复变函数与积分变换 课件 第二章解析函数

1第二章解析函数

2§2.1解析函数的概念

1复变函数的导数

定义2.1.1：存在,则就说f(z)在z0可导,此极限值就称为f(z)在z0的导数，记作应该注意：上述定义中的方式是任意的。3容易证明：可导可微；可导连续。如果f(z)在区域D内处处可导,就说f(z)在Ｄ内可导.

例1

求f(z)=z2

的导数。解:因为所以

f'(z)=2z.（即f(z)=z2

在复平面处处可导。）4求导法则与实函数同样的办法可得:

1)(c)'=0,其中c为复常数.

2)(zn)'=nzn-1,其中n为正整数.

3)[f(z)

g(z)]'=f'(z)g'(z).

4)[f(z)g(z)]'=f'(z)g(z)+f(z)g'(z).6){f[g(z)]}'=f'(w)g'(z),其中w=g(z).5例2问f(z)=x+2yi是否可导?解：这里6所以f(z)=x+2yi

的导数不存在.（即f(z)=x+2yi

在整个复平面处处不可导.）7例3讨论的可导性。解：8所以在复平面上除原点外处处不可导。9

定义2.1.2

如果函数f（z）在点及的某个领域内处处可导,那么称f（z）在点解析（Analytic）。如果f（z）在区域D每一点解析，那么称f（z）在D内解析，或称f（z）是D内的一个解析函数(Analyticfunction),并把D叫做f（z）的解析区域（Analyticdomain）。如果函数f（z）在点处不解析，但在点的每一邻域内，总有若干个点使f（z）解析，则叫做的奇点（Singularpoint）。102.解析函数的概念函数在一点解析在该点可导。反之不一定成立。在区域内：否则称为奇点。11例如f(z)=z2

在整个复平面上解析；仅在原点可导，f(z)=x+2yi在整个复平面上不解析。故在整个复平面上不解析；12例4讨论函数f(z)=1/z的解析性.解：故f(z)=1/z除

z=0外处处解析；z=0是它的一个奇点。解析函数的性质：(1)

两个解析函数的和、差、积、商仍为解析函数；(2)

两个解析函数的复合函数仍为解析函数；(3)

一个解析函数不可能仅在一个点或一条曲线上解析；所有解析点的集合必为开集。13问题：对函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，如何判别其解析（可导）性？我们也可以将它看作是变量x,y的二元函数,则对x求偏导和对y求偏导.141516称为柯西-黎曼(Cauchy-Riemann)方程简称C-R方程17

定理2.1设函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在z=x+iy可导的充分必要条件是:u(x,y)与v(x,y)在点(x,y)可微,并且在该点满足柯西-黎曼(Cauchy-Riemann)方程

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定理2.2

函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在域D内解析的充要条件是u(x,y)与v(x,y)在D内处处可微,并满足柯西-黎曼方程(2.3).推论：

设函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在其定义域D内有定义，如果在D内u(x,y)和v(x,y)的四个偏导数ux,uy,vx,vy存在且连续，并且满足C-R方程，则

f(z)在D内解析.19

例5（1）如果f'(z)在区域D处处为零,则f(z)在D内为一常数.所以u=常数,v=常数,因而f(z)在D内是常数.证：因为20并且满足常数,则函数在区域D内必为常数.

证明：（2）证明:若函数在区域D内解析,为常数，即|f(z)|2=u2+v2=常数，分别两边求导，得21则函数在区域D内必为常数.

22例6解:

因为u=x,v=-y,可知柯西-黎曼方程不满足,所以函数在复平面内处处不可导,处处不解析.判断函数在何处可导,在何处解析?23判断函数解:在何处解析?例7

在何处可导,因为u=excosy,v=exsiny,由于上面四个偏导数都是连续的,所以f(z)在复平面内处处可导,处处解析,且根据(2.4)式有

f'(z)=ex(cosy+isiny)=f(z)今后将知道这个函数就是指数函数ez.24判断函数解:在何处解析。例8

在何处可导,由w=zRe(z)=x2+ixy,得u=x2,v=xy,所以容易看出,这四个偏导数处处连续,但仅当x=y=0时,它们才满足柯西-黎曼方程,因而函数仅在z=0可导,但在复平面内任何地方都不解析.25根据求导法则可知定理

1）在区域D内解析的两个函数f(z)与g(z)的和,差,积,商(除去分母为零的点)在D内解析.2)设函数h=g(z)在z平面上的区域D内解析,函数w=f(h)在h平面上的区域G内解析.如果对D内的每一个点z,函数g(z)的对应值h都属于G,则复合函数w=f[g(z)]在D内解析.1.所有多项式在复平面内是处处解析的；2.任何一个有理分式函数P(z)/Q(z)在不含分母的零点的区域内是解析函数,使分母为零的点是它的奇点.26作业：P521(1,3,4);2（3，4）；3(3);

4；

5（1，2）。27

定义2.3如果二元实函数在区域D有二阶连续偏导数,且满足

或称函数在区域D内调和.则称为区域D内的调和函数§2.2解析函数和调和函数的关系§2.2.1调和函数的概念

二维拉普拉斯(Laplace)方程:28当f(z)

解析时μ,υ有任意的偏导数

则f(z)的实部μ(x,y)和虚部υ(x,y)都是区域

D内的调和函数.定理2.3设函数f(z)=μ(x,y)+iυ(x,y)在区域D内解析,证:因f(z)在区域D内解析,所以μ,υ在区域D内满足C-R方程:29在上述二式分别对x,y求偏导数,得则说u(x,y)是区域D内的调和函数.且u,v有任意阶连续偏导数

v(x,y)也是区域D内的调和函数.同样可得

30注：逆定理显然不成立，即

对区域D内的任意两个调和函数u,v,不一定是解析函数

.例如：是解析函数，不是解析函数。31§2.2.2共轭调和函数

在区域D内,f(z)的虚部υ(x,y)是实部μ(x,y)的共轭调和函数.已知共轭调和函数中的一个，可利用C-R方程求得另一个，从而构成一个解析函数。

定义2.4设函数及ψ(x,y)均为区域D内的调和函数,且满足C-R方程:定理2.4复变函数f(z)=μ(x,y)+iυ(x,y)在区域D内解析充分必要条件是:则称ψ(x,y)

是的共轭调和函数32方法1:偏积分法例1:验证μ(x,y)=x3-3xy2是调和函数,并求以μ(x,y)为实部的解析函数f(z),使之适合f(0)=i。解：由所以μ的二阶偏导数显然是连续的，故μ(x,y)为调和函数.求共轭调和函数方法§2.2.3解析函数与调和函数的关系33

由于34方法2:曲线积分法由C-R条件知道，函数μ决定了函数ν的微分，即

当D为单连通区域时，上式右端的积分与路径无关，而ν可以表示为：其中（x0,y0）为D内一定点，C为任意实常数类似地，可以从ν(x,y)求出μ(x,y).35

例2:求解析函数f(z)=μ+iv,已知μ=x2-y2+xy,

f(i)=-1+i.解：容易验证μ

是全平面上的调和函数.利用

C-R条件,先求v的两个偏导数.36结果得到则37作业：52页：7（1，3），838§2.3初等函数§2.3.1指数函数

定义：

性质：

3940例1解下列方程：解:41例2

解:

因为利用指数表示计算4243定义：§2.3.2对数函数44相应于辐角函数的主值，我们定义对数函数Lnz的主值lnz为：则这时，有45三种对数函数的联系与区别：46例4

47例5

48例6

49性质：(2)Lnz为无穷多值函数，每两个值相差2πi的整数倍，50(4)除去原点与负实轴,lnz在复平面内处处解析：

今后我们应用对数函数Lnz时,指的都是它在除去原点及负实轴的平面内的某一单值分支.

问题：51定义：----单值函数----n值函数§2.3.3幂函数52----n值函数----无穷多值函数在除原点和负实轴复平面内主值支及各分支解析，且5354定义：性质：(1)Euler公式仍然成立：(2)全平面解析函数，(3)各种三角恒等式仍然成立(半角公式除外)(4)sinz为奇函数，cosz为偶函数§2.3.4三角函数55例如(7)定义其他的三角函数：56§2.3.5反三角函数由函数所定义的函数

w称为z的反正切函数，记作由于令，得到57从而反正切函数是多值解析函数。所以58定义：

（1）全平面解析函数：（2）以2pi为基本周期的周期函数：（3）chz为偶函数,shz为奇函数。（4）与三角函数的关系：§2.3.6双曲函数59作业：P52:12(1);13(1);14;15(2,3);1660习题课

例2.1判断下列命题