第四章 必刷题 解三角形（解析版）

第四章必刷题解三角形一、单项选择题(每小题5分，共40分)1.(2025·江门模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B＝30°，b＝2，c＝22，则角A的大小为(A.45° B.135°或45°C.15° D.105°或15°【答案】D【解析】因为B＝30°，b＝2，c＝22由正弦定理得sinC＝c因为c>b，所以C>B，故C＝45°或135°，可得A＝180°－B－C＝105°或15°.2.(2024·葫芦岛模拟)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若ca＝33，B＝π6，△ABC的面积为A.23 B.4 C.2 D.6【答案】C【解析】由于ca＝33，故由于B＝π6，△ABC故S＝12acsinB＝整理得12·c·3c·解得c＝2，a＝23利用余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB＝12＋4－2×23×2×32＝4，解得b＝3.(2024·南京模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知9sin2B＝4sin2A，cosC＝14，则ca等于A.114 B.104 C.113【答案】D【解析】∵9sin2B＝4sin2A，∴9b2＝4a2，即b＝2∵cosC＝a∴ca2＝4.宝塔山是延安的标志，见证了中国革命的进程，在中国老百姓的心中具有重要地位.如图，宝塔山的坡度比为7∶3(坡度比即坡面的垂直高度和水平宽度的比)，在山坡A处测得∠CAD＝15°，从A处沿山坡往上前进66m到达B处，在山坡B处测得∠CBD＝30°，则宝塔CD的高为()A.44m B.42m C.48m D.46m【答案】A【解析】由题可知∠CAD＝15°，∠CBD＝30°，则∠ACB＝15°，所以BC＝AB＝66，设坡角为θ，则由题可得tanθ＝7则可求得cosθ＝3在△BCD中，∠BDC＝θ＋90°，由正弦定理可得CD即CD解得CD＝44，故宝塔CD的高为44m.5.在△ABC中，D为边BC上一点，AD＝6，BD＝3，∠ABC＝45°，则sin∠ADC的值为()A.2＋34C.1＋74【答案】C【解析】如图，在△ABD中，由正弦定理得AD即6故sin∠BAD＝24又BD<AD，则∠BAD<∠ABC，故∠BAD只能是锐角，故cos∠BAD＝144所以sin∠ADC＝sin(∠BAD＋∠ABD)＝24×22＋6.(2025·绵阳模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2025tanA＋2025tanBA.4051 B.4050 C.4048 D.4047【答案】A【解析】在△ABC中，可得2025cos即2025·sin故2025·sin(即2025·sin所以2025·sin2CsinA所以2025·c2ab＝a2＋b2−c22ab，即4050c2＝a2＋b2－c2，所以40517.在锐角△ABC中，B＝60°，AB＝1，则AB边上的高的取值范围是()A.34，1 C.32，3【答案】D【解析】设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则AB边上的高h＝asinB＝32a由正弦定理得a＝csin由△ABC为锐角三角形，可知30°<C<90°，则tanC>33，所以a＝3从而h∈3因此AB边上的高的取值范围是348.(2025·长沙模拟)如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AC上的点，AC＝2AB，CD＝1，AE＝3EC，∠ADB＝∠EDC＝α，则cosα等于()A.32 B.33 C.23【答案】D【解析】由D是BC的中点，AC＝2AB，CD＝1，AE＝3EC，设CE＝x，则BD＝1，AE＝3x，AB＝2x，在△ABC中，由正弦定理得2即sinB＝2sinC，在△ABD中，由正弦定理得2xsin在△CED中，由正弦定理得xsinα由①②得2＝ADDE·sinC即AD＝4DE.在△ABD中，由余弦定理得4x2＝1＋AD2－2ADcosα＝1＋16DE2－8DEcosα，③在△CDE中，由余弦定理得x2＝1＋DE2－2DEcosα，④由③④得4＋4DE2＝1＋16DE2，解得DE＝12，AD＝则x2＝1＋14－2×12cosα＝54－cos在△ADE中，由余弦定理得9x2＝AD2＋DE2－2AD·DE·cos(π－2α)＝4＋14＋2×2×12cos＝174＋2cos2α＝4cos2α＋可得454－9cosα＝4cos2α＋解得cosα＝34(－3舍去)二、多项选择题(每小题6分，共18分)9.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.则下列各组条件中使得△ABC有唯一解的是()A.a＝3，b＝4，A＝πB.a＝3，b＝4，cosB＝3C.a＝3，b＝4，C＝πD.a＝3，b＝4，B＝π【答案】BCD【解析】根据题意，A中，由正弦定理asinA＝bsinB⇒sinB＝4因为12<23<22，所以角B在π6，π4和B中，根据余弦定理可得b2＝a2＋c2－2accosB，即16＝9＋c2－185c解得c＝5或c＝－75所以只有1个解，满足题意；C中，条件为边角边，根据余弦定理可以求得唯一的c边，所以有唯一解，满足题意；D中，由正弦定理asinA＝bsinB⇒sinA＝34×sin所以角A在0，π6和5π6，π上各有一个解，当解在5π6，π上时，角B与角A10.某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75°，距离126nmile；在A处看灯塔C在货轮北偏西30°，距离83nmile.货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在南偏东60°方向，则下列说法正确的是()A.A处与D处之间的距离是24nmileB.灯塔C与D处之间的距离是16nmileC.灯塔C在D处的南偏西30°D.D在灯塔B的北偏西30°【答案】AC【解析】由题意可知∠ADB＝60°，∠BAD＝75°，∠CAD＝30°，所以B＝180°－60°－75°＝45°，AB＝126，AC＝8在△ABD中，由正弦定理得AD所以AD＝126×2232＝24(在△ACD中，由余弦定理得CD＝A＝(8＝83(nmile)，故B错误；因为CD＝AC，所以∠CDA＝∠CAD＝30°，所以灯塔C在D处的南偏西30°，故C正确；由∠ADB＝60°，可知D在灯塔B的北偏西60°，故D错误.11.(2024·广州模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.则下列命题正确的是()A.若a＝33，b＝3，B＝30°，则A＝B.若A>B，则sinA>sinBC.若cb<cosA，则△ABCD.若a＝2，b＝3，c2＋ab＝a2＋b2，则△ABC的面积为【答案】BC【解析】对于A，由于a＝33，b＝3，B＝30°利用正弦定理asinA＝bsinB由于0°<A<150°，所以A＝60°或120°，故A错误；对于B，当A>B时，a>b，根据正弦定理a可得sinA>sinB，故B正确；对于C，若cb<cosA则c<bcosA，故2c2<2bccosA，结合余弦定理cosA＝b2＋c2−a22bc，故△ABC为钝角三角形，故C正确；对于D，若a＝2，b＝3，且c2＋ab＝a2＋b2利用余弦定理可得ab＝2abcosC，解得cosC＝1因为0°<C<180°，所以C＝60°，所以S△ABC＝12absinC＝12×2×3×32＝三、填空题(每小题5分，共15分)12.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos2C＝sin2A＋cos2B－sinAsinC，且b＝6，则B＝，△ABC外接圆的面积为.

【答案】π3【解析】由cos2C＝sin2A＋cos2B－sinAsinC，可得1－sin2C＝sin2A＋1－sin2B－sinAsinC，即sin2A＋sin2C－sin2B＝sinAsinC，则由正弦定理得ac＝a2＋c2－b2，由余弦定理得cosB＝a又因为B∈(0，π)，可得B＝π设△ABC外接圆的半径为R，则R＝b2sinB＝所以△ABC外接圆的面积为πR2＝12π.13.(2025·成都模拟)平面四边形ABCD中，AB＝6，AD＝CD＝4，BC＝2，若A，B，C，D四点共圆，则该四边形的面积为.

【答案】83【解析】因为AB＝6，AD＝CD＝4，BC＝2，且A，B，C，D四点共圆，所以B＋D＝π，即cosB＋cosD＝0，在△ABC中，由余弦定理可得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB＝36＋4－2×6×2cosB＝40－24cosB，在△ACD中，由余弦定理可得AC2＝AD2＋CD2－2AD·CDcosD＝16＋16＋2×4×4cosB＝32＋32cosB，可得40－24cosB＝32＋32cosB，解得cosB＝17，cosD所以sinB＝sinD＝4所以S四边形ABCD＝S△ABC＋S＝12AB·BCsinB＋12AD·CDsin＝12×6×2×437＋12×4×414.在△ABC中，a＝3，A＝π3，则△ABC的周长的取值范围为【答案】(23，33【解析】由正弦定理，得a即bsinB＝∴b＝2sinB，c＝2sinC，∴△ABC的周长为L＝a＋b＋c＝3＋2sinB＋2sinC＝3＋2sinB＋2sin2π＝3＋3sinB＋3cosB＝3＋23sinB又B∈0，2π3，∴B＋∴sinB＋π6∈12，1，∴L∈(即△ABC的周长的取值范围为(23，33]四、解答题(4小题，共60分)15.(13分)(2023·全国乙卷)在△ABC中，已知∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1.(1)求sin∠ABC；(6分)(2)若D为BC上一点，且∠BAD＝90°，求△ADC的面积.(7分)【解析】(1)由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠BAC＝4＋1－2×2×1×cos120°＝7，则BC＝7由正弦定理可得sin∠ABC＝AC·sin∠(2)由三角形面积公式可得S△ABDS则S△ACD＝15S△＝15×116.(15分)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sinA＝2sinB.(1)若b＝2，c＝27，求C的大小；(5分(2)点D在边AB上，且AD＝13AB，证明：CD平分∠ACB.(10分【解析】(1)由sinA＝2sinB，得a＝2b＝4，由余弦定理可知cosC＝a2＋又C∈(0，π)，则C＝2π3【证明】(2)在△ACD中，由正弦定理可知1则sin∠ACD＝c在△BCD中，由正弦定理可知2则sin∠BCD＝c又sin∠BDC＝sin∠ADC，故sin∠BCD＝sin∠ACD，即∠BCD＝∠ACD或∠BCD＝π－∠ACD，又∠ACB＝∠BCD＋∠ACD为△ABC的内角，所以∠BCD＝∠ACD，故CD平分∠ACB.17.(15分)(2024·长沙模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足sinB＋sinC＝2sinAcosB.(1)证明：a2－b2＝bc；(5分)(2)如图，点D在线段AB的延长线上，且AB＝3，BD＝1，当点C运动时，探究CD－CA是否为定值？(10分)【证明】(1)sinB＋sinC＝2sinAcosB，由正弦定理可得b＋c＝2acosB，又∵cosB＝a∴b＋c＝a∴bc＋c2＝a2＋c2－b2，∴a2－b2＝bc.【解析】(2)由(1)知b＋c＝2acos∠CBA，∴cos∠CBA＝b在△BCD中，BC＝a，BD＝1，∴cos∠CBD＝a又∵cos∠CBD＝cos(π－∠CBA)＝－cos∠CBA，∴－b∴－b－3＝1＋a2－CD2，∴CD2＝4＋a2＋b，又∵a2－b2＝bc，c＝3，∴CD2＝4＋b2＋3b＋b＝b2＋4b＋4＝(b＋2)2，∵CD>0，∴CD＝b＋2，∴CD－CA＝b＋2－b＝2.综上所述，CD－CA为定值2.18.(17分)(2025·石家庄模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3acosC－asinC＝3b.(1)求角A的大小；(7分)(2)若a＝2，求BC边上的中线AD长度的最小值.(10分)【解析】(1)由3acosC－asinC＝3b结合正弦定理，得3sinAcosC－sinAsinC＝3sinB.因为A＋B＋C＝π，所以3sinAcosC－sinAsinC＝3sin(A＋C)＝3(sinAcosC＋co