高考数学大一轮复习 第五章 数列-人教版高三数学试题

第五章数列

第一节数列的概念与简单表示法

［考情展望］1.以数列的前n项为背景写数列的通项.2.考查由数列的通项公式或递推

关系，求数列的某一项.3.考查已知数列的递推关系或前n项和S“求通项a”.

本抓住4个基础知识点

一、数列的有关概念

概念含义

数列按照一定顺序排列的一列数

数列的项数列中的每一个数

数列

数列｛a｝的第n项捻叫做数列的通项

的通项

通项公式数列｛&,｝的第n项小与n之间的关系能用公式an=f(n)表达,这个公式叫做数列的通项公式

前n项和数列｛aj中，Sn=a1+a2~l---Fan叫做数列的前n项和

二、数列的分类

分类标准类型满足条件

有穷数列项数有限

项数

无穷数列项数无限

递增数列

项与项间

递减数列其中n£N”

的大小关系

=

常数列an+)an

判断数列递增(减)的方法

⑴作差比较法：

①若&+I-&>0,则数列｛&｝为递增数列.

②若明一4=0,则数列｛/｝为常数列.

③若a+1—a<0,则数列｛a｝为递减数歹U.

⑵作商比较法：不妨设4>0.

①若T>1,则数列｛&｝为递增数列.

②若管=1,则数列｛a｝为常数列.

③若上<1,则数列｛2｝为递减数列.

an

三、数列的表示方法

数列有三种表示方法，它们分别是列表达、图象法和解析法.

四、与S的关系

若数列（aj的前〃项和为S,通项公式为4,

f5i,n=\,

则

[Sn-Sn-\,〃三2.

已知S,求&的注意点

利用国,=s,-S—求通项时，注意〃22这一前提条件，易忽略验证〃=1致误，当〃=1

时，臼若适合通项，则〃=1的情况应并入〃22时的通项；否则&应利用分段函数的形式表

示.

I【基础自测】I

1.已知数列彷』的前4项分别为2,0,2,0,则下列各式不可以作为数列｛a｝的通项公式

的一项是（）

A.&=1+（-1）"B.a”=2sin

2,〃为奇数

C.ch）=1-COSD.cln=1.._

lo,〃为偶数

【答案】B

2.在数列｛4｝中，ai=l,&=2&-1+1,则徐的值为（）

A.30B.31

C.32D.33

【答案】B

3.己知数列｛&｝的通项公式为则这个数列是

〃十1

()

A.递增数列B.递减数列

C.常数列I).摆动数列

【答案】A

4.数列｛4｝的前〃项和Sn=6+1,则an=.

[2n=\

【答案】L)

\2n—1〃22

感悟高考

5.若数列卜〃+4创中的最大项是第A项，贝"=.

【答案】4

21

6.(2013•课标全国卷I)若数列｛d｝的前〃项和鼻，则｛a｝的通项公式是品

JO

【答案】(-2)

突破掌握3个核心考向

考向一[083]由数列的前几项归纳数列的通项公式

根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式.

(1)—1,7,—13,19,•••：

(2)0.8,0.88,0.888,•••；

小、115132961

""2'4'8'16'32'64''

【尝试解答】(I)符号可通过(一1尸表示，后面的数的绝对值总比前面的数的绝对值

大6,

故通项公式为4=(-1)"(6〃-5).

oooo/]\

(2)数列变为§(1一0.D，^(1-0.01),-(1-0.001),=11一司•

⑶各项的分母分别为＞22,2&2‘，…，易看出第2,3,4项的分子分别比分母少3.因此把

第1项变为

2,-322-323~32'—3

原数列化为

2"—3

a„=(―1)"•一、)”.

乙

规律方法11.求数列的通项时，要抓住以下几个特征.

(1)分式中分子、分母的特征：(2)相邻项的变化特征：(3)拆项后的特征：(4)各项符号

特征等，并对此进行归纳、化归、联想.

2.根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到

一般”的思想，由不完全归纳得出的结果是不可靠的，要注意代值检验，对于正负符号变化,

可用(-1)〃或(-1)小来调整.

考向二［084］由递推关系求通项公式

根据下列条件，求数列的通项公式外

(1)在数列｛劭｝中，ai=l,a.尸国+2"；

(2)在数列｛a｝中，a什1=妇工&,劭=4；

n

(3)在数列｛a｝中，a1=3,&+i=2&+l.

【尝试解答】(1)由am一品=2”，把〃=1,2,3,…，〃一1(〃22)代入，得(〃-1)个

式子，

累加即可得(公一团)+(既一&)H-----F(&-a”-。

2I

=2+2-+2'+…+2"I所以&—句=:-,

1—2

即4一a=2"—2,所以a=2"-2+a=2°—1.

当n=\时，ai=l也符合，

所以a=2"-1(〃£N).

(2)由递推关系加旬=4,有如="，

nann

十日一生ca485&-in

于是有7=3,3=5,手=于…，二；=不？

干=当，将这(〃-1)个式子累乘，得=.

a«-i〃一1a，

所以当〃22时，at!=~~~勺1—a=2〃(〃+1).当力=1时，ai=4符合上式，所以an=

2〃(〃+1)(〃£N').

(3)由a+1=2a+1得&+i+1=2(&+1),令b“=a*+1»

所以｛a｝是以2为公比的等比数列.

所以b尸b\•2"f=(d+l)・2'i=2"l

所以&=历一l=2"i—l(〃£M).

规律方法2递推式的类型

递推式方法示例

&+i=a=+r(〃)叠加法a=l,a+i=a+2〃

—=f(ri)叠乘法m=1,生1=2〃

a。%

&+】=〃&+(?(〃W0,1,qWO)化为等比数列=1,a〃+i=2aa+1

d/rH=/?&+,♦p(夕WO,1,qWO)化为等差数列3\=19a〃+i=3a“+3+

对点训练(2015•银川模拟)已知f(x)=士；各项均为正数的数列｛&,｝满足覆=1,a

1.IA

+2=/(a).若32Qlt=32016,则的+团】的值是.

…小1：胞+3

［答案］—

考向三［085］由a与S,的关系求通项4

已知数列l｝的前〃项和S.求EJ的通项公式:

(1)S,=2/f一3〃；

(2)S=3"+b.S为常数)

【尝试解答］(l)a=S=2-3=-l,

当2时，an=SL£一i

—(24—3〃)—［2(〃-I)?一3(〃-1)］=4/7—5,

由于a也适合此等式，••.a,=4〃-5.

(2)劲=S=3+A

当〃22时，a产SLS—

=(3"+b)—(3"T+6)=2・

当6=-1时，囱适合此等式.

当。£一1时，a不适合此等式.

・•・当6=-1时，4=2-3『］

3+b.

当AW—1时，&=

〃22.

规律方法3已知S求小时的三个注意点

(1)重视分类讨论思想的应用，分n=\和〃22两种情况讨论；特别注意a产SLSC

中需心2.

(2)由必推得a，当〃=1时，a也适合“品式”，则需统一“合写”.

(3)由$一$一=&推得当〃=1时，2不适合“劣式”，则数列的通项公式应分段

S,n—1»

表示(“分写”)，即&=]

5c—S。n-\9njJZ.

对点训练(1)(2015•贵阳模拟)已知数列(a｝的前〃项和为$,a=l,£=2如：，则

Sn=()

A.2丁

【答案】B

⑵己知数列｛a｝的前〃项和S,求下面数列｛&｝的通项公式嬴

①$=26一3〃；②S-

【解】①ai=S=2—3=-1,

当时，

=(2n—3n)—[2(/?—I)2—3(/7—1)]=4/7—5,

由于a也适合此等式，，&=4〃-5.

②&=S=3+A,当〃22时，a产SLSC

=(3"+5)—(3"T+A)=2-3^1.

当人=—1时，4适合此等式.

当力W—1时，句不适合此等式.

・•・当力=-1时，&=2•31；

3+A,77=1,

当6W—1时，a=

n2・3口〃22.

技能挖掘1大技法

易错易误之十明确数列中项的特征，慎用函数思想解题

---------------------------[1个示范例]---------------

己知数列｛a｝中，a=〃2-k?(〃£N')，且｛a｝单调递增，则A的取值范围是()

A.(—8,2]B.(—8,3)

C.(一8,2)D.(-OO,3]

【解析】。：&尸n'—kn(nGN'),且｛&”｝单调递增，・工&什l对V都成立，

k

此处在求解时，常犯“心是关于〃的二次函数，若｛a｝单调递增，则必有k&2“

的错误.

出错的原因是忽视了数列作为函数的特殊性即自变量是正整数.

又为+1-&=(〃+1>一女(〃+1)—//+"〃=2〃+1一左，所以由2〃+l—A>0,即AV2〃+

1恒成立可知k<(2〃+Dnin=3.,

【防范措施】1.明确函数单调性与数列单调性的关系

(1)若数列所对应的函数是单调的，则该数列一定单调.

(2)若数列是单调的，其对应的函数未必单调，原因是数列是定义在〃仁N'上的特殊函数.

2.数列单调性的判断

一般通过比较与&的大小来判断：

若则该数列为递增数列：若a”+iV&,则该数列为递减数列.

-----------------------[1个防错练]-----------------

已知｛品｝是递增数列，且对于任意的&=〃2+4〃恒成立，则实数1的取值范围

是.

【解析】法一(定义法)因为｛&｝是递增数列，故对任意的〃£N',都有即

(〃+1”+4(〃+1)>万十4〃，整理，得2〃+1+4>0,即A>—(2/?+1)(*).

因为故一(2〃+l)W—3,要使不等式(*)恒成立，只需A>-3.

法二（函数法）设F（〃）=a="+入〃，其对称轴为"=一』•，要使数列｛&｝为递增数歹U，

只需满足〃=-Jv,即可，即4>—3.

乙乙

【答案】（-3,+oo）

课时限时检测（二十九）数列的概念与简单表示法

（时间：60分钟满分：80分）

一、选择题（每小题5分，共30分）

1.如图5-1-1,关于星星的图案中星星的个数构成一个数列，该数列的一个通项公

式是（

+』+++ii-

+：+++4++++曲

图5—1—1

A.&=〃'-〃+1B.&='

n〃+1n〃+2

D.cln=

【答案】C

2.在数列｛a｝中，a=-27/+29〃+3,则此数列最大项的值是（）

865

A.103B.—

O

825

C.—D.108

O

【答案】D

3.己知数列｛a｝满足国=1,a+i=a〃+2",则的）=（）

A.1024B.1023

C.2048D.2047

【答案】B

4.已知&=1,a=〃（&,+I—a”）（〃£N*）,则数列｛a：,的通项公式是（）

A.2〃一1

C.h'D.n

【答案】D

5.数列｛a｝的前〃项和为S,若a=l,&+i=3S,("21),则国=()

A.3X4*B.3X4'+1

C.45I).45I1

【答案】A

6.对于数列｛&｝,&|(〃=1,2,…)”是“｛4｝为递增数列”的()

A.必要不充分条件

B.充分不必要条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【答案】B

二、填空题(每小题E分，共15分)

7.已知数列｛d｝中，团=4，aff+i=l——(/?>2),则向6=.

【答案】I

8.数列｛a｝中，31=1,对于所有的2,〃匕N',都有国•a•Si...a1—n,贝ij&

+&=.

__61

【答案】T17b

91

9.己知数列｛a,｝的前〃项和为S”对任意〃£N♦都有S„=-a,--,且1VSV9(左£N*),

JO

则句的值为,

4的值为.

【答案】-14

三、解答题(本大题共3小题，共35分)

10.(10分)已知数列｛&｝中,国=1,前〃项和

O

⑴求如金;

⑵求数列｛a｝的通项公式.

【解】（1）S=-Z—3nf且Hi=1,

,J

44,

，£=可4，即&+况:=./，得"=3.

OO

5

由得3（a+色+a）=5a”得公=6.

O

(2)由题设知a,=l.

〃+2〃+1

当〃22时，有a=S-STa

3L

田E/口〃+1/〃+1

整理得“弓二7*’o即n二;=HP

力口/c池4a\5cl〃+1

一J卜/t.—_JQ，——C，———on

3］&，&Jan-\n-1,

an〃+1

以上〃一1个式子的两端分别相乘，得n

a\2

n/24-l、

:.a产---------,〃/2.

又3=1适合上式,

..n/?+1

故an=---------,〃£”.

2

11.(12分)已知数列｛a｝满足前〃项和S,=/f+l,数列也,｝满足6,=一^,且前〃项

区十1

和为北，设品=T2nz一Tm

(1)求数列｛4｝的通项公式；

⑵判断数列如的增减性.

【解】(1)句=2,a”=S—2i=2〃-1(〃22).

〃=1,

心2.

（2）;Cn=A+】+4+2+…+bin+\=〃+|+〃，12T----（）〃+］，C什I-Cn=,）［1）*2〃+3

1

<0,

〃+1

・•・｛，”｝是递减数列.

12.(13分)在数列｛a｝,｛4｝中，<7I=2,a什L品=6〃+2,点(=4)在夕=父+勿彳的图

n

象上，｛”,｝的最小项为儿

(1)求数列｛a｝的通项公式；

(2)求加的取值范围.

【解】(1)・・・a2一&=6〃+2,

当2时，an—an-\=6r/—4.

/.an=(品—为一1)+(8-i-4-2)H------1-(az-ai)+8

=(6〃-4)+(6/2—10)H------F8+2

1[8+6〃-4]

=2+2

=3〃'-3〃+2〃-2+2

=3〃’-〃，

2

显然以也满足a„=3/1—??,/.an=3/?'—n.

(2)V点*,bj在y=x-\-mx的图象上，

/.b,~(3/?—1)'+R(3〃-1).

.•・8=8+2勿，/>>=125+5/77,加=512+8勿，&=1331+11勿.

8+2m2512+8m,

二伉｝的最小项是灰，125+50》512+8例

J331+1lm2512+8m,

・・・-273WmW-129.

=

■:b什i=(3〃+2)"+/»!3〃+2),bn(3/7—1)、'+勿(3〃-1)»

••bn^\—/?/1=3[(3/?+2)24-(3〃-1)'+(3〃+2)(3〃-1)]+3m

=3(27#+9〃+3+加，

当〃>4时，27//+9A+3A273,：.21m>(y,

:・bzi-0,:.〃N4时，bn+\>bn.

综上可知一273WmW-129,

・•・"/的取值范围为[-273,-129].

第二节等差数列

[考情展望]1.运用基本量法求解等差数列的基本量问题.2.在解答题中对所求结论的

运算进行等差数列的判断与证明.3.在具体情景中能识别具有等差关系的数列，并会用等差

数的性质解决相应问题.

本抓住2个基础知识点

一、等差数列

1.定义：&+1一&=</(常数)(〃£N*).

2.通项公式：1=&+公-1)",a=&+公一/d.

八,n/?—1dn国+&,

3.前〃项和公式:Sa=naiH-----------------=------------

2+b

4.白、6的等差中项4=干.

证明｛&｝为等差数列的方法：

(1)用定义证明：&-&T=d(d为常数，〃22)=｛&｝为等差数歹U；

(2)用等差中项证明：2&+】=a+&42。｛8｝为等差数列；

⑶通项法：国为〃的一次函数=｛&｝为等差数列；

(4)前n项和法：Sn=Arr+Bn或S产”.

二、等差数列的性质

已知数列｛a｝是等差数列，$是其前〃项和.

⑴若/〃、〃、p、q、4:是正整数，且叶〃=0+q=2A,

则a,+a,=备+d=2小.

(2)&,&+*,a^2k,备划，…仍是等差数列，公差为侬

(3)数列$,SLS,£“-£5,•・・,也是等差数列.

等差数列的性质

(1)项的性质：在等差数列UJ中，/一&=(卬一〃)"二色=d(mW〃)，其几何意义是

m—n

点(〃，区)，(/〃，&)所在直线的斜率等于等差数列的公差.

(2)和的性质：在等差数列｛3｝中，S.为其前〃项和，则

(DS,=〃(a+a^)=3=〃(a,+&+i).

②£“-1=(2〃-1)区.

③〃为偶数时，S例一S奇〃为奇数时，S奇一5'伊=&中.

I【基础自测】I

1.在等差数列｛a｝中，32=2,a=4,则为0=()

A.12B.14C.16I).18

【答案】D

2.在等差数列｛&｝中，a=1,a=5,则｛&｝的前5项和友=()

A.7B.15

C.20I).25

【答案】B

3.设｛备｝为等差数列，公差"=-2,S为其前〃项和，若S0=S“则a=()

A.18B.20

C.22I).24

【答案】B

4.已知递增的等差数列｛4｝满足a=l,a；=/-4,贝ija=.

【答案】2/?-1

感悟高考

5.(2013•重庆高考)若2,a,b,c,9成等差数列，则°一片.

7

2-

6.(2013•广东高考)在等差数列｛4｝中，已知aH■笈=10,则3a5+斑二

【答案】20

突破掌握4个核心考向

考向一[086]等差数列的判定与证明

在数列｛a｝中，品=—3,aa=2&-i+2"+3(〃22,且〃£N*).

(1)求色,&的值;

a+3

(2)设4=；-(〃£”),证明：｛4｝是等差数列.

【尝试解答】(1)・；句=-3,a=2&_+2”+3(〃22).

.•.&2=2的+4+3=—5+4+3=1.

a=2改+2：'+3=13.

(2)证明:对于任意〃亡印，

*.*br+]-b尸"3-">=Jr[(&+L2&)-3]

=77n[(2fl+,4-3)-3]=l,

・•・数列｛&｝是首项为空=」7^=0,公差为1的等差数列.

规律方法1用定义证明等差数列时，帝采用的两个式子鼻十|一a="和,一鼻

但它们的意义不同，后者必须加上“〃22”，否则〃=1时，尚无定义.

对点训练(2014•大纲全国卷)数列｛&｝满足a=l,a=2,&+2=2&+I-4+2.

①设4=品+1一%，证明M是等差数列；

②求｛4｝的通项公式.

【证明】①由A+2=2&+I—a+2得

力12-A+1=Ai1-A+2,

即4+i=4+2.

又bi=/-a、=1,

所以｛4｝是首项为1,公差为2的等差数列.

②由①得^=1+2(/?—1)=2/2—1,

即an^\—a„=2n—\.

于是Z(a+i-&)=Z(2左—1),

“I1

所以4+i-a尸f,即a+】=〃'+%.

又a=1,所以(为)的通项公式为a=//一2〃+2.

考向二［087］等差数列的基本运算

(1)(2013•课标全国卷I)设等差数列｛&｝的前〃项和为S”若S-=-2,S.=。，£.

+i=3,则片()

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

⑵(2013•四川高考：)在等差数列｛a｝中,曰+&=8,且8为人和1的等比中项,求数

列｛a｝的首项、公差及前"项和.

【尝试解答】设该数列的公差为"，前〃项和为由已知可得.

2&+2d=8,(d+3。2=(d+中(句+8"，

所以a+d=4,d(d—3&)=0,

解得a1=4,d=0或a=l,d=3,即数列｛a｝的首项为4,公差为0,或首项为1,公

差为3.

所以数列的前〃项和£=4〃或2=与4

规律方法21.等差数列的通项公式及前〃项和公式，共涉及五个量国，a,d,〃，S”

知三求二，体现了方程思想的应用.

2.数列的通项公式和前〃项和公式在解题中起到变量代换作用，而国和"是等差数列

的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法，称为基本量法.

对点训练(2014•浙江高考)已知等差数列W的公差6>0.设｛&｝的前n项和为S,

国=1,£•W=36.

①求"及S；

②求勿，k(m,Zr£N*)的值，使得+----1"&什*=65.

【解】①由题意知(2"+中(3d+3"=36,

将a】=l代入上式解得d=2或d=-5.

因为40,所以d=2,S,=/'(〃£!<).

②由①得&.+&+】+&什2H---(2/+A—1)(A+1),所以(2加+4-1)(A+1)=65.

2m+k~1=13,

由m,kQN*知2m+k—1>A+1>1,故|_

4+1=5,

m=5,

所以，

仁4.

考向三［088］等差数列的性质及应用

(1)在等差数列｛&｝中，已知国+金=16,则该数列前11项和S“=()

A.58B.88C.143D.176

【答案】B

(2)设等差数列｛a｝的前〃项和为S”已知前6项和为36,最后6项的和为180,5=324(〃

>6),求数列｛a｝的项数及3a4-310.

【尝试解答】由题意知a+或H-----1■a=36,①

为+/-】+品-2+…+&-5=180,②

①+②得

(a+aj+(段+加1)+…+(曲+&-5)=6(a+d)=2】6,

••&+cln=36,

mena\4-a、…

又S=on=324,

n乙

・•・18〃=324,/./?=18.

由a1+a,=36,n=18.

/.ai4-Sia=36,从而为+aio=a】+ai8=36.

规律方法31.在等差数列｛a｝中，若叶n=p+g=2h则&+an=4+a(f=22是常用

的性质，木例(1)、(2)都用到了这个性质.

2.掌握等差数列的性质,悉心研究每个性质的使用条件及应用方法,认直分析项数、

序号、项的值的特征，这是解题的突破口.

对点训练(1)已知等差数列｛a｝的公差为2,项数是偶数，所有奇数项之和为15,所

有偶数项之和为25,则这个数列的项数为()

A.1()B.20C.30I).40

(2)已知等差数列｛a｝的前〃项和为S,且So=10,So=3(),则£0=.

【答案】(DA(2)60

考向四［089］等差数列前〃项和的最值

在等差数列｛3｝中，已知团=20,前〃项和为S,且So=Sl5,求当〃取何值时，Sn

取得最大值，并求出它的最大值.

【尝试解答】法一V=20,So=S15,

,10X9,15X14

・•・10X20+——^15X20+---d,

乙乙

:.d=

J

/、，5、5165

.•・a=20+(/?—1)X

\oJoJ

令a〃20得〃W13,

即当〃W12时，&>0；14时,&VO.

・•・当〃=12或13时，S,取得最大值，且最大值为

12X11(5、

，2=$3=12X20HXI-1=130.

5

法二同法一得"=一

O

又由510=515,得an+ai2+a】3+ai+a5=().

；・5ai3=(),即a】3=0.

.•.当〃=12或13时，S有最大值，

且最大值为S2=SB=130.

规律方法4求等差数列前〃项和的最值常用的方法

区20[aW0

(1)先求品，再利用或求出其正负转折项，最后利用单调性确定

a,+iW01a+130

最值.

(2)①利用性质求出其正负转折项，便可求得前〃项和的最值.②利用等差数列的前〃

项和$=力〃2+劭(力，〃为常数)为二次函数，根据二次函数的性质求最值.

对点训练已知｛a,｝是一个等差数列，且殳=1,全=-5.

⑴求｛4｝的通项品；

(2)求｛&｝前n项和S的最大值.

si+d=1»

【解】(1)设E)的公差为&由已知条件一「

I团+4tf=­J,

解出a=3,d=-2,

所以4=%+(77—1)d=—2〃+5.

2

(2)Sn=na\-V-~~―d=-n+4/?=4—(/2—2),

所以〃=2时，S,取到最大值4.

技能挖掘1大技法

规范解答之八等差数列的通项与求和问题

-----------------[1个示范例]-----------------

（12分）（2013・浙江高考）在公差为d的等差数列｛a｝中，已知&=10,且向.2a+2,5&

成等比数列.

⑴求d,a”；

⑵若dVO,求|&|+生|+|a|+…+|为|.

【规范解答】（1）由题意得，囱・5日=（2a+2））由a=10,｛&｝为公差为d的等差

数列得，43d4=0,2分

解得d=—1或d=4.

所以&=-〃+11（〃£N+）或a=4〃+6（〃eN*）.5分

（2）设数列｛a｝的前〃项和为$.

因为dV0,由（1）得，=-1,a=—〃+11,6分

1°21

所以当〃W11时，|a|+|生|+|ajH---\~|a„\=S=--n

n乙乙

1c21

当〃212时，|8|+|包|+|&|H---H&I=-S+2sl=5〃—―//4-110.

乙乙

综上所述，|科|+/|+|&H---FIan\

1.21_

一铲2+丁〃，nW11,

乙乙

12分

1.21

-/?■—■7-/7+110,〃212.

｛乙乙

【名师寄语】1.涉及求数列｛I&｝前〃项和的题目，其解题的关键是找到数列（&｝的

正负界点，因此借助绝对值的性质，去掉绝对值符号是解题的着眼点.

2.要正确区分”|历|+|&|+|SJH---H&J”与-aa+aH----的差异，明确

两者间的转换关系，切忌逻辑混乱.

-----------------[1个规范练]

已知等差数列｛&｝前三项的和为一3,前三项的积为8.

（1）求等差数列｛a｝的通项公式；

（2）若&,即团成等比数列，求数列｛|&|｝的前〃J页和.

【解】（1）设等差数列｛a｝的公差为d,易求我二一1,

则左=/+&&=&—〃，

国=一]_d,

由题意得，

-1+(7—1—d-1=8,

a1=2，ai=-4,

解之得或

d=-Z.d=3.

所以由等差数列通项公式可得

区=2-3(〃-1)=­2〃+5,或&=­4+3(〃-1)=3〃-7.

故&=­3〃+5,或an=3/?—7.

（2）当a=一3〃+5时，生，&,a分别为一1,-4,2,不成等比数列，不合题设条件.

当&=3〃­7时，色，&,d分别为一1,2,-4,成等比数列，满足条件.

一3〃+7,n=1,2,

故|&|=|3〃一7|=，

3〃一7,“23.

记数列的前〃项和为S.

当〃=1时，S=|a|=4；当〃=2时，S=|囱|+|出|=5.

当时，S,=S+1&|+|&|H----1-1a,,\

=5+(3X3-7)+(3X4-7)+—+(3〃-7)

〃-2[2+3/7-7]3211

=5+-------------------------=5〃―-

当〃=2时，；两足此式.

4,〃=1,

综上，S=<3211,

一■―/H-10,/?>1.

课时限时检测（三十）等差数列

（时间：60分钟满分：80分）

一、选择题（每小题£分，共30分）

1.等差数列｛&,｝中，a+a=数,&=7,则数列（数中的公差为（）

A.1B.2

C.3D.4

【答案】B

2.设S为等差数列｛%｝的前〃项和，若国=1,公差42,£+2—SA=24,则〃=（）

A.8B.7

C.6D.5

【答案】D

3.设等差数列｛d｝的前〃项和为Sm若向二-11,&+国=-6,则当5取最小值时，〃

等于（）

A.6B.7

C.8I）.9

【答案】A

4.设等差数列｛a｝的前〃项和为S,若£=9,&=36,则金+悬+曲等于

（）

A.63B.45

C.36I）.27

【答案】B

5.（2013•辽宁高考）下面是关于公差40的等差数列｛a｝的四个命题：数列｛/｝

是递增数列；A：数列｛〃叫是递增数列；加数列号是递增数列；人数列｛&+3〃M是递

增数列.

其中的真命题为（）

A.pi,piB.私R

C.p>fp.\D.pi,pi

【答案】I）

cc

6.在等差数列中，&=一2012,其前〃项和为S,若需一证=2,则Sm的值等

于（）

A.-2011B.-2012

C.-2010D.-2013

【答案】B

二、填空题（每小题£分，共15分）

7.等差数列｛a｝的前〃项和为S,,若劣-|+a+】一a：=0,Si=38,则勿=.

【答案】10

8.等差数列｛品｝的前〃项和为S,且6&-5£=5,则a尸.

【答案】|

9.已知等差数列｛a｝中，ai,题是函数〃才）=丁一10叶16的两个零点，则

&0=.

95

【答案】y

三、解答题（本人题夫3小题，共35分）

10.（10分）（2013•课标全国卷II）已知等差数列｛8｝的公差不为零，&=25,且加加

国3成等比数列.

（1）求｛&｝的通项公式；

（2）求己+国+卅+・・・+&广2.

【解】⑴设EJ的公差为&由题意得扁=&加

即（国+10中2=&]（&+12中.

于是d（2a1+25中=0.

又3=25,所以d=0（舍去），d=-2.

故&=­2〃十27.

（2）令Sn="+a+a7d---Fa“-2.

由（1）知&T=­6〃+31,故｛&T｝是首项为25,公差为-6的等差数列.

从而$=寮国+纵-2）=微（一6〃+56）=—3〃2+28〃.

乙乙

11.（12分）已知公差大于零的等差数列｛a｝的前〃项和为$,且满足a-&=117,色

+%=22.

（1）求通项&;

勺

（2）若数列｛4｝满足九=一六，是否存在非零实数。使得｛ZU为等差数列？若存在，求出

〃十。

c的值；若不存在，请说明理由.

【解】（1）由等差数列的性质，得出+次=的+&=22,

国是方程22x+117=0的根，且科＞既，

，热=9且a=13,

从而团=1,公