查导数的应用.利用函数的单调性及二次函数的图象确定参数的范围.

解析：M(x)=3x2—2ax=3x(x—ma),由f(x府。2)内单调递减，得3x(x-0a)WO,

即由a22,，a23.答案:A

2.函数y=x3+x的单调增区间为

A.(—8,+8)B.(O,+8)c.(—8,0)D.不存在

解析：•・？'=3x2+l>0恒成立，.•・y=x3+x在(-8,+8)上为增函数,没有减区间.

答案:A

3.已知函数，，设.

(I)求函数尸(x)的单调区间；

(II)若以函数用图像上任意一点团为切点的切线的斜率用恒成立，求实数团的最小值；

解析:⑴0,0

V0,由团，工团在团上单调递增。

由胤••福在团上单调递减。

・••团的单调递减区间为回单调递增区间为团。

(II)0,

%=尸(X。)=豆U«,(0<%«3)恒成立oQ之(_L石+%］

%2\2/n)ax

当回时，团取得最大值团。

A0,・••团

考点2:导数与函数的极值和最大(小)值.

题型1.利用导数求函数的极值和最大(小)值

例1.若函数在处取得极值，则

【解题思路】若在附近的左侧，右侧，且，那么是的极大值；若在附近的左侧，右侧，且，那么

是的极小值.

［解析］因为/(x)可导，且/(x)=-/〃sinx+cos2x,所以/(乙)=一〃痴11工+<：0$巳=(),解得m=0.经验证当〃2=()

442

1JT

时，函数/(工)二一5出2工在1=一处取得极大值.

【名师指引】若团是可导函数，注意团是团为函数团极值点的必要条件.要确定极值点还需在回左右判断单调性.

例2.(2008•深圳南中)设函数()，其中，求函数的极大值和极小值.

【解题思路】先求驻点，再列表判断极值求出极值。

解析:.团，

0.

令团，解得团

/0、a

或回.(a3+9)

37。)

由于此当团

变化时,国的

正负如下表：

X

fM—0十0—

因此，函数团在El处取得极小值感且团；

函数因在回处取得极大值团，且团.

【名师指引】求极值问题严格按解题步骤进行。

例3.（广东省深圳外国语学校2009届高三上学期第二次统测）已知函数.

（I）求f（x）的最小值;

（II）若对所有回都有以求实数回的取值范围.

【解题思路】先求极值再求端点值，比较求出最大（小）值.当区间只有一个极大（小）值时,该值就是最大（小）值

解析：的定义域为，........1分

的导数.................3分

令，解得；令，解得.

从而团在国单调递减，在回单调递增............5分

所以，当时，取得最小值•.....................6分

（II）解法一：令⑼则回，................8分

①若，当时，，

故在上为增函数，

所以，时，，即..................10分

②若，方程的根为，

此时，若，则，故在该区间为减函数.

所以时，，

即，与题设相矛盾.................13分

综上，满足条件的团的取值范围是团..............................14分

解法二：依题意，得在上恒成立，

即不等式回对于团恒成立.................8分

令跖则团..................10分

当团时，因为团，

故是上的增函数，所以的最小值是，............13分

所以的取值范围是.....................................14分

【名师指引】求函数团在闭区间团上的最大值（或最小值）的步骤：①求国在回内的极大（小）值，②将极大（小）值与端

点处的函数值进行比较，其中较大者的一个是最大者，较小的一个是最小者.

题型2.已知函数的极值和最大（小）值，求参数的值或取值范围。

例3.:广东省六校2009届高三第二次联考）

已知函数图像上的点处的切线方程为.

（1）若函数在时有极值，求的表达式

（2）函数在区间上单调递增，求实数的取值范围

【解题思路】求函数的解析式一般月待定系法法，求参数的取值范围一般需建立关于参数的不等式（组）

解析：，-----------------2分

因为函数在处的切线斜率为-3,

所以，即，-------------------------3分

又/⑴MT+a+A+cu-Z得a+Z?+c=-L----------------------------------------4分

（1〕函数在时有极值，所以，-------5分

解得，--------------------------------------------7分

所以.--------------------------------------8分

（2）因为函数在区间上单调递增，所以导函数

在区间上的值恒大于或等于零，---------------------------------10分

则得，所以实数的取值范围为一一14分

【名师指引】已知13在田处有极值，等价于凯

【新题导练】

4.团在区间团上的最大值为国贝旭」()

A.0B.0C.0D©或(3

解析：选B

团在团上的最大值为团团且在团时,团，解之团或团(舍去)，00选B.

5.在区间上的最大值是

A.0B.0C.2D.4

［解析］匚，令口可得口或口(2舍去)，当口时，匚］(0,当□时，口(0,所以当口时，f取得最大值为2.选C

6.已知函数是上的奇函数，当时取得极值.

(1)求/。)的单调区间和极大值；

(2)证明对任意司,当€(-1,1),不等式|/(不)一/(%)1<4恒成立.

［解析］(1)由奇函数定义，有口.即口因此，口口

由条件为的极值，必有

a+c=-2

故，解得a=\yc=-3.

3。+c=()

32

因此f(x)=x-3苍fU)=3A:-3=3(x+l)(x-1),/'(-1)=/'(1)=0.

当时，，故在单调区间上是增函数.

当时，，故在单调区间上是减函数.

当时，，故在单调区间上是增函数.

所以，在处取得极大值，极大值为

(2)由(1)知，是减函数，且

/*)在［-1,1］上的最大值为M=/(-1)=2,最小值为m=f(\)=-2.

所以，对任意恒有

［方法技巧］善于用函数思想不等式问题，如本题|/(%)-/(々)区

★抢分频道★

基础巩固训练

1.(广东省六校2009届高三第二次联考试卷)

函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在内有极小值点共有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

解析：观察图象可知，只有一处是先减后增的，选A

2.、函数有()

A.极小值-1,极大值1B.极小值-2,极大值3

C.极小值-2,极大值2D.极小值一1，极大值3

解析:外令团得0

当回时，团；当回时，回；当区团

0团时，团当00,故选D.

3.函数y=f(x)=lnx-x,在区间9e］上的最大值为

A.l—eB.—1C.-eD.O

解析:y'前一(04)i(l,e)e

1,令y'=0,即

x=l,在(0,c］上

列表如下:

X

y+0—

y增函数极大值一1减函数1~e

由于/(e)=1—e,而一1>1-e,从而y最大=/(1)=-1.

答案:B

4.(广东深圳外国语学校2008-2009学年高三第二次月考)若，求函数的单调区间.

［解析］f(x)=~^=--—,

x+a

>0,得一\=>---=26<x+a=4x<(x+a)2,

2Vxx+a

f\x)>0<=>x2+(la-4)x+a2>0,

同样,f\x)v0o—+(2。_4»+〃2<o,

=(2a-4/-4a2=16(1-a),

(当a.>1时，对x£(0,+8)恒有>0,・,・当a.>l时，f(x)在(0,+8)上为增函数；

5.(汕头市金山中学2009届高三上学期11月月考)已知函数f(x)=ax3+3x2—x+1,问是否存在实数a,使得f(x)

在(0,4)上单调递减？若存在，求出a的范围；若不存在，说明理由。

解：(x)=3ax2+6x-l.要使f(x)在［0,4］递减，则当x£(0,4)时，(x)<0»

:.或，解得a<—3.

综合拔高训练

6.(东莞高级中学2009届高三上学期11月教学监控测试)已知函数f(x)=ax3+bx2-3x在x二±1处取得极侑.

(I：'求函数f(x)的解析式;

(II)求证:对于区间［一1,1］上任意两个自变量的值xl,X2,都有If(xl)—f(x2)|W4；

(III)若过点A(1,m)(m#—2)可作曲线y=f(x)的三条切线，求实数m的取值范围.

解：(I)f'(x)=3ax2+2bx—3,依题意，f'(l)=f*(—1)=0,

解得a-1,b-0.

Af(x)=x3—3x...........................................4分

(II)Vf(x)=x3-3x,Afz(x)=3x2-3=3(x+l)(x-l),

当一1<X<1时,f'(x)<0,故f(x)在区间［-1,1］上为减函数,

fmax(x)=f(-l)=2,fmin(x)=f(1)=-2.............................6分

•••对丁・区间［-1,1］上任意两个自变量的值x】，x2,

都有|f(X1)—f(X2)|W|fm.t(X)—fmin(X)|

|f(xi)—f(x?)W|fm,x(x)—fmr(x)1=2—(—2)=4........................8分

(Ill)f'(x)=3x2-3=3(x+l)(x-1),

•・•曲线方程为y=x3-3x,・••点A（l,m）不在曲线上.

设切点为U（xO,yO）,则点M的坐标满足

因，故切线的斜率为

整理得2片—34+〃7+3=0.

•••过点A（1,m）可作曲线的三条切线，

・•・关于加方程2M-+优+3=0有三个实根...............10分

设g（xO）=,则g'（x0）=6,

由g'（x0）=0,得x0=0或xO=L

，g（xO）在（一8,o）,（1,+8）上单调递增，在（0,1）上单调递减.

・•・函数g（xO）=的极值点为x0=0,x0=l..........12分

・•・关于x。方程2算-3需+优+3=0有三个实根的充要条件是

,解得一3<m<—2.

故所求的实数a的取值范围是一3<m<-2.................14分

7.（广东省北江中学2009屈高三上学期12月月考）

已知胤其中团是自然常数,回

（I）讨论。=1时，/（幻的单调性、极值：

（II）求证：在（【）的条件下,回；

（III）是否存在实数团，使13的最小值是3,若存在，求出团的值；若不存在，说明理由.

解：（I）00,团……1分

・•・当时，,此时单调递减

当国时,国,此时回单调递增……3分

・・・/（K）的极小值为/⑴=1……4分

（II）跚的极小值为1,即同在团上的最小值为1,

/.0,0...5分

令团团，……6分

当团时,团看在团上单调递增……7分

・••力（X）max=/?（«）="+1|+!=1=1fMLin

e222

・••在（1）的条件下，……9分

（III）假设存在实数团,使团（0）有最小值3,

①当团时,13在团上单调递减,团（3（舍去），所以，此时团无最小值.……10分

②当团时，团在团上单调递减，在团上单调递增

0,0,满足条件....11分

③当团时,但在团上单调递减，0,0(舍去)，所以，此时①无最小值.综上,存在实数团,使得当团时团有最小值3.

(1)工(潮南区08—09学年度第一学期期末高三级质检)已知函数()

(2)求f(x)的单调区间；

证明:lnx<0

解：(1)函数f(x)的定义域为团，团

①当团时,ao,f(x)在回上递增

②当团时，令团得国解得：

团，因回(舍去)，故在团上[3<0,f(x)递减；在团上，团>0,f(x)递增.

(2)由(1)知田在田内递减,在回内递增.

四")]…=g(2+2Q)=l+0—ln(2+20)

故国,又因团

故胤得回

第3讲导数的实际应用

★知识梳理★

利用导数解决生活、生产优化问题，其解题思路是：

★重难点突破★

1.重点：利用于数学知识建立函数模型，借助于导数解决最优化问题。

2.难点：建模的过程

3.重难点：认真审题，建立数学模型，解决与函数有关的最优化问题.

(1)关注由导数的定义和物理意义处理实际应用问题

问题1：路灯距地平面为口,一个身高为口的人以口的速率在地面上行走，从路灯在地平面上射影点C,沿某直线离开

路灯，求人影长度的变化速率v.

点拨：利用导数的物理意义解决

设路灯距地平面的距离为，人的身高为.设人从点运动到处路程为米，时间为(单位：秒)，AB为人

影长度，设为，则

——=—,y.84A??/min=1Amis,/.y=—x=——t(x=}At)

y+x8-420

77

・・•)/二一，工人影长度的变化速率为一机/s.

2020

<2)利用W数处理最大(小)值问题是高考常见题型.

问题2.(2006•江苏)请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱

锥(如右图所示)。试问当帐篷的顶点0到底面中心回的距离为多少时，帐篷的体积最大？

[剖析]设0。为Xm，则由题设可得正六棱锥底面边长为

0（单位：回）

于是底面正六边形的面积为（单位：）

团帐篷的体积为（单位:回）0

求导数，得令解得（不合题意，舍去），.

当时，，为增函数；当时，，为减函数。

所以当时，最大.答当为时，帐篷的体积最大.

★热点考点题型探析★

考点：最优化问题

题型1.函数模型中的最优化问题

例1.设工厂到铁路线的垂直距离为20km,垂足为B.铁路线上距离B为100km处有一原料供应站C,现要在铁路BC之间某

处D修建一个原料中转车站，再由车站D向工厂修一条公路.如果已知每千米的铁路运费与公路运费之比为3:5,那么,D应

选在何处，才能使原料供应站C运货到工厂A所需运费最省？

【解题思路】由勾股定理建模.

解析：设BD之间的距离为km,则|AD|=,|CD|=.如果公路运费为元/km,那么铁路运费为元/km.故从原

料供应站C途经中转站D到工厂A所需总运费为：+,（）.对该式求导，得=+=，令，即得

25=9（），解之得

西=15,£=T5（不符合实际意义,舍去）.且匹=15是函数），在定义域内的唯一驻点,所以匹=15是函数y的极小值

点,而且也是函数），的最小值点.由此可知，车站D建于B,C之间并且与B相距15km处时,运费最省.

【名师指引】这是一道实际生活中的优化问题,建立的目标函数是一个复合函数,用过去的知识求其最值往往没有一般

方法,即使能求此也要涉及到较高的技能技巧.而运用导数知识,求复合函数的最值就变得非常简单.

例2.某产品按质量分为10个档次生产第一档（即最低档次）的利润是每件8元,每提高一个档次,利润每件增加2

元,但在相同的时间内产量减少3件.在相同的时间内，最低档的产品可生产60件.问在相同的时间内,生产第几档次的

产品的总利润最大?有多少元？

思路分析:在一定条件下，“利润最大”“用料最省”“面积最大”“效率最高”“强度最大”等问题，在生产、生活中经

常用到，在数学上这类问题往往归结为求函数的最值问题.除了常见的求最值的方法外,还可用求导法求函数的最值.但无

论采取何种方法都必须在函数的定义域内进行.

解法一:设相同的时间内,生产第x（x£N：lWxW10）档次的产品利涧y最大.2分

依题意，得y=[8+2（x-l）][60-3（x-l）]4分

=-6X2+108X+378=-6（x-9）2+864（10）,8分

显然，当x=9时,Vmax=864（元），

即在相同的时间内,生产第9档次的产品的总利润最大，最大利润为864元.10分

解法二:由上面解法得到y=-6x2+108x+378.

求导数，得，=-12x+108,令/=-12x4-108=0,

解得x=9.因x=9£[1,10],y只有一个极值点，所以它是最值点，即在相同的时间内，生产第9档次的产品利润最大，最

大利润为864元.

【名师指引】一般情况下,对于实际生活中的优化问题，如果其目标函数为高次多项式函数、简单的分式函数简单的无

理函数、简单的指数、对数函数，或它们的复合函数，均可用导数法求其最值.由此也可见，导数的引入，大大拓宽了中学

数学知识在实际优化问题中的应用空间.

题型2:几何模型的最优化问题

【名师指引】与最值有关的问题应合理解模,使问题犹解.

例3.（07上海春季高考）某人定制了一批地砖.每块地转（如图1所示）是边长为口米的正方形口，点E、F分别在边BC

和CD上，△口、△口和四边形口均由单一材料制成，制成△口、△口和四边形口的三种材料的每平方米价格之比依

次为3:2:1.若将此种地砖按图2所示的形式铺设，能使中间的深色阴影部分成四边形口.

（1）求证：四边形团是正方形；

⑵团在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省？

AD

【解题思路】图2是由四块图1所示地砖绕点按顺时针旋转图2后得到，△为等

腰直角三角形，四边形是正方形.

［解析］（2）设团，则胤每块地砖的费用

为胤制成△©、△回和四边形团三种材料的每平方米价格依次为3a、2a、a（元），0

=a（x2-0.2x+0.24）

0.

由（3,当（3时,0有最小值，即总费用为最省.

答：当团米时，总费用最省.

（名师指引】处理较复杂的应用题审题时要逐字逐句地去啄磨.

题型3:三角模型的最优化问题

例4.若电灯B可在桌面上一点。的垂线上移动.桌面上有与点0距离为口的另一点A,问电灯与点0的距离怎样，可

使点A处有最大的照度？（□照度与口成正比，与口成反比）

【解题思路】如图，由光学知识，照度与成正比，与成反比，

即）,=。浮（。是与灯光强度有关的常数）要想点A处有最

大的照度，只需求的极值就可以了.

解析：设到的距离为，则，

于是，.

当时，即方程(0,)a

（下收）

的根为（舍）与V2

,在我们讨论的半

闭区间内，所以函

数在点取极大

值,也是最大值。即

当电灯与点距离为

时，点的照度

为最大.

y+—

y