复变函数与积分变换 章节小结、疑难解析、典型例题 第4章小结

第4章小结一.导学本章讨论了复变函数的幂级数与洛朗级数。幂级数与解析函数具有密切联系。一方面幂级数在一定的区域内收敛于一个解析函数，另一方面一函数在其解析点的邻域内能展开成幂级数，所以幂级数是研究解析函数性质时所必不可少的有力工具。进一步地，在实际计算中，把函数展开成幂级数，应用起来也比较方便。所以，幂级数在复变函数论中有着特别重要的意义。洛朗级数是幂级数的进一步发展，它由一个通常(非负次的)幂级数与一个只含负次幂的级数组合而成。洛朗级数的和函数是一个圆环域内的解析函数。圆环的一种蜕化情形是一点的去心邻域，而当函数在一点的去心邻域内为解析，但并不在该点解析时，这一点就是函数的孤立奇点。所以，洛朗级数是研究解析函数孤立奇点的有力工具。学习本章的基本要求如下：（1）熟悉复数项级数性质，理解级数收敛、发散、绝对收敛等概念以及无穷级数收敛的各种条件。（2）掌握幂级数收敛半径与收敛区域的求法与基本性质，记住一些基本初等函数幂级数的展开式，掌握将比较简单的解析函数展开为幂级数的基本方法。（3）掌握比较简单函数环绕它的孤立奇点展开为洛朗级数的基本方法。二.内容提要1．基本定理（1）复数项级数（=+i，）收敛的充分必要条件是实数项级数、同时收敛；复数项级数收敛的必要条件是=0；每个绝对收敛的复数项级数一定是收敛的。（2）若幂级数在点收敛，则它在以原点为中心，为半径的圆周内收敛且绝对收敛；若级数在点处发散，则它在满足的点z处发散。（3）（幂级数收敛半径）对于幂级数，若极限（或极限），包括为0或的情形，则它的收敛半径。（4）设级数的收敛半径为，则=1\*GB3①它的和函数在内解析；=2\*GB3②在收敛圆内，幂级数=可以逐项求任意阶导数，且=3\*GB3③设为收敛圆盘内任一条分段光滑曲线，则级数在上可积，且=（5）（泰勒展开定理）设函数在区域D内解析，是D内的一点，R为到D的边界的距离，则当时，有其中，，为以为心且落在内的任一圆周。（6）函数在点解析当且仅当在点附近可用幂级数表示。（7）若洛朗级数有收敛域，则该域必为圆环域：且在内绝对收敛，和函数在内解析，而且可以逐项积分，逐项求导。（8）（洛朗展开定理）若函数在圆环域内解析，则=，其中，这里为圆环域内任意的圆周：。2．一些常用初等函数的幂级数展开式（1），；（2）；（3）；（4）；（5）.三.疑难解析1将函数在点处展开为一个幂级数时，要求在及其某一个邻域内解析，这个邻域就是所展幂级数的收敛域。在使用间接法求幂级数时，一定要注意所引用的已有函数展开式成立的条件。一般地说，所引用函数展开式的条件即为所展级数收敛的范围。例如，将函数在处展开为幂级数时，由于此函数在及其邻域（以为心的最大范围的解析域）内解析。因此，该级数展开为幂级数的收敛范围即为。又如，利用间接法将函数展开为关于的幂级数时，由于，这里的，既是按照所引用函数的展开式中要求得出的。2将函数在点处展开为一个洛朗级数时，要求在某个圆环内解析。这个圆环有的题目条件中已经给出，有的未给出，这时可以考虑在复平面上画出函数的定义域的草图以找出圆环来。要注意的是，所求的圆环经常是不惟一的。同上，在使用间接法求洛朗级数时，一定要注意所引用的已有函数的展开式成立的条件。一般地说，所引用函数展开式的条件即为所展级数收敛的范围。具体可见例4.4.2，4.4.3等。3试说明级数收敛、条件收敛、绝对收敛的概念之间的异同。答一个级数如果在某个范围内收敛，有可能是绝对收敛的，也有可能是条件收敛的。绝对收敛的级数一定是收敛级数，但收敛级数不一定是绝对收敛级数。4.对于一般函数要通过直接展开方法展开为幂级数，由于求其各阶导数的通式比较困难，所以通常采用间接的方法，实际上这是根据幂级数展开式的惟一性，利用一些已知函数幂级数展开式，再通过对幂级数进行变量代换、四则运算、分析运算（逐项微分、逐项积分等）求出所给函数的幂级数展开式。所以必须记住一些基本函数的幂级数展开式，如，等等。四.杂例例4.1设级数收敛，而级数发散，证明幂级数的收敛半径是1。证级数收敛，相当于幂级数在处收敛。由阿贝尔定理，对于满足的，幂级数绝对收敛，从而该级数的收敛半径。另一方面，若，则幂级数在收敛圆内绝对收敛，特别在处也绝对收敛，即有收敛，与条件矛盾。所以，幂级数的收敛半径是1。例4.2求下列幂级数的收敛半径（1）；（2）.解（1）因为，所以，。当时，；当时，。（2）级数是缺项级数，，所以，。例4.3求在处的幂级数展开式，并证明。解=所以，=而级数在整个复平面上是收敛的，其和函数在复平面上解析，有界。所以，。例4.4将函数在内展开为洛朗级数。解当时，例45求积分.解内，收敛，其和函数，所以。思考题1