高中数学正弦余弦公式大全

正弦定理和余弦定理

一：基础知识理解

1.正弦定理

分类内容

定理abc

sinA=sinB=55c=2R（R是△ABC外接圆的半径）

变形©a=2Rsin_A,b=2Rsin_B,c=2Rsin_C,

公式（2）sinA：sinB：sinC=a：b：c,

abc

③sinA=2R,SinB=2R,sinC=2R

解决的①已知两角和仟一功，求其他两边和另一角，

问题②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角

2.余弦定理

分类内容

定理在△ABC中，有a2=b2+c2—2bccos_A；

b2=a2+c2-2accos_B；c2=a2+b2-2abcos_C

变形

b+c2-aa2+c2-b

公式cosA=2bc.cosB=2ac

a2^b-c2

cosC=20b

解决的①已知三边，求各角;

问题②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角

3.三角形中常用的面积公式

工

(1)S=2ah(h表示边a上的高)；

111

(2)S=2besinA=2acsjng=2absinC；

工

(3)S=2r(a+b+c)(r为三角形的内切圆半径).

二：基础知识应用演练

1.(2012•广东高考)在△ABC中，若匕A=60。，匕B=45。，BC=3'2

则AC=()

A.4\?B.2V

2.在△ABC中，a=V°,b=1,c=2,则A等于()

A.30°B.45°

C.60°D.75°

3.（教材习题改编）在^ABC中，若a=18,b=24,A=45。，则此三角

形有（）

A.无解B.两解

C.一解D.解的个数不确定

4.（2012•陕西高考）在△ABC中，角A,B,C所对边的长分别为a,b,c.

若a=2,B=6,C=2、'3贝b=

5.△ABC中，B=120°,AC=7,AB=5,则△ABC的面积为

3/2

BCAC

解析：1选B由正弦定理得二sinA=sinB即sin60°=

3y/2

亘y/2

AC

sin45°,所以AC=2X2=2

力+己/I1,32

2选CVcosA=2bC=2x1x2=2,又一OOvA<180。，A=

60°.

abb24

0

3选BvSi"4=sinBf...sinB=。sinA=18sjn45,sin

2^2

B=3.又avb,B有两个.

V3

4由余弦定理得b2=a2+c2—2accosB=4+12—2x2x2，(3)x2=4,

所以b=2.答案：2

5、解析：设BC=x,由余弦定理得49=25+x2—10xcos120°,整理得x2

+5x-24=0,即x=3.

161573

因此SAABC=/(L2)ABXBCxsinB=2x3x5x2=4.答案:

15^3

小结：(1)在三角形中，大仍对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦

值较大的角也较大，即在△ABC中，A>BQa>b=sinA>sinB.

(2)在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下:

A为锐角A为钝角

或直角

图形

A夕----"B'1H

关系式a=bsinAbsinA<a<ba>ba>b

解的个数一解两解一解一解

三、典型题型精讲

（1）利用正弦、余弦定理解三角形

[例1]（2012•浙江高考）在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,

c,且bsinA=acosB.

（1）求角B的大小；（2）若b=3,sinC=2sinA,求a,c的值.

r-ab

解析：（1）由bsinA=V3acosB及正弦定理4=B,得sjn

B=73cosB,所以tanB=6,所以B=3.

⑵由sinC=2sinA及SinC,得c=2a.由b=3及余弦定理b

2=a2+c2-2accosB,

得9=a2+c2—ac.所以a=「（3）,c=2J'.

思考一下：

在本例（2）的条件下，试求角A的大小.

方法小结：

1.应熟练掌握正、余弦定理及其变形.解三角形时，有时可用正弦定理，有

时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷.

2.已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；己知两边和一边的

对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理

进行判断.

试题变式演练1.△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,a

sinAsinB+bcos2A=/（2）a.

（1）求Q；

(2)若c2=b2+「(3)a2,求B.

解：(1)由正弦定理得，

sin2AsinB+sinBcos2A=「(2)sinA,即sinB(sin2A+cos2A)=

，(2)sinA.

故sinB=山sinA,所以。=.

(2)由余弦定理和c2=b2+/⑶a2,得cosB=/(1+在凡2°).

由(1)知b2=2a2,

故c2=(2+/(3))a2.可得cos2B=/(1，2),

正

又cosB>0,故cosB=2,所以B=45。.

(2)利用正弦、余弦定理判定三角形的形状

［例2］在△ABC中a,b,c分别为内角A,B,C的对边，且2asinA=

(2b+c)sinB+(2c+b)sinC.

(1)求A的大小；

(2)若sinB+sinC=1,试判断△ABC的形状.

［解析］(1］由已知，根据正弦定理得2a2=(2b+c)・b+(2c+b)c,即

a2=b2+c2+bc.

由余弦定理得a2=b2+c2—2becosA,故cosA=-f(1，2),v0<A

<180°,/.A=120°.

(2)由⑴得sin2A=sin2B+sin2C+sinBsinC=/(3,4)又sinB+sinC

2

=1,解得sinB=sinC=2.

v0°<B<60°,0°<C<60°,故B=C,・•.△ABC是等腰的钝角三角形.

方法小结：依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有如下两种方

法：

(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得

出边的相应关系，从而判断三角形的形状；

(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函

数恒等变形，得出内隹的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A

+B+C=TT这个结论.

［注意］在上述两种方法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取

公因式，以免漏解.

试题变式演练(2012•安徽名校模拟)已知△ABC的三个内珀A,B,C所对的边

2

(cos-^tcos2A)

分别为a,b,c,向量m=(4,-1),n=\'，，且

7

m•n=2.

(1)求角A的大小；

(2)若b+c=2a=243,试判断△ABC的形状.

2

(cos^tcos2A\

解：(l)：m=(4,-1),n=\2/,

1+cos4

m-n=4cos27(4,2)—cos2A=4-2—(2cos2A-1)=—

2cos2A+2cosA+3.又vm-n=/(7.2),

1

—2cos2A+2cosA+3=f(7,2),解得cosA=2.v0<A<TT,••・A=

n

3e

⑵在△ABC中，a2=b2+c2-2bccosA,且2=/(3),3)2=

b2+c2—2bc・/(1.2)=b2+c2—be.①

又•.•b+c=243,.・.b=2X3_c,代入①式整理得c2—2「(3)c+3

=0,解得c=,Ab=,于是a=b=c=,即△ABC为等边

三角形.

(3)与三角形面积有关的问题

［例3］(2012•新课标全国卷)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,

C的对边，acosC+‘3asinC—b—c=0.

(1)求A；

(2)若a=2,△ABC的面积为43,求b,c.

［解］(1)由acosC+'々asinC—b—c=0及正弦定理得sinAcosC+

'"sinAsinC—sinB—sinC=0.

因为B=ir—A—C,所以"'sinAsinC—cosAsinC—sinC=0.

1-

由于sinCHO,所以sin\6)=2,又0VAVir,故人=3.

(2］4人8(：的面积5=2besinA=6,故be=4.

而a2=b2+c2—2becosA,故b2+c2=8.解得b=c=2.

方法小结：

1.正弦定理和余弦定理并不是孤立的.解题时要根据具体题目合理选用，有时

还需要交替使用.

111

2.在解决三角形问题中，面积公式5=absinC=besinA=ac

sinB最常用，因为公式中既有边也有角，容易和正弦定理、余弦定理结合应

用.

1

试题变式演练(2012•江西重点中学联考)在△ABC中，2cos2A=cos2A-

cosA.

(1)求角A的大小；

(2)若a=3,sinB=2sinC,求S△ABC.

2

解：（1）由已知得2（2cos2A-1）=cos2A—cosA,则cosA=/（1，2）.

n

因为OVAVTC,所以A=3.

bcsi-Bb

（2）由TinB=sinC,可得sinC=7=2t即b=2c.

b2A-c2-a24c24c2・91

所以cosA=2bc=4c=2,解得C=6,b=2

1万35/3

艮­=

所以SAABC=/（IZbcsinA=2x2

课后强化与提高练习（基础篇-必会题）

1.在△ABC中，a、b分别是角A、B所对的边，条件“avb”是使"cos

A>cosB”成立的（〕

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

2.（2012•泉州模拟）在△ABC中，a,b,c分别是角A,B,C所对的

三坦

边.若人=3,b=l,△ABC的面积为2,则a的值为（）

A.1B.2

3.（2013•“江南十校”联考）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,

tan42c

C,已知a=2V3,c=2J2,1+tanB=b,则c=（）

A.30°B.45°

C.45。或135。D.60°

4.（2012・陕西高考）在△ABC中，角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,

若a2+b2=2c2,则cosC的最小值为（〕

1

D.-2

5.(2012•上海高考)在△ABC中，若sin2A+sin2B<sin2C,则△ABC的

形状是()

A.锐角三角形B.直角三角形

C.钝角三角形D.不能确定

6.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b>c.若b=2asinB,

则角A的大小为.

解析：由正弦定理得sinB=2sinAsinB,vsinBHO,

n

7.在△ABC中，若a=3,b=6,A=3,则C的大小为

8.(2012•北京西城期末)在△ABC中，三个内角A,B,C的对边分别为a,

6

b,c.若b=2、5,B=4,sinc=,则c=a=

1

9.(2012♦北京高考)在△ABC中，若a=2,b+c=7,cosB=-4,

则b=.

10二△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,asinA+csinC—

'2asinC=bsinB.

(1)求B；

(2)若A=75。，b=2,求a,c.

11.(2013•北京朝阳统考)在锐角三角形ABC中，a,b,c分别为内角A,B,

C所对的边，且满足Y3a—2bsinA=0.

(1)求角B的大小；

,-->—>

(2)若a+c=5,且a>c,b=V7,求人旧,4C的值.

12.(2012•山东高考)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,

c,已知sinB(tanA+tanC)=tanAtanC.

(1)求证：a,b,c成等比数列；

(2)若a=l,c=2,求^ABC的面积S.

课后强化与提高练习(提高篇-选做题)

1.(2012•湖北高考)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若

三边的长为连续的三个正整数，且A>B>C,3b=20acosA,则sinA：sin

B：sinC为()

A.4：3：2B.5：6：7

C.5:4:2D.6:6:4

2.(2012•长春调研)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已

7

知4sin2।&2)—cos2C=2,且a+b=5,c=5,则aABC

的面积为.

3.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足(2b-c)

cosA—acosC=0.

(1)求角A的大小：

(2)若2=近，SAABC=""包4),试判断△ABC的形状，并说明理由.

选做题

1.己知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边.若a=l,

b=6,A+C=2B,则sinC=.

2.在△ABC中，a=2bcosC,则这个三角形一定是()

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形

3.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知

1

cos2C=—4.

(1)求sinC的值;

(2)当a=2,2sinA=sinC时，求b及c的长.

4.设△ABC的内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,

4

且cosB=5,b=2.

(1)当A=30。时，求a的值；

(2］当△ABC的面积为3时，求a+c的值.

课后强化与提高练习(基础篇-必会题)解析

1解析：选Ca〈b=A〈B=cosA>cosB.

11n4^

2解析：选D由已知得2besinA=2xlxcxsin3=2,解得c=2,

则由余弦定理可得a2=4+1—2x2xlxcos/5,3)=3=>a=6.

42c

3解析：选B由1+B=b和正弦定理得cosAsinB+sinAcosB

=2sinCcosA,

22。

即sinC=2sinCcosA,所以cosA=2,则A=60。.由正弦定理得4

2y/2

=sinC,

42

则sinC=2,又eva,则C<60。，故C=45。.

4解析：选C由余弦定理得a2+b2—c2=2abcosC,又c2=/(L2)

(a2+b2)得2abcosC=/(，2)(a2+b2),即cosC=

2lab1

/(M+b,4°b)之砧=2,

6解析：选C由正弦定理得a2+b2vc2,所以cosC=

222

/(Q・C,2ob)<0,所以c是钝角，故△ABC是钝角三角形.「.SinA

1

=2,・•.A=30。或A=150。.答案：30。或150。

..6$in4,

bsi-4Av31

7解析：由正弦定理可知sinB=O=3=2,所以B=

n5nILILILIL

6或6(舍去)，所以c=冗一A—B=IT—3—6=2.答案：2

bcbsinC

sin

8解析：根据正弦定理得B=sinC,则c=sinB=2已再

由余弦定理得b2=a2Ic22accosB>即a24a12=0,(aI2)(a

6)=0,解得a=6或a=-2(舍去).答案：2r(2)6

b(二)

9解析：根据余弦定理代入b2=4+(7—b)2—2x2x(7—b)x4,解得

b=4.答案：4

10解：⑴由正弦定理得a2+c2—「(2)ac=b2.由余弦定理得b2=a2+

c2—2accosB.

42

故cosB=2,因此B=45°.

(2)sinA=sin(300+45°)=sin30°cos45°+cos30°sin45。=4.

^2+

si-4———sinCsi-60°

a=bx5"】8=‘2=i+'3,c=bxsi〃8=2x51〃45、

=V6

11解：(1)因为^3a-2bsinA=0,

厂理

所以"3sinA—2sinBsinA=0,因为sinA工0,所以sinB=2.又B为

n

锐角，所以B=3.

4x/7

(2)由(1)可知，B=3.因为b=VJ

根据余弦定理，得7=a2+c2—2accos7("，3),整理，得(a+c)2—3ac

=7.

由已知a+c=5,得ac=6.又a>c,故a=3,c=2.

b2i-c2-a27+4.9小

于是cosA=2bc=4,7=14,

>—>1>>

所以48・4C=|A8AC|cosA=cbcosA

再£

=2xV7X14=i.

12解：(1)证明：在乙ABC中，由于sinB(tanA+tanC)=

tanAtanC,

(4si"C\si-4si-C

所以sinB\COSAcosC)=cosA.cosC,

因此sinB(sinAcosC+cosAsinC)=sinAsinC,

所以sinBsin(A+C)=sinAsinC.

又A+B+C=TT,

所以sin(A+C)=sinB,

因此sin2B=sinAsinC.

由正弦定理得b2=ac,

即a,b,c成等比数列.

(2)【大I为a=l,c=2,所以b=J，，

1+22.2s

由余弦定理得cosB=2ac=2x1x2=4,

i~a

因为OVBVTT,所以sinB="=4,

iiaa

故△ABC的面积S=2acsinB=2xlx2x4=4

课后强化与提高练习(提高篇•选做题)解析

1解析：选D由题意可得a>b>c,且为连续正整数，设c=n,b=n+1,

a=n+2(n>l,且n€N*),则由余弦定理可得3(n+1)=20(n+

2)./("+1+n-"2，2〃〃+l),化简得7n2—I3n—60=0,nGN*,

解得n=4,由IC弦定理可得sinA；sinB：sinC=a；b；c=6：5；4.

7

2解析：因为4sin2+比2)—cos2C=2,所以2[1—cos(A+B)]—

2cos2C+1=/(7,2),

2+2cosC—2cos2C4-1=〃7,2),cos2C-cosC+/(1,4)=o,解得

_11。2毋・7

cosc=2,根据余弦定理有cosc=2=lab,

ab=a2+b2—7,3ab=a2+b2+2ab—7=(a+b)2—7=25—7=18,

16

ab=0所以△AB"勺面积SAABC=/(l，2)absinC=2x6x2=

3yj33yj3

2.答案：2

3解：(1)法一：由(2b—c)cosA—acosC=0及正弦定理，得

(2sinB—sinC)cosA—sinAcosC=0,:.2sinBcosA—sin(A+C)=0,

1

sinB(2cosA-1)=0.v0<B<n,sinBHO,:.cosA=2,o<A<TT,•••A

n

=3,

法二：由(2b—c)cosA—acosC=0,

b2^c2-a2o2+h2-c2

及余弦定理，得（2b—c>2bc—a-2ab=o,

2221

整理，得b2+c2—a2=bc,cosA=/(b+，・°，2bc)=2,­.-o<

n

A<n,A=3.

35/3

(2)vS△ABC=/(L2)besinA=4,

2£3仃

即2besin3=4,be=3,①•••a2=b2+c2—2becosA,a=

n

「(3),A=3,

b2+c